Limites et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Règle de l’Hospital
2. Élasticité d’une fonction
3. Approximation linéaire et différentielle
4. Dérivées d’ordre supérieur

📖 1. Règle de l’Hospital

★ À maîtriser

📌 La règle de l’Hospital permet de remplacer une limite de quotient de type $0/0$ ou $\infty/\infty$ par la limite du quotient des dérivées du numérateur et du dénominateur, si les fonctions sont dérivables près de a, si $g'(x)\ne 0$ hors de a et si cette limite existe.

Compléments

📌 La règle de l’Hospital s’applique aussi aux limites lorsque x tend vers a par la droite ou la gauche, vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.

• Pour tout $a>0$, $\lim_{x\to 0^+}x^a\ln(x)=0$, résultat obtenu en réécrivant le quotient puis en appliquant la règle de l’Hospital.

• Pour tout $k>0$, $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}=0$ ; l’exponentielle croît donc plus vite que toute puissance positive de x lorsque x tend vers l’infini.

📖 2. Élasticité d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Élasticité : L’élasticité de f au point $x_0\ne 0$, lorsque f est dérivable en $x_0$ et $f(x_0)\ne 0$, mesure le taux de variation relatif de f par rapport au taux de variation relatif de x.

📐 Formule - L’élasticité de f en $x_0$ vérifie $\varepsilon_f(x_0)=\frac{f'(x_0)x_0}{f(x_0)}$.