QCM : Limites et dérivation (10 questions)

Question 1

1. Pour un réel $k>0$ , on considère $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}$ . Quelle valeur obtient-on ?

Une limite finie non nulle dépendant de

k

+\infty

1

0

Explication

À l’infini, l’exponentielle croît plus vite que toute puissance positive, donc le quotient tend vers $0$ . Une limite infinie inverse la comparaison des croissances, tandis que $1$ ou une limite finie non nulle ne traduisent pas cette domination.

Answer

L’élasticité, qui compare les variations relatives de la demande et du prix

Answer

$$f(x_0)+f'(x_0)dx$$

Answer

$$dy\approx 0{,}12$$

Answer

La fonction qui associe à chaque $$dx$$ la valeur $$f'(x_0)dx$$

Answer

La dérivée de $$f'$$ en $$x_0$$

Answer

Elle doit s’arrêter à l’ordre atteint.

Answer

Dériver $$f^{(n-1)}$$ en $$x_0$$

Answer

La remplacer par $$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Question 2

2. Une économiste veut comparer la sensibilité de deux demandes à des variations en pourcentage de leurs prix. Quelle grandeur décrit cette sensibilité ?

Le prix, qui mesure la variation absolue de la demande

L’élasticité, qui compare les variations relatives de la demande et du prix

La demande, qui mesure le rapport entre les deux taux de variation

La dérivée, qui mesure la variation relative de la demande et du prix

Explication

L’élasticité mesure le taux de variation relatif de la fonction par rapport au taux de variation relatif de sa variable. La dérivée décrit une variation absolue locale, la demande est la grandeur étudiée, et le prix ne mesure pas ces taux relatifs.

Question 3

3. Une fonction dérivable vérifie $f(3)=6$ et $f'(3)=4$ . Quelle est son élasticité au point $x_0=3$ ?

2

\frac{3}{2}

4

\frac{1}{2}

Explication

La formule donne $\varepsilon_f(3)=\frac{f'(3)\times 3}{f(3)}=\frac{4\times3}{6}=2$ . La valeur $4$ oublie le facteur lié au point et au niveau de la fonction; $\frac{1}{2}$ inverse le rapport, tandis que $\frac{3}{2}$ ne correspond pas au calcul de la formule.

Question 4

4. Pour une fonction de classe $C^1$ , on estime sa valeur en $x_0+dx$ à partir de sa valeur et de sa pente en $x_0$ . Quelle expression donne cette approximation linéaire ?

f(x_0)+f''(x_0)dx

f(x_0)+f'(x_0+dx)

f(x_0)dx+f'(x_0)

f(x_0)+f'(x_0)dx

Explication

L’approximation linéaire utilise la valeur initiale et la pente au point de départ multipliée par le déplacement. $f(x_0)dx+f'(x_0)$ confond la valeur et la pente, tandis que les autres expressions omettent ou déplacent un élément de la formule.

Question 5

5. Près de $x_0=2$ , une fonction a pour dérivée $f'(2)=3$ . Pour un petit déplacement $dx=0{,}04$ , quelle variation de $f$ estime-t-on ?

dy\approx 0{,}48

dy\approx 75

dy\approx 0{,}04

dy\approx 0{,}12

Explication

La variation est approximativement $dy\approx f'(x_0)dx$ , donc $3\times0{,}04=0{,}12$ . $0{,}04$ reprend le déplacement seul, $0{,}48$ correspond à un facteur erroné, et $75$ inverse les facteurs.

Question 6

6. En un point $x_0$ , quelle description caractérise la différentielle $df(x_0)$ ?

La fonction qui associe à chaque

dx

la valeur

f'(x_0)dx

La variation exacte

f(x_0+dx)-f(x_0)

La fonction qui associe à chaque

dx

la valeur

f(x_0)dx

La valeur constante

f'(x_0)

, quel que soit

dx

Explication

La différentielle en $x_0$ est la fonction de $dx$ définie par $df(x_0)(dx)=f'(x_0)dx$ . La valeur de la fonction et la dérivée seule ne donnent pas cette application, et la variation exacte n’est pas sa définition.

Question 7

7. Une fonction $f$ est dérivable et sa dérivée première $f'$ est elle-même dérivable en $x_0$ . Quelle quantité représente alors $f''(x_0)$ ?

La valeur de

f

en

x_0

La dérivée de

f

en

x_0

La valeur de

f'

en

x_0

La dérivée de

f'

en

x_0

Explication

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première : $f''(x_0)=(f')'(x_0)$ . $f'(x_0)$ désigne la dérivée première, tandis que $f(x_0)$ est la valeur de la fonction.

Question 8

8. Après avoir calculé plusieurs dérivées d’une fonction, une étudiante arrive à une fonction qui n’est plus dérivable. Que peut-elle faire pour poursuivre la construction des dérivées d’ordre supérieur ?

Elle peut poursuivre en dérivant la fonction initiale.

Elle peut poursuivre en répétant l’ordre précédent.

Elle peut poursuivre en substituant la fonction obtenue.

Elle doit s’arrêter à l’ordre atteint.

Explication

La dérivation répétée se poursuit tant que la fonction obtenue reste dérivable ; si elle ne l’est plus, le processus s’arrête. Revenir à la fonction initiale ou répéter une dérivée ne définit pas l’ordre suivant.

Question 9

9. Pour une fonction dont les dérivées successives existent jusqu’à l’ordre $n$ , quelle opération définit sa dérivée n-ième en $x_0$ ?

Dériver

f

en

x_0

Dériver

f^{(n-1)}

en

x_0

Dériver

f^{(n)}

en

x_0

Dériver

f^{(n-2)}

en

x_0

Explication

Par définition, $f^{(n)}(x_0)=(f^{(n-1)})'(x_0)$ : il faut dériver la fonction obtenue à l’ordre précédent. Dériver $f^{(n)}$ vise un ordre supérieur, et dériver $f$ donne la dérivée première.

Question 10

10. Près de $a$ , les fonctions dérivables $f$ et $g$ vérifient $f(x)\to 0$ , $g(x)\to 0$ et $g'(x)\ne 0$ pour $x\ne a$ . Si la limite de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, quelle méthode permet de déterminer $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

La remplacer par

\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

même si cette limite n’existe pas

La remplacer par

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g'(x)}

La remplacer par

\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

La remplacer par

\lim_{x\to a}\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

Explication

Pour une forme initiale $0/0$ , la règle de l’Hospital permet de remplacer la limite du quotient par celle des dérivées, sous les conditions indiquées, notamment l’existence de cette dernière limite. Le quotient $f(x)/g'(x)$ confond dérivation séparée et dérivation du quotient, la formule de quotient calcule une dérivée plutôt que la limite recherchée, et ignorer l’existence de la limite des dérivées retire une condition nécessaire.

QCM : Limites et dérivation (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel $k>0$ , on considère $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}$ . Quelle valeur obtient-on ?

2. Une économiste veut comparer la sensibilité de deux demandes à des variations en pourcentage de leurs prix. Quelle grandeur décrit cette sensibilité ?

3. Une fonction dérivable vérifie $f(3)=6$ et $f'(3)=4$ . Quelle est son élasticité au point $x_0=3$ ?

4. Pour une fonction de classe $C^1$ , on estime sa valeur en $x_0+dx$ à partir de sa valeur et de sa pente en $x_0$ . Quelle expression donne cette approximation linéaire ?

5. Près de $x_0=2$ , une fonction a pour dérivée $f'(2)=3$ . Pour un petit déplacement $dx=0{,}04$ , quelle variation de $f$ estime-t-on ?

6. En un point $x_0$ , quelle description caractérise la différentielle $df(x_0)$ ?

7. Une fonction $f$ est dérivable et sa dérivée première $f'$ est elle-même dérivable en $x_0$ . Quelle quantité représente alors $f''(x_0)$ ?

8. Après avoir calculé plusieurs dérivées d’une fonction, une étudiante arrive à une fonction qui n’est plus dérivable. Que peut-elle faire pour poursuivre la construction des dérivées d’ordre supérieur ?

9. Pour une fonction dont les dérivées successives existent jusqu’à l’ordre $n$ , quelle opération définit sa dérivée n-ième en $x_0$ ?

10. Près de $a$ , les fonctions dérivables $f$ et $g$ vérifient $f(x)\to 0$ , $g(x)\to 0$ et $g'(x)\ne 0$ pour $x\ne a$ . Si la limite de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, quelle méthode permet de déterminer $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ ?

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QCM : Limites et dérivation (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel k>0k>0k>0, on considère lim⁡x→+∞xkexp⁡(x)\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}limx→+∞​exp(x)xk​. Quelle valeur obtient-on ?

2. Une économiste veut comparer la sensibilité de deux demandes à des variations en pourcentage de leurs prix. Quelle grandeur décrit cette sensibilité ?

3. Une fonction dérivable vérifie f(3)=6f(3)=6f(3)=6 et f′(3)=4f'(3)=4f′(3)=4. Quelle est son élasticité au point x0=3x_0=3x0​=3 ?

4. Pour une fonction de classe C1C^1C1, on estime sa valeur en x0+dxx_0+dxx0​+dx à partir de sa valeur et de sa pente en x0x_0x0​. Quelle expression donne cette approximation linéaire ?

5. Près de x0=2x_0=2x0​=2, une fonction a pour dérivée f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3. Pour un petit déplacement dx=0,04dx=0{,}04dx=0,04, quelle variation de fff estime-t-on ?

6. En un point x0x_0x0​, quelle description caractérise la différentielle df(x0)df(x_0)df(x0​) ?

7. Une fonction fff est dérivable et sa dérivée première f′f'f′ est elle-même dérivable en x0x_0x0​. Quelle quantité représente alors f′′(x0)f''(x_0)f′′(x0​) ?

8. Après avoir calculé plusieurs dérivées d’une fonction, une étudiante arrive à une fonction qui n’est plus dérivable. Que peut-elle faire pour poursuivre la construction des dérivées d’ordre supérieur ?

9. Pour une fonction dont les dérivées successives existent jusqu’à l’ordre nnn, quelle opération définit sa dérivée n-ième en x0x_0x0​ ?

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1. Pour un réel $k>0$ , on considère $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}$ . Quelle valeur obtient-on ?

3. Une fonction dérivable vérifie $f(3)=6$ et $f'(3)=4$ . Quelle est son élasticité au point $x_0=3$ ?

4. Pour une fonction de classe $C^1$ , on estime sa valeur en $x_0+dx$ à partir de sa valeur et de sa pente en $x_0$ . Quelle expression donne cette approximation linéaire ?

5. Près de $x_0=2$ , une fonction a pour dérivée $f'(2)=3$ . Pour un petit déplacement $dx=0{,}04$ , quelle variation de $f$ estime-t-on ?

6. En un point $x_0$ , quelle description caractérise la différentielle $df(x_0)$ ?

7. Une fonction $f$ est dérivable et sa dérivée première $f'$ est elle-même dérivable en $x_0$ . Quelle quantité représente alors $f''(x_0)$ ?

9. Pour une fonction dont les dérivées successives existent jusqu’à l’ordre $n$ , quelle opération définit sa dérivée n-ième en $x_0$ ?