QCM : Taylor et extremums (11 questions)

Question 1

1. Pour une fonction dérivable plusieurs fois, on construit son polynôme de Taylor d’ordre 3 autour de $x_0=2$ . Quel coefficient multiplie le terme $(x-2)^2$ ?

\frac{f''(2)}{2!}

f''(2)

\frac{f^{(3)}(2)}{3!}

\frac{f'(2)}{2!}

Explication

Dans le polynôme de Taylor, le coefficient du terme de degré $k$ est $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ ; pour $k=2$ et $x_0=2$ , il vaut $\frac{f''(2)}{2!}$ . La dérivée première correspond au terme linéaire, $f''(2)$ omet le factoriel et la dérivée troisième intervient au degré trois.

Answer

$$\frac{f''(2)}{2!}$$

Question 2

2. On développe une même fonction autour de $x_0=1$ puis autour de $x_0=4$ . Quelle conclusion caractérise généralement les deux polynômes obtenus ?

Les polynômes ont les mêmes coefficients, mais des restes différents.

Les polynômes sont généralement différents, car leurs centres diffèrent.

Les polynômes sont identiques, car la fonction développée est la même.

Les polynômes sont identiques dès lors qu’ils ont le même degré.

Explication

Les coefficients du polynôme de Taylor dépendent des dérivées évaluées au centre choisi, donc changer le centre produit généralement un polynôme différent. L’identité de la fonction ou du degré ne garantit pas des coefficients identiques, et la différence ne se limite pas au reste.

Answer

Les polynômes sont généralement différents, car leurs centres diffèrent.

Question 3

3. Quel choix du centre définit le développement de Maclaurin d’une fonction ?

n=0

x_0=1

x_0=-1

x_0=0

Explication

Le développement de Maclaurin est le développement de Taylor obtenu en choisissant le centre $x_0=0$ . Un centre arbitraire ou une valeur de l’ordre ne définit pas Maclaurin.

Answer

$$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$$

Answer

La valeur de la fonction en ce point est inférieure ou égale à ses valeurs en tout point de l’ensemble.

Answer

Un minimum local strict

Answer

Déterminer la nature d’un extremum local à partir du signe de la dérivée seconde.

Answer

Les premiers sont des points stationnaires, tandis que les seconds sont aussi des points candidats à examiner.

Answer

La convexité garantit que la fonction ne prend aucune valeur inférieure ailleurs sur l’intervalle.

Answer

$$1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2!}$$

Answer

Une somme des dérivées de $$f$$ en $$x_0$$, pondérées par $$\frac{(x-x_0)^k}{k!}$$ pour $$k$$ de 0 à $$n$$

Question 4

4. Pour $f(x)=e^x$ , quel polynôme de Maclaurin d’ordre 3 faut-il utiliser ?

1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}

x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}

1+x+x^2+x^3

1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}

Explication

Pour $e^x$ , le polynôme de Maclaurin d’ordre $n$ est $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ ; en prenant $n=3$ , on obtient les termes jusqu’à $\frac{x^3}{3!}$ . Les autres expressions omettent les factoriels, décalent les puissances ou dépassent l’ordre demandé.

Question 5

5. Que signifie qu’un point soit un minimum global d’une fonction sur un ensemble donné ?

La valeur de la fonction en ce point est inférieure ou égale à ses valeurs dans un voisinage du point.

La valeur de la fonction en ce point est inférieure ou égale à ses valeurs en tout point de l’ensemble.

La valeur de la fonction en ce point est supérieure ou égale à ses valeurs en tout point de l’ensemble.

La dérivée de la fonction s’annule en ce point et y change de signe.

Explication

Un minimum global compare la valeur de la fonction en ce point à ses valeurs sur l’ensemble entier. Une comparaison limitée à un voisinage définit un minimum local, qui ne garantit pas que le point soit le plus bas sur tout l’ensemble.

Question 6

6. Si la dérivée d’une fonction passe de négative à positive de part et d’autre d’un point stationnaire, quelle est la nature de ce point ?

Un maximum local strict

Un point sans extremum local strict

Un minimum local strict

Un extremum global nécessairement

Explication

Le passage de la dérivée de négative à positive indique que la fonction décroît puis croît, ce qui caractérise un minimum local strict. Un changement de signe de positif à négatif caractériserait plutôt un maximum local strict.

Question 7

7. Quel est le rôle du critère de la dérivée seconde lorsqu’on étudie un point stationnaire d’une fonction deux fois continûment différentiable ?

Repérer les points où la fonction cesse d’être dérivable.

Déterminer la nature d’un extremum local à partir du signe de la dérivée seconde.

Vérifier si la fonction atteint un extremum global sur tout son domaine.

Établir si la dérivée première change de signe autour du point.

Explication

Lorsque la dérivée première s’annule, le signe de la dérivée seconde permet de conclure à un minimum local si elle est positive, ou à un maximum local si elle est négative. Repérer un changement de signe de la dérivée première constitue une autre méthode d’étude, et non le rôle du critère de la dérivée seconde.

Question 8

8. Lorsqu’on recherche les extremums locaux, en quoi les points où la dérivée s’annule diffèrent-ils des points où la fonction n’est pas dérivable ?

Les premiers se trouvent aux extrémités du domaine, tandis que les seconds sont à l’intérieur.

Les premiers sont des points stationnaires, tandis que les seconds sont aussi des points candidats à examiner.

Les premiers sont forcément des extremums, tandis que les seconds ne peuvent pas en être.

Les premiers se classent par le signe de la fonction, tandis que les seconds se classent par sa valeur.

Explication

Un point où la dérivée s’annule est stationnaire, et un point où la fonction n’est pas dérivable peut également être candidat à un extremum local. Contrairement à ce que suggère un distracteur, l’annulation de la dérivée ne garantit pas à elle seule la présence d’un extremum.

Question 9

9. Pourquoi un minimum local d’une fonction convexe sur un intervalle ouvert est-il aussi un minimum global sur cet intervalle ?

Le tableau de variations montre que la fonction est décroissante de part et d’autre du minimum.

La dérivée seconde positive garantit que tout point de l’intervalle est un minimum local.

La continuité garantit que la fonction atteint ses bornes aux extrémités de l’intervalle.

La convexité garantit que la fonction ne prend aucune valeur inférieure ailleurs sur l’intervalle.

Explication

Pour une fonction convexe, tout minimum local situé dans l’intervalle est également global, car aucune autre valeur de la fonction sur cet intervalle ne peut être plus petite. La continuité sur un intervalle fermé garantit l’existence d’extremums globaux, mais ce résultat distinct ne fonde pas cette propriété de convexité.

Question 10

10. Pour estimer $e^{0,2}$ à l’aide du développement de Maclaurin d’ordre 2, quelle expression polynomiale faut-il calculer ?

1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2!}

1+0,2+(0,2)^2

0,2+\frac{(0,2)^2}{2!}+\frac{(0,2)^3}{3!}

1+\frac{0,2}{2!}+\frac{(0,2)^2}{3!}

Explication

Le développement de Maclaurin d’ordre 2 de l’exponentielle additionne les termes $\frac{x^k}{k!}$ pour $k$ allant de 0 à 2. L’expression sans division par les factorielles, bien que proche, ne respecte pas les coefficients du développement.

Question 11

11. Quelles sont les composantes du polynôme de Taylor d’ordre $n$ de $f$ au voisinage de $x_0$ ?

Une somme des dérivées de

f

en

x_0

, pondérées par

\frac{(x-x_0)^k}{k!}

pour

k

de 0 à

n

Une somme des dérivées de

f

en

x

, pondérées par

\frac{(x_0-x)^k}{k!}

pour

k

de 0 à

n

Une somme des valeurs de

f

en

x_0

, pondérées par

\frac{(x-x_0)^k}{k!}

pour

k

de 1 à

n

Une somme des dérivées de

f

en

x_0

, pondérées par

\frac{(x-x_0)^k}{k}

pour

k

de 0 à

n

Explication

Chaque terme utilise la dérivée d’ordre $k$ évaluée au centre $x_0$ , divisée par $k!$ et multipliée par la puissance correspondante de $x-x_0$ . Évaluer les dérivées en $x$ , comme dans un distracteur, ne correspond pas à la construction du polynôme autour de $x_0$ .

QCM : Taylor et extremums (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction dérivable plusieurs fois, on construit son polynôme de Taylor d’ordre 3 autour de $x_0=2$ . Quel coefficient multiplie le terme $(x-2)^2$ ?

2. On développe une même fonction autour de $x_0=1$ puis autour de $x_0=4$ . Quelle conclusion caractérise généralement les deux polynômes obtenus ?

3. Quel choix du centre définit le développement de Maclaurin d’une fonction ?

4. Pour $f(x)=e^x$ , quel polynôme de Maclaurin d’ordre 3 faut-il utiliser ?

5. Que signifie qu’un point soit un minimum global d’une fonction sur un ensemble donné ?

6. Si la dérivée d’une fonction passe de négative à positive de part et d’autre d’un point stationnaire, quelle est la nature de ce point ?

7. Quel est le rôle du critère de la dérivée seconde lorsqu’on étudie un point stationnaire d’une fonction deux fois continûment différentiable ?

8. Lorsqu’on recherche les extremums locaux, en quoi les points où la dérivée s’annule diffèrent-ils des points où la fonction n’est pas dérivable ?

9. Pourquoi un minimum local d’une fonction convexe sur un intervalle ouvert est-il aussi un minimum global sur cet intervalle ?

10. Pour estimer $e^{0,2}$ à l’aide du développement de Maclaurin d’ordre 2, quelle expression polynomiale faut-il calculer ?

11. Quelles sont les composantes du polynôme de Taylor d’ordre $n$ de $f$ au voisinage de $x_0$ ?

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QCM : Taylor et extremums (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction dérivable plusieurs fois, on construit son polynôme de Taylor d’ordre 3 autour de x0=2x_0=2x0​=2. Quel coefficient multiplie le terme (x−2)2(x-2)^2(x−2)2 ?

2. On développe une même fonction autour de x0=1x_0=1x0​=1 puis autour de x0=4x_0=4x0​=4. Quelle conclusion caractérise généralement les deux polynômes obtenus ?

3. Quel choix du centre définit le développement de Maclaurin d’une fonction ?

4. Pour f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex, quel polynôme de Maclaurin d’ordre 3 faut-il utiliser ?

5. Que signifie qu’un point soit un minimum global d’une fonction sur un ensemble donné ?

6. Si la dérivée d’une fonction passe de négative à positive de part et d’autre d’un point stationnaire, quelle est la nature de ce point ?

7. Quel est le rôle du critère de la dérivée seconde lorsqu’on étudie un point stationnaire d’une fonction deux fois continûment différentiable ?

8. Lorsqu’on recherche les extremums locaux, en quoi les points où la dérivée s’annule diffèrent-ils des points où la fonction n’est pas dérivable ?

9. Pourquoi un minimum local d’une fonction convexe sur un intervalle ouvert est-il aussi un minimum global sur cet intervalle ?

10. Pour estimer e0,2e^{0,2}e0,2 à l’aide du développement de Maclaurin d’ordre 2, quelle expression polynomiale faut-il calculer ?

11. Quelles sont les composantes du polynôme de Taylor d’ordre nnn de fff au voisinage de x0x_0x0​ ?

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1. Pour une fonction dérivable plusieurs fois, on construit son polynôme de Taylor d’ordre 3 autour de $x_0=2$ . Quel coefficient multiplie le terme $(x-2)^2$ ?

2. On développe une même fonction autour de $x_0=1$ puis autour de $x_0=4$ . Quelle conclusion caractérise généralement les deux polynômes obtenus ?

4. Pour $f(x)=e^x$ , quel polynôme de Maclaurin d’ordre 3 faut-il utiliser ?

10. Pour estimer $e^{0,2}$ à l’aide du développement de Maclaurin d’ordre 2, quelle expression polynomiale faut-il calculer ?

11. Quelles sont les composantes du polynôme de Taylor d’ordre $n$ de $f$ au voisinage de $x_0$ ?