Taylor et extremums

📋 Plan du Cours

1. Développement de Taylor
2. Développement de Maclaurin
3. Extremums globaux et locaux
4. Points stationnaires et dérivée première
5. Critère de la dérivée seconde
6. Recherche des extremums locaux
7. Extremums globaux et stratégies
8. Approximation de l’exponentielle

📖 1. Développement de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de Taylor : Le polynôme de Taylor d’ordre n de f autour de x₀ est $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$.

★ À maîtriser

📌 Si f est de classe Cⁿ sur ]a,b[ et x₀ appartient à ]a,b[, alors, pour tout x dans ]a,b[, f(x) s’écrit comme son polynôme de Taylor d’ordre n autour de x₀ augmenté d’un reste rₙ(x).

Compléments

📐 Formule - Le reste de Taylor vérifie $\lim_{x\to x_0}\frac{r_n(x)}{|x-x_0|^n}=0$.

• L’approximation de Taylor dépend du point x₀ choisi ; changer ce point produit généralement un polynôme différent.

• La factorielle vérifie 0! = 1 et, pour k ≥ 1, k! = k(k−1)…1.

📖 2. Développement de Maclaurin

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement de Maclaurin : Le développement de Maclaurin est le développement de Taylor obtenu en choisissant x₀ = 0.