Fiche de révision : Taylor et extremums

📋 Plan du Cours

1. Développement de Taylor
2. Développement de Maclaurin
3. Extremums globaux et locaux
4. Points stationnaires et dérivée première
5. Critère de la dérivée seconde
6. Recherche des extremums locaux
7. Extremums globaux et stratégies
8. Approximation de l’exponentielle

📖 1. Développement de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de Taylor : Le polynôme de Taylor d’ordre n de f autour de x₀ est $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$.

★ À maîtriser

📌 Si f est de classe Cⁿ sur ]a,b[ et x₀ appartient à ]a,b[, alors, pour tout x dans ]a,b[, f(x) s’écrit comme son polynôme de Taylor d’ordre n autour de x₀ augmenté d’un reste rₙ(x).

Compléments

📐 Formule - Le reste de Taylor vérifie $\lim_{x\to x_0}\frac{r_n(x)}{|x-x_0|^n}=0$.

• L’approximation de Taylor dépend du point x₀ choisi ; changer ce point produit généralement un polynôme différent.

• La factorielle vérifie 0! = 1 et, pour k ≥ 1, k! = k(k−1)…1.

📖 2. Développement de Maclaurin

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement de Maclaurin : Le développement de Maclaurin est le développement de Taylor obtenu en choisissant x₀ = 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le polynôme de Maclaurin d’ordre n s’écrit $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$.

• Pour f(x)=e^x, le polynôme de Maclaurin d’ordre n est $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$.

💡 Astuce mémo

Taylor se centre en x₀ ; Maclaurin se centre en 0.

📖 3. Extremums globaux et locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum global : Un point x₀ de A est un maximum global de f si f(x) ≤ f(x₀) pour tout x appartenant à A.
• Minimum global : Un point x₀ de A est un minimum global de f si f(x) ≥ f(x₀) pour tout x appartenant à A.
• Extremum local : Un point x₀ est un maximum ou un minimum local si l’inégalité correspondante vaut dans l’intersection de A avec un voisinage de x₀.

📝 Points essentiels

📌 Un extremum global ou local est strict lorsque l’inégalité correspondante est stricte pour tout x différent de x₀ dans le domaine considéré.

💡 Astuce mémo

Global : tout le domaine ; local : seulement un voisinage.

📖 4. Points stationnaires et dérivée première

🔑 Notions clés & Définitions

• Point stationnaire : Un point où la dérivée de f s’annule est appelé point stationnaire.

★ À maîtriser

• Si f est dérivable sur ]a,b[ et y possède un extremum local en x₀∈]a,b[, alors f′(x₀)=0.

• Si f′(x₀)=0 et que f′ passe de négatif à positif autour de x₀, alors x₀ est un minimum local strict.

• Si f′(x₀)=0 et que f′ passe de positif à négatif autour de x₀, alors x₀ est un maximum local strict.

Compléments

📌 Si f′ ne change pas de signe au voisinage de x₀, alors x₀ n’est pas un extremum local strict.

💡 Astuce mémo

La dérivée passe de − à + : minimum ; de + à − : maximum.

📖 5. Critère de la dérivée seconde

★ À maîtriser

📌 Si f est deux fois continûment différentiable, f′(x₀)=0 et f″(x₀)>0, alors x₀ est un minimum local.

📌 Si f est deux fois continûment différentiable, f′(x₀)=0 et f″(x₀)<0, alors x₀ est un maximum local.

Compléments

• Lorsque f′(x₀)=0 et f″(x₀)=0, le critère de la dérivée seconde ne permet pas de conclure sur la nature de x₀.

• Pour f(x)=x² en 0, f′(0)=0 et f″(0)=2>0, donc 0 est un minimum local.

• Pour f(x)=x³ en 0, f′(0)=f″(0)=0 et 0 n’est pas un extremum local.

• Pour f(x)=x⁴ en 0, f′(0)=f″(0)=0 et 0 est un minimum local.

💡 Astuce mémo

f'' positif : minimum ; f'' négatif : maximum.

📖 6. Recherche des extremums locaux

★ À maîtriser

• Les points candidats sont : les points où f′ s’annule, les points où f n’est pas dérivable, les extrémités de l’intervalle lorsqu’elles en font partie

• La recherche d’un extremum local consiste à repérer les points candidats, puis à déterminer leur nature.

Compléments

• Le signe de f″ peut déterminer la nature d’un point stationnaire, mais cette méthode ne fonctionne pas toujours.

• Si f′ n’est pas définie en un point candidat, il faut examiner la croissance ou la décroissance de f autour de ce point.

• À une extrémité du domaine, il faut examiner le comportement de f du côté où la fonction est définie.

📖 7. Extremums globaux et stratégies

★ À maîtriser

• Tout minimum global est également un minimum local, et tout maximum global est également un maximum local.

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] possède au moins un minimum global et un maximum global.

Compléments

• Le tableau des variations peut aider à déterminer si un extremum local est global.

📌 Pour une fonction convexe sur ]a,b[, tout minimum local situé dans cet intervalle est aussi global.

📌 Pour une fonction concave sur ]a,b[, tout maximum local situé dans cet intervalle est aussi global.

📖 8. Approximation de l’exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Le développement de Maclaurin de e^x à l’ordre n est $e^x\approx\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$.

Compléments

• Pour f(x)=e^x, toutes les dérivées f⁽ᵏ⁾(x) sont égales à e^x.

• La valeur de e est approximativement 2,718282.