Fiche de révision : Statistiques descriptives en classes

📋 Plan du Cours

1. Classes et densités statistiques
2. Position et concentration des séries
3. Représentations graphiques statistiques
4. Mesures de dispersion statistique
5. Choix d’une machine de conditionnement

📖 1. Classes et densités statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude de classe : L’amplitude de la classe $[x_i;x_{i+1}[$ est $x_{i+1}-x_i$.
• Centre de classe : Le centre de la classe $[x_i;x_{i+1}[$ est $c_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}$.
• Densité de classe : Le quotient de son effectif par l’amplitude de cette classe.

📝 Points essentiels

• Pour des classes d’amplitude 300 commençant par $[0;300[$, les effectifs sont 19, 14, 6, 8 et 2 pour les classes $[0;300[$, $[300;600[$, $[600;900[$, $[900;1200[$ et $[1200;1500[$, dont les centres sont 150, 450, 750, 1050 et 1350.

📖 2. Position et concentration des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe modale : Une classe dont la densité est maximale.
• Médiane : Une valeur qui partage les valeurs ordonnées en deux groupes de même effectif.

• Premier quartile : Le premier quartile $Q_1$ est la valeur telle que 25 % des observations lui sont inférieures ou égales et 75 % lui sont supérieures.
• Troisième quartile : Le troisième quartile $Q_3$ est la valeur telle que 75 % des observations lui sont inférieures ou égales et 25 % lui sont supérieures.
• Deuxième quartile : Le deuxième quartile $Q_2$ est la médiane de la série.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne d’une série regroupée en classes vérifie $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ic_i=\sum_{i=1}^{p}f_ic_i$.

Compléments

📌 Si toutes les classes ont la même amplitude, une classe modale est une classe dont l’effectif est maximal.

• La médiane d’une série regroupée en classes peut être estimée par interpolation linéaire dans la classe qui contient le rang $N/2$.

📖 3. Représentations graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Une série regroupée en classes est représentée par des rectangles juxtaposés dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences des classes.

• Courbe cumulative des effectifs : La courbe cumulative des effectifs représente une fonction qui vaut 0 avant la première classe, augmente linéairement entre les bornes selon les effectifs cumulés croissants et vaut l’effectif total après la dernière classe.

• Courbe cumulative des fréquences : La courbe cumulative des fréquences représente une fonction qui vaut 0 avant la première classe, augmente linéairement entre les bornes selon les fréquences cumulées croissantes et vaut 1 après la dernière classe.

★ À maîtriser

• Dans un histogramme, les largeurs des rectangles sont proportionnelles aux amplitudes des classes et leurs hauteurs aux densités des classes.

Compléments

• Le polygone des effectifs ou des fréquences s’obtient en joignant les milieux successifs des côtés supérieurs des rectangles de l’histogramme.

📖 4. Mesures de dispersion statistique

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance d’une série regroupée en classes vérifie $V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_i(c_i-\bar{x})^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ic_i^2-\bar{x}^{2}$.

📐 Formule - L’écart type d’une série statistique est $\sigma=\sqrt{V}$.

📐 Formule - L’écart absolu moyen vérifie $e_m=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_i|c_i-\bar{x}|$.

• L’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile : $Q_3-Q_1$.

Compléments

• Plus l’écart type est élevé, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

• L’écart absolu moyen mesure la distance moyenne entre la moyenne et les valeurs de la série statistique.

• La moitié des valeurs est comprise entre le premier et le troisième quartile.

📖 5. Choix d’une machine de conditionnement

★ À maîtriser

• Une machine est jugée bonne si les trois conditions suivantes sont simultanément satisfaites :
  • Sa moyenne est comprise entre 49,7 et 50,3 kg
  • Son écart type est inférieur à 0,5 kg
  • L’intervalle [49,3 ; 50,5] kg contient 85 % des sacs

Compléments

• Pour la machine A, les résultats indiqués sont une moyenne d’environ 49,8 kg, un écart type de 0,39 kg et 84,35 % des sacs dans l’intervalle [49,3 ; 50,5] kg ; elle ne satisfait donc pas la condition de proportion.

• Pour la machine B, les résultats indiqués sont une moyenne de 49,89 kg, un écart type de 0,37 kg et 89,4 % des sacs dans l’intervalle [49,3 ; 50,5] kg ; elle satisfait les trois conditions et est retenue.