Fiche de révision : Introduction à la dérivation et à l'étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limite en zéro
2. Nombre dérivé
3. Tangente à une courbe
4. Dérivées fonctions usuelles
5. Opérations sur dérivées
6. Étude variations fonctions
7. Extremums fonctions
8. Fonctions composées
9. Dérivée fonctions composées
10. Applications d'optimisation

📖 1. Limite en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La limite d'une fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche lorsque $x$ s'approche de $a$. (Monka, 2023) : « On dit que $f$ a pour limite $L$ lorsque $x$ tend vers 0 si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si \ $|x| < \delta$, alors $|f(x) - L| < \varepsilon$. »

• Notations : La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 est notée $\lim_{x \to 0} f(x) = L$. Cela signifie que lorsque $x$ s'approche de 0, $f(x)$ s'approche de $L$.

• Limite finie : Si $L$ est un nombre réel, alors $\lim_{x \to 0} f(x) = L$ est une limite finie. Exemple : si $f(x) = \frac{\sin x}{x}$, alors $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

• Limite infinie : Si $f(x)$ devient arbitrairement grand ou petit lorsque $x$ tend vers 0, on dit que la limite est infinie, notée $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$. Exemple : $g(x) = \frac{1}{x}$ lorsque $x \to 0^+$, limite infinie positive.

• Interprétation intuitive : La limite en 0 correspond à la valeur que $f(x)$ « approche » lorsque $x$ devient très proche de 0, sans nécessairement être défini en 0 (si $f(0)$ n'existe pas). Cela reflète le comportement local de la fonction autour de 0.

📝 Points essentiels

• La limite en 0 se définit par la proximité des valeurs $f(x)$ de $L$ lorsque $x$ s'approche de 0, indépendamment de la valeur de $f(0)$ si elle existe ou non.
• La notation $\lim_{x \to 0} f(x) = L$ indique que pour toute valeur $\varepsilon > 0$, on peut choisir un $\delta > 0$ tel que si $|x| < \delta$, alors $|f(x) - L| < \varepsilon$.
• Exemples :
  • Limite finie : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
  • Limite infinie : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
• La limite permet d'analyser le comportement local d'une fonction sans exiger qu'elle soit définie en 0.

💡 À retenir

La limite en zéro d'une fonction décrit son comportement lorsque $x$ se rapproche de 0, que la fonction soit définie ou non en 0, en exprimant la valeur que $f(x)$ « approche » dans ce voisinage.

📖 2. Nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé en un point a : La limite du taux d’accroissement de la fonction en a, si elle existe, représente la pente de la tangente à la courbe en ce point. AUTEUR (voir section 4) : cette limite, si elle est finie, définit la dérivabilité en a.

• Formule du taux d’accroissement : Pour une fonction f, le taux d’accroissement en a lorsque h ≠ 0 est donné par :
  $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
  cette expression mesure la variation moyenne de la fonction sur l’intervalle [a, a+h].

• Limite du taux d’accroissement quand h→0 : La dérivée f′(a) si elle existe, est la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
  Elle représente la pente instantanée de la courbe en a.

• Condition de dérivabilité en a : La fonction f est dérivable en a si et seulement si cette limite existe et est finie. Si cette limite n’existe pas ou est infinie, f n’est pas dérivable en a.

• Exemple de calcul pour un polynôme : Pour $f(x) = x^2 + 2x - 3$, la dérivée en a se calcule en utilisant la limite du taux d’accroissement :
  $f′(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 + 2(a+h) - 3 - [a^2 + 2a - 3]}{h} = 2a + 2$

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point a est la limite du taux d’accroissement lorsque h→0, si cette limite existe et est finie.
• La formule du taux d’accroissement est : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• La dérivabilité en a implique l’existence d’une limite finie du taux d’accroissement.
• La fonction polynomiale $f(x) = x^2 + 2x - 3$ est dérivable en tout point, avec $f′(a) = 2a + 2$.
• La non dérivabilité est illustrée par la fonction valeur absolue en 0, où la limite du taux d’accroissement dépend du signe de h.

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point est la pente instantanée de la courbe en ce point, obtenue par la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0.

📖 3. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente de la tangente : La pente de la droite tangente à une courbe en un point est égale au nombre dérivé de la fonction en ce point, soit 𝑓′(𝑎). AUTEUR (date) : La pente de la tangente correspond au taux d’accroissement instantané de la fonction en ce point.

• Définition de la tangente : La tangente à la courbe au point A d’abscisse 𝑎 est la droite passant par A dont la pente est le nombre dérivé 𝑓′(𝑎). Elle "touche" la courbe en ce point sans la couper localement. AUTEUR (date) : La tangente est la limite des droites sécantes lorsque M se rapproche de A.

• Équation de la tangente : L’équation de la tangente à la courbe de 𝑓 au point d’abscisse 𝑎 est donnée par :
  𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎). AUTEUR (date) : La formule exprime la droite tangentielle en fonction de la dérivée en 𝑎 et du point de tangence.

• Lien entre pente et nombre dérivé : La pente de la tangente en un point est égale au nombre dérivé de la fonction en ce point, c’est-à-dire que 𝑓′(𝑎) = limite du taux d’accroissement lorsque ℎ → 0. AUTEUR (date) : La pente limite de la sécante devient la pente de la tangente.

• Méthode graphique pour déterminer 𝑓′(𝑎) : On trace la droite sécante passant par A et un point M proche de A. La pente de cette sécante se rapproche de 𝑓′(𝑎) lorsque M se rapproche de A. La limite de cette pente est le nombre dérivé. AUTEUR (date) : Approche intuitive basée sur la limite des pentes des droites sécantes.

• Exemple d’équation de la tangente : Pour une fonction 𝑓 en 𝑎, si 𝑓(𝑎) = y₀ et 𝑓′(𝑎) = m, alors l’équation de la tangente est :
  𝑦 = m(𝑥 − 𝑎) + y₀. AUTEUR (date) : Application directe de la formule générale de la tangente.

📝 Points essentiels

• La tangente à une courbe en un point est la droite qui "touche" la courbe en ce point en ayant la même pente que la courbe en ce point, c’est-à-dire 𝑓′(𝑎).
• La pente de la tangente est le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎, ce qui relie géométrie et calcul différentiel.
• L’équation de la tangente s’obtient en utilisant la formule : 𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎), où 𝑓′(𝑎) est le nombre dérivé en 𝑎.
• Graphiquement, la pente de la tangente peut être déterminée en traçant la sécante passant par A et un point M proche, puis en calculant la pente de cette droite.
• La limite des pentes des droites sécantes lorsque M se rapproche de A donne le nombre dérivé, qui est la pente de la tangente.
• Exemple : Si 𝑓(2) = 4 et 𝑓′(2) = 3, alors l’équation de la tangente en 2 est 𝑦 = 3(𝑥 − 2) + 4.

💡 À retenir

La tangente à une courbe en un point est la droite qui a la même pente que la courbe en ce point, cette pente étant le nombre dérivé, et son équation s’écrit 𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).

📖 4. Dérivées fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée (Lagrange, 1736-1813) : Fonction qui à chaque point d’un intervalle associe le nombre dérivé de la fonction initiale en ce point, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point.

• Dérivée d’une fonction constante : Si 𝑓(𝑥) = 𝑎, avec 𝑎 ∈ ℝ, alors 𝑓′(𝑥) = 0. La pente d’une droite horizontale est nulle.

• Dérivée d’une fonction puissance (𝑓(𝑥) = 𝑥ⁿ, 𝑛 ∈ ℤ*) : 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥ⁿ⁻¹. La règle fondamentale pour les puissances, démontrée pour 𝑛 ≥ 1.

• Dérivée de la fonction inverse (𝑓(𝑥) = 1/𝑥, 𝑥 ≠ 0) : 𝑓′(𝑥) = −1/𝑥². Introduite par la différentiation de la fonction inverse, selon la règle de la dérivée du quotient.

• Dérivée de la racine carrée (𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 > 0) : 𝑓′(𝑥) = 1/(2√𝑥). Dérivée obtenue par la règle de la puissance avec 𝑛 = 1/2.

📝 Points essentiels

• La fonction dérivée est introduite par Lagrange (1736-1813) pour représenter la pente de la tangente à la courbe en un point, en tant que limite du taux d’accroissement :
  $\boxed{ \text{f′(a) = } \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} }$

• La dérivée d’une fonction constante est nulle, reflétant l’absence de variation.

• La règle de dérivation des puissances : pour 𝑓(𝑥) = 𝑥ⁿ, la dérivée est 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥ⁿ⁻¹, ce qui est démontré pour 𝑛 ≥ 1, puis étendu aux autres entiers par linéarité et limite.

• La dérivée de la fonction inverse, 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, est obtenue par la règle du quotient ou en utilisant la puissance négative : 𝑓(𝑥) = 𝑥⁻¹, donc 𝑓′(𝑥) = −𝑥⁻² = −1/𝑥².

• La dérivée de la racine carrée, 𝑓(𝑥) = √𝑥, est dérivée en utilisant la règle de la puissance avec 𝑛 = 1/2 : 𝑓′(𝑥) = 1/(2√𝑥).

💡 À retenir

Les dérivées des fonctions usuelles (constantes, puissances, inverse, racine carrée) suivent des règles simples et fondamentales, permettant de calculer rapidement la pente de la tangente en tout point, avec une origine attribuée à Lagrange (1736-1813).

📖 5. Opérations sur dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une somme : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée de leur somme est la somme de leurs dérivées :
  $(u + v)' = u' + v'$
  (propriété fondamentale des dérivées, souvent démontrée en utilisant la limite de la somme).

• Dérivée d'un produit : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, la dérivée du produit $uv$ est donnée par la formule de Leibniz :
  $(uv)' = u'v + uv'$
  (démonstration basée sur la limite du taux d’accroissement, voir source Monka, 2023).

• Dérivée d'un quotient : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables avec $v \neq 0$, la dérivée du quotient $\frac{u}{v}$ est :
  $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  (formule démontrée à partir de la dérivée du produit et de la fonction inverse).

• Démonstration de la formule du produit : La formule $(uv)' = u'v + uv'$ se démontre en utilisant la limite du taux d’accroissement de $uv$ et la limite du produit de deux fonctions dérivables, selon Monka (2023).

• Calcul combiné de dérivées : Pour des fonctions composées ou combinées, on utilise la règle de dérivation du produit ou du quotient en appliquant successivement les formules, notamment pour des dérivées de fonctions complexes (voir section 9).

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce qui facilite le calcul pour des fonctions composées par addition.
• La formule du produit est essentielle pour dériver des fonctions de la forme $u(x) v(x)$, notamment en analyse de courbes et optimisation.
• La formule du quotient permet de dériver des fonctions rationnelles, en évitant la division par zéro.
• La démonstration de la formule du produit repose sur la limite du taux d’accroissement, en utilisant la linéarité de la limite et la propriété des fonctions dérivables (source Monka, 2023).
• La dérivée d'une fonction composée nécessite la règle de la chaîne, qui s'applique aussi pour des opérations combinées.

💡 À retenir

Les opérations sur dérivées (somme, produit, quotient) suivent des règles précises, dont la démonstration repose sur la limite du taux d’accroissement, permettant de calculer efficacement la dérivée de fonctions complexes.

📖 6. Étude variations fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction : La dérivée d'une fonction indique si la fonction est croissante ou décroissante. Si 𝑓′(𝑥) ≥ 0 sur un intervalle, alors 𝑓 est croissante sur cet intervalle ; si 𝑓′(𝑥) ≤ 0, alors 𝑓 est décroissante. AUTEUR (source) : Monka (www.maths-et-tiques.fr)

• Théorème sur le signe de 𝑓′ et variations de 𝑓 : Si la dérivée 𝑓′(𝑥) change de signe en un point 𝑐 où elle s'annule, alors 𝑓 possède un extremum en 𝑐. Plus précisément, si 𝑓′(𝑥) passe de positive à négative en 𝑐, 𝑓 admet un maximum ; si elle passe de négative à positive, 𝑓 admet un minimum. AUTEUR (source) : Monka (www.maths-et-tiques.fr)

• Étude des variations d’un polynôme du second degré : La dérivée d’un polynôme du second degré 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 est une fonction affine 𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏. Le signe de 𝑓′(𝑥) détermine si 𝑓 est croissante ou décroissante, et le point où 𝑓′(𝑥) = 0 (le sommet) est le seul extremum. AUTEUR (source) : Monka (www.maths-et-tiques.fr)

• Méthode pour dresser un tableau de variations à partir de 𝑓′ : On étudie le signe de 𝑓′(𝑥) en résolvant 𝑓′(𝑥) = 0, puis on détermine les intervalles où 𝑓′(𝑥) est positif ou négatif. En utilisant ces signes, on remplit un tableau indiquant les variations de 𝑓 : croissante, décroissante, maximum ou minimum. AUTEUR (source) : Monka (www.maths-et-tiques.fr)

📝 Points essentiels

• La dérivée 𝑓′(𝑥) permet de connaître le sens de variation de 𝑓 : croissante si 𝑓′(𝑥) ≥ 0, décroissante si 𝑓′(𝑥) ≤ 0.
• Le changement de signe de 𝑓′(𝑥) en un point 𝑐 où 𝑓′(𝑥) = 0 indique un extremum : maximum si 𝑓′(𝑥) passe de positif à négatif, minimum si elle passe de négatif à positif.
• Pour une fonction polynôme du second degré, le seul extremum se trouve au sommet, où 𝑓′(𝑥) = 0. La dérivée étant affine, le signe de 𝑓′(𝑥) est déterminé par la résolution de 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.
• La méthode consiste à analyser le signe de 𝑓′(𝑥) pour dresser le tableau de variations, en utilisant la racine de 𝑓′(𝑥) pour délimiter les intervalles de croissance et décroissance.
• Exemple : Si 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 8, alors 𝑓′(𝑥) = 0 en 𝑥 = 2, et 𝑓 est décroissante sur ]−∞, 2] et croissante sur [2, +∞[, avec un minimum en 𝑥 = 2.

💡 À retenir

L’étude des variations d’une fonction repose sur le signe de sa dérivée : elle est croissante lorsque 𝑓′(𝑥) ≥ 0 et décroissante lorsque 𝑓′(𝑥) ≤ 0. Le changement de signe de 𝑓′(𝑥) indique la présence d’un extremum.

📖 7. Extremums fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : Point $c$ où la fonction $f$ atteint une valeur supérieure à celles de ses points voisins immédiats, c’est-à-dire $f(c) \geq f(x)$ pour $x$ proche de $c$. AUTEUR (source) : "Un extremum local se produit lorsque la dérivée change de signe de négative à positive en $c$."

• Minimum local : Point $c$ où la fonction $f$ atteint une valeur inférieure à celles de ses points voisins immédiats, c’est-à-dire $f(c) \leq f(x)$ pour $x$ proche de $c$. AUTEUR (source) : "Un extremum local se produit lorsque la dérivée change de signe de positive à négative en $c$."

• Lien entre extremums et points où $f' = 0$ : Si $f$ est dérivable en $c$ et admet un extremum en $c$, alors $f'(c) = 0$ ou $f'$ n’existe pas en $c$. AUTEUR (source) : "Les extremums locaux sont souvent localisés en points stationnaires où la dérivée s’annule."

• Test du signe de $f'$ : Méthode pour déterminer la nature d’un extremum en analysant le changement de signe de $f'$ autour de $c$. Si $f'$ passe de négatif à positif en $c$, alors $c$ est un maximum local ; si $f'$ passe de positif à négatif, alors $c$ est un minimum local. AUTEUR (source) : "Ce test est fondamental pour identifier la nature des points critiques."

📝 Points essentiels

• La recherche d’un extremum consiste à repérer les points où $f' = 0$ ou $f'$ n’est pas défini, appelés points critiques.
• La nature de ces points critiques (maximum, minimum ou point d’inflexion) se détermine par le test du signe de $f'$ : changement de signe de $f'$ en ce point.
• La dérivée seconde $f''$ peut aussi aider : si $f''(c) > 0$, alors $c$ est un minimum ; si $f''(c) < 0$, alors $c$ est un maximum. Cependant, cette méthode n’est pas systématique.
• Exemples pour fonctions polynomiales : en $x$ où $f'(x) = 0$, on vérifie le signe de $f'$ de part et d’autre pour déterminer la nature de l’extremum.

💡 À retenir

Les extremums locaux se localisent en points où la dérivée s’annule ou n’existe pas, et leur nature est déterminée par le changement de signe de la dérivée ou par la dérivée seconde. La compréhension de ces points est essentielle pour analyser le comportement d’une fonction.

📖 8. Fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Fonction obtenue en appliquant une fonction à l’issue de l’application d’une autre fonction. Forme générale : $(v \circ u)(x) = v(u(x))$.
• Notation : La composition de deux fonctions $u$ et $v$ est notée $v \circ u$.
• Décomposition : Identifier dans une fonction une composition de deux fonctions simples, par exemple $f(x) = \sqrt{x - 3}$ peut s’écrire $f = v \circ u$ avec $u(x) = x - 3$ et $v(x) = \sqrt{x}$.
• Importance dans le calcul de dérivées : La règle de la chaîne (voir section 9) permet de dériver une fonction composée en utilisant les dérivées de ses composantes, ce qui est essentiel pour étudier la variation et la dérivabilité de fonctions complexes.
• Exemples usuels : $\sin(\ln x)$, $e^{x^2}$, $\sqrt{2x+1}$. Ces fonctions sont souvent décomposées pour simplifier leur étude ou leur dérivation.
• Théorème : La dérivée d’une fonction composée $f = v \circ u$ est donnée par la règle de la chaîne : $f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$ (voir section 9).

📝 Points essentiels

• La fonction composée permet de construire des fonctions complexes à partir de fonctions simples, facilitant leur étude (notamment la dérivation).
• La décomposition d’une fonction en composition est une étape clé pour appliquer la règle de la chaîne, qui exprime la dérivée d’une composition en fonction des dérivées des fonctions composantes.
• La notation $v \circ u$ indique que la fonction $u$ est appliquée en premier, puis la fonction $v$.
• La compréhension intuitive de $(v \circ u)(x)$ est que l’on « passe » par $u$ pour transformer $x$, puis par $v$ pour obtenir le résultat final.
• La dérivation d’une composition nécessite de connaître les dérivées de $u$ et $v$, ainsi que leur composition, ce qui est fondamental dans l’étude des variations et des extremums (voir sections 6 et 9).
• La règle de la chaîne, formulée par AUTEUR (date), est une étape cruciale pour le calcul différentiel des fonctions composées.

💡 À retenir

La fonction composée, notée $v \circ u$, permet de construire des fonctions complexes à partir de fonctions simples, et la règle de la chaîne est essentielle pour leur dérivation et l’étude de leurs variations.

📖 9. Dérivée fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de chaîne : AUTEUR (date) : formule permettant de calculer la dérivée d'une fonction composée. Si $f(x) = v(u(x))$, alors $f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$.
• Dérivation d'une fonction composée : méthode consistant à appliquer la règle de chaîne pour obtenir la dérivée d'une composition de fonctions.
• Fonction composée : fonction formée par la composition de deux fonctions $v \circ u$, où $v$ et $u$ sont deux fonctions. Notation : $(v \circ u)(x) = v(u(x))$.
• Démonstration de la règle de chaîne : démarche mathématique prouvant que la dérivée d'une fonction composée est le produit des dérivées de chaque fonction, évaluées en la bonne variable.
• Exemples d’application : calculs concrets utilisant la règle de chaîne pour dériver des fonctions complexes, comme $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ ou $f(x) = e^{(2x+1)}$.

📝 Points essentiels

• La règle de chaîne est fondamentale pour dériver des fonctions composées, notamment en analyse avancée. Elle s’écrit :
  $\frac{d}{dx} v(u(x)) = v'(u(x)) \times u'(x)$
• La démonstration de cette règle repose sur la définition de la dérivée et le théorème de la limite. Elle consiste à exprimer la taux d’accroissement de la composé en fonction de ceux de ses composantes, puis à appliquer la limite.
• Lors de l’application, il faut identifier la fonction extérieure $v$ et la fonction intérieure $u$, puis dériver chacune séparément.
• La méthode pour dériver des fonctions composées complexes consiste à décomposer la fonction en plusieurs couches, appliquer la règle de chaîne à chaque étape, et multiplier les dérivées successives.
• Exemples concrets :
  • $f(x) = \sin(3x^2)$ : $f'(x) = \cos(3x^2) \times 6x$
  • $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ : $f'(x) = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$

💡 À retenir

La dérivée d'une fonction composée se calcule en multipliant la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de la fonction intérieure. La règle de chaîne est essentielle pour traiter des fonctions complexes et leur variation.

📖 10. Applications d'optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Application pratique de la dérivation : Utiliser la dérivée d’une fonction pour déterminer les points où la fonction atteint ses valeurs extrêmes (maximum ou minimum) afin d’optimiser une situation donnée (ex : minimiser le coût, maximiser le profit).
• Méthode pour trouver les points optimaux : Consiste à calculer la dérivée d’une fonction, résoudre l’équation f′(x) = 0 pour identifier les candidats aux extremums, puis analyser le signe de f′(x) pour confirmer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum (voir Théorème).
• Utilisation des dérivées en optimisation : La dérivée permet de repérer les points où la fonction change de tendance (croissante/décroissante) et d’identifier ainsi les extrema locaux ou globaux, essentiels pour résoudre des problèmes concrets (ex : maximiser la production, minimiser le coût).
• Exemple d’optimisation en contexte mathématique : La détermination du volume maximum d’un cylindre inscrit dans un cône, ou le coût minimal pour produire une certaine quantité, en utilisant la dérivée pour localiser les points où la fonction de coût ou de volume atteint ses valeurs extrêmes.
• Théorème de Fermat (voir section 7) : Si une fonction est dérivable en un point et atteint un extremum local en ce point, alors sa dérivée en ce point est nulle (f′(x) = 0).

📝 Points essentiels

• La recherche d’un maximum ou d’un minimum d’une fonction se fait en résolvant l’équation f′(x) = 0, puis en vérifiant le signe de f′(x) autour de ces points (positif → croissante, négatif → décroissante).
• La dérivée permet aussi d’établir le tableau de variations d’une fonction, facilitant la visualisation de ses extremums (voir partie 6).
• La méthode est appliquée dans divers contextes : économie (maximiser le profit), ingénierie (minimiser la consommation), gestion (optimiser la production).
• La non-dérivabilité en un point, comme pour la fonction valeur absolue en 0, indique l’absence d’un extremum local à cet endroit précis.
• La connaissance des dérivées des fonctions usuelles (voir partie 4) facilite la résolution rapide de nombreux problèmes d’optimisation.

💡 À retenir

L’optimisation par dérivation consiste à identifier les points où la dérivée s’annule et à analyser le signe de la dérivée pour déterminer si ces points correspondent à des maxima ou minima, permettant ainsi de résoudre efficacement des problèmes concrets.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite finie et limite infinie en zéro, notamment avec des fonctions comme $1/x$.
2. Oublier que la limite en un point peut exister même si la fonction n’est pas définie en ce point.
3. Confondre la limite du taux d’accroissement et la dérivée : la limite doit être finie pour que la dérivée existe.
4. Prendre la valeur de la fonction en un point pour la limite en ce point (souvent faux si la fonction n’est pas continue).
5. Confondre la pente de la tangente et la valeur de la fonction en ce point.
6. Utiliser incorrectement la formule de la dérivée d’une puissance, notamment pour $n \leq 0$.
7. Oublier que la dérivée d’une constante est nulle, même si la fonction n’est pas continue en un point.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition formelle de la limite en un point, notamment la définition de Monka (2023).
2. Savoir calculer une limite finie, infinie ou indéfinie en zéro avec des exemples classiques.
3. Maîtriser la formule du taux d’accroissement et sa limite pour définir la dérivée en un point.
4. Savoir écrire l’équation de la tangente à une courbe en un point à partir de la dérivée.
5. Comprendre que la pente de la tangente est le nombre dérivé en ce point.
6. Savoir calculer la dérivée d’une fonction constante, puissance, inverse, racine selon les règles fondamentales.
7. Être capable d’identifier si une fonction est dérivable en un point ou non.
8. Connaître l’interprétation géométrique de la dérivée : pente de la tangente.
9. Savoir utiliser la formule de la dérivée pour une fonction composée (si abordé).
10. Maîtriser la relation entre la limite du taux d’accroissement et la dérivée.
11. Connaître la formule de la dérivée d’une fonction puissance pour tout $n \in \mathbb{Z}$.
12. Vérifier la continuité d’une fonction en lien avec la limite en ce point.