Flashcards : Introduction à la théorie des ensembles (53 cartes)

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1Question

Comment Georges Cantor définit-il un ensemble ?

Réponse

Un ensemble est un groupement d'objets déterminés et distincts.

2Question

Quelle différence existe-t-il entre un ensemble et un singleton ?

Réponse

Un ensemble est une collection non ordonnée d'objets distincts, un singleton a un seul élément.

3Question

Qu'exprime la définition en extension d'un ensemble ?

Réponse

Elle donne la liste exhaustive des éléments entre accolades.

4Question

Qu'exprime la définition en compréhension d'un ensemble ?

Réponse

Elle donne la propriété vérifiée par les éléments dans un référentiel.

5Question

Comment note-t-on l'ensemble des nombres naturels ?

Réponse

On le note $\mathbb{N}$ .

6Question

Quel symbole désigne l'ensemble des nombres relatifs ?

Réponse

L'ensemble des relatifs est noté $\mathbb{Z}$ .

7Question

Quel symbole désigne l'ensemble des nombres rationnels ?

Réponse

L'ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$ .

8Question

Qui a défini la notion d'ensemble et quand ?

Réponse

Georges Cantor a défini la notion d'ensemble entre 1845 et 1918.

9Question

Que signifie la notation $x \in X$ ?

Réponse

x appartient à l'ensemble X.

10Question

Que signifie la notation $x \notin X$ ?

Réponse

x n'appartient pas à l'ensemble X.

11Question

Qu'est-ce que l'ensemble vide ?

Réponse

L'ensemble sans aucun élément.

12Question

Comment se note l'ensemble vide ?

Réponse

Par le symbole $\varnothing$ .

13Question

Que contient l'ensemble $\{\varnothing\}$ ?

Réponse

Un élément, l'ensemble vide.

14Question

Que suppose le paradoxe de Russell ?

Réponse

L'existence de l'ensemble E de tous les ensembles.

15Question

Comment est défini l'ensemble $A$ dans le paradoxe de Russell ?

Réponse

$A=\{x\in E\mid x\notin x\}$ .

16Question

Quelle contradiction implique l'ensemble $A$ du paradoxe de Russell ?

Réponse

$A\in A$ et $A\notin A$ simultanément.

17Question

Qu'impose l'inclusion $A \subset B$ entre ensembles A et B ?

Réponse

Tout élément de A est un élément de B.

18Question

Quelle condition caractérise l'égalité de deux ensembles A et B ?

Réponse

Ils sont inclus l'un dans l'autre.

19Question

Quelles propriétés l'inclusion vérifie-t-elle ?

Réponse

Elle est réflexive et transitive.

20Question

Quelle inclusion est vraie pour tout ensemble A concernant l'ensemble vide ?

Réponse

L'ensemble vide est inclus dans A.

21Question

Quelle chaîne d'inclusions relie les ensembles numériques ?

Réponse

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

22Question

Qu'est-ce que l'ensemble des parties de A ?

Réponse

C'est l'ensemble de tous les sous-ensembles de A.

23Question

Comment note-t-on l'ensemble des parties de A ?

Réponse

On le note $\mathcal{P}(A)$ .

24Question

Quels éléments appartiennent toujours à $\mathcal{P}(A)$ ?

Réponse

L'ensemble A et l'ensemble vide $\varnothing$ .

25Question

Quels sont les éléments de $\mathcal{P}(\{a,b\})$ ?

Réponse

$\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}$ .

26Question

Quel est $\mathcal{P}(\varnothing)$ ?

Réponse

$\{\varnothing\}$ .

27Question

Quel est $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ ?

Réponse

$\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ .

28Question

Qu'est-ce que l'union $A\cup B$ d'ensembles A et B ?

Réponse

L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

29Question

Qu'est-ce que l'intersection $A\cap B$ d'ensembles A et B ?

Réponse

L'ensemble des éléments communs à A et à B.

30Question

Qu'est-ce que la différence $A\setminus B$ entre ensembles A et B ?

Réponse

L'ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B.

31Question

Qu'est-ce que le complémentaire $A^c$ d'un ensemble $A\subset U$ ?

Réponse

L'ensemble des éléments de U qui n'appartiennent pas à A.

32Question

Quelle formule exprime la différence symétrique $A\Delta B$ ?

Réponse

$A\Delta B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ .

33Question

Qu'exprime la loi de De Morgan pour $\left(A\cup B\right)^c$ ?

Réponse

$\left(A\cup B\right)^c = A^c \cap B^c$ .

34Question

Quelle est la formule de la loi de De Morgan pour $\left(A\cap B\right)^c$ ?

Réponse

$\left(A\cap B\right)^c = A^c \cup B^c$ .

35Question

Quelle est la loi d'identité pour $A\cup\varnothing$ ?

Réponse

$A \cup \varnothing = A$ .

36Question

Que vaut $A\cap U$ selon la loi d'identité ?

Réponse

$A \cap U = A$ .

37Question

Qu'est-ce qu'une partition de E ?

Réponse

Un recouvrement de E par des sous-ensembles non vides deux à deux disjoints.

38Question

Comment se note une famille d'ensembles indexée par I ?

Réponse

$(A_i)_{i \in I}$ .

39Question

Que fait-on pour transformer un recouvrement en partition ?

Réponse

On retire à chaque ensemble les éléments déjà attribués aux ensembles précédents.

40Question

Que signifie qu'une famille d'ensembles est indexée par I ?

Réponse

Chaque indice $i \in I$ est associé à un ensemble $A_i$ .

41Question

Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini E ?

Réponse

Le nombre entier de ses éléments.

42Question

Quelle formule exprime le cardinal d'un ensemble fini E partitionné en parties Ai ?

Réponse

$\operatorname{card}(E)=\sum_i\operatorname{card}(A_i)$ .

43Question

Quelle formule donne le cardinal de l'union de deux ensembles finis A et B ?

Réponse

$\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)$ .

44Question

Comment calcule-t-on le nombre de parties d'un ensemble fini A ?

Réponse

$\operatorname{card}(\mathcal{P}(A))=2^{\operatorname{card}(A)}$ .

45Question

Quelle est la formule de la probabilité d'un événement A dans un univers fini U équiprobable ?

Réponse

$P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(U)}$ .

46Question

Qu'est-ce que le produit cartésien de A et B ?

Réponse

L'ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b \in B$ .

47Question

Pourquoi $A\times B$ n'est-il pas égal à $B\times A$ en général ?

Réponse

Parce que l'ordre des facteurs détermine l'ordre des coordonnées des couples.

48Question

Quelle formule donne la cardinalité de $A\times B$ pour des ensembles finis ?

Réponse

$\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\operatorname{card}(B)$ .

49Question

Que montre l'inclusion si $A\subset A'$ et $B\subset B'$ ?

Réponse

Alors $A\times B\subset A'\times B'$ .

50Question

Comment est défini le plan cartésien $\mathbb{R}^2$ ?

Réponse

Comme $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ avec des points $(x,y)$ .

51Question

Que représente la coordonnée x dans un point $(x,y)$ du plan cartésien ?

Réponse

L'abscisse du point.

52Question

Comment le codage RGB représente-t-il une couleur ?

Réponse

Par un élément de $[0;255]^3$ avec trois valeurs entre 0 et 255.

53Question

Quelles couleurs sont codées dans le produit cartésien RGB ?

Réponse

Le rouge, le vert et le bleu.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 24 questions sur Introduction à la théorie des ensembles.

1. Quelle formulation correspond à la définition d’un ensemble donnée par Georges Cantor ?

2. Quelle distinction décrit correctement un ensemble et un ensemble singleton ?

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