QCM : Introduction à la théorie des ensembles — 24 questions

Explication

Georges Cantor définit un ensemble comme un groupement en un tout d’objets déterminés et bien distincts, appelés éléments. La notion d’ordre ou de représentation graphique ne fait pas partie de cette définition.

Explication

Un ensemble est une collection non ordonnée d’objets deux à deux distincts, et le singleton $\{e\}$ est un ensemble contenant un seul élément, $e$. Le singleton ne doit pas être confondu avec son élément.

Explication

La compréhension décrit les éléments par une propriété vérifiée dans un référentiel, comme être un nombre pair. Les autres écritures énumèrent directement les éléments et relèvent donc de l’extension.

Explication

La notation $x\notin X$ exprime la non-appartenance de $x$ à $X$. Elle ne décrit ni une inclusion entre ensembles ni une égalité entre eux.

Explication

L’ensemble vide $\varnothing$ ne possède aucun élément, alors que $\{\varnothing\}$ possède un élément, lequel est l’ensemble vide. Les deux notations désignent donc des ensembles différents.

Explication

En appliquant à $A$ la condition qui définit cet ensemble, on obtient une contradiction : $A$ devrait appartenir à lui-même et ne pas y appartenir. Le paradoxe ne conclut donc ni que $A$ est vide ni que tous les ensembles s’appartiennent à eux-mêmes.

Explication

L’inclusion $A\subset B$ signifie que chaque élément de $A$ appartient également à $B$. L’existence d’un élément de $A$ absent de $B$ correspondrait au contraire à la non-inclusion.

Explication

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre, c’est-à-dire si $A\subset B$ et $B\subset A$. Avoir une même cardinalité ou un élément commun ne suffit pas à établir leur égalité.

Explication

La transitivité de l’inclusion permet de déduire $A\subset C$ à partir de $A\subset B$ et $B\subset C$. Elle ne permet pas, à elle seule, de conclure à l’égalité des ensembles.

Explication

L'ensemble des parties regroupe chaque sous-ensemble de $A$, y compris les cas particuliers comme $\varnothing$ et $A$ lui-même. Il ne désigne donc pas seulement les éléments de $A$ ni les parties possédant une taille donnée.

Explication

Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même, et l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble. Ces deux ensembles appartiennent donc à $\mathcal{P}(A)$.

Explication

L'union rassemble les éléments appartenant à $A$ ou à $B$, y compris ceux présents dans les deux ensembles. L'intersection demanderait que l'élément soit commun aux deux ensembles.

Explication

L'intersection sélectionne les éléments qui appartiennent simultanément aux deux ensembles. Les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ relèvent plutôt de la différence $A\setminus B$.

Explication

La différence $A\setminus B$ conserve les éléments de $A$ qui n'appartiennent pas à $B$. L'intersection, au contraire, conserverait les éléments communs aux deux ensembles.

Explication

Le complémentaire est défini relativement à $U$ et rassemble les éléments de cet univers absents de $A$. Les éléments communs à $A$ et $U$ constituent plutôt $A$ puisque $A\subset U$.

Explication

Le complément d'une union est l'intersection des complémentaires, ce qui donne $\left(A\cup B\right)^c=A^c\cap B^c$. La transformation en union concerne le complément d'une intersection.

Explication

Une partition recouvre $E$ au moyen de sous-ensembles non vides qui ne partagent aucun élément entre eux. Des sous-ensembles emboîtés ou vides ne satisfont pas cette caractérisation.

Explication

Le cardinal mesure combien d’éléments contient l’ensemble fini. Le nombre de sous-ensembles relève plutôt du cardinal de l’ensemble des parties, qui vaut $2^{\operatorname{card}(E)}$.

Explication

Les parties d’une partition sont disjointes et leur réunion est $E$, donc leurs cardinaux s’additionnent : $4+7+5=16$. Le produit $4\times7\times5$ ne correspond pas à une partition.

Explication

La formule d’inclusion-exclusion donne $12+9-4=17$, car les éléments de l’intersection ont été comptés deux fois dans l’addition. La valeur $21$ oublierait cette correction.

Explication

Chaque élément de $A$ peut être choisi ou non dans une partie, donc $\operatorname{card}(\mathcal{P}(A))=2^5=32$. Le cardinal de $A$ lui-même reste $5$ et ne compte pas ses sous-ensembles.

Explication

Le produit cartésien associe un élément de $A$ en première coordonnée à un élément de $B$ en seconde coordonnée. Les éléments communs relèvent de l’intersection, tandis que deux coordonnées dans $A$ décrivent plutôt $A\times A$.

Explication

Dans $A\times B$, la première coordonnée vient de $A$ et la seconde de $B$, tandis que ces rôles sont inversés dans $B\times A$. Les deux produits peuvent toutefois avoir le même cardinal, car $\operatorname{card}(A)\operatorname{card}(B)=\operatorname{card}(B)\operatorname{card}(A)$.

Explication

Chaque élément de $A$ peut être associé à chacun des éléments de $B$, ce qui donne $6\times4=24$ couples. La somme $6+4$ ne compte pas les associations possibles entre les deux ensembles.