Fiche de révision : Introduction à la théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les ensembles
2. Règles et paradoxes des ensembles
3. Inclusion et égalité des ensembles
4. Ensemble des parties
5. Opérations ensemblistes fondamentales
6. Algèbre et partitions d’ensembles
7. Cardinaux des ensembles finis
8. Produit cartésien et applications

📖 1. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Georges Cantor, 1845-1918 — Groupement en un tout, d'objets déterminés et bien distincts de notre perception ou de notre entendement appelés éléments de l'ensemble.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble est une collection non ordonnée d'objets deux à deux distincts, tandis que l'ensemble singleton {e} est distinct de son unique élément e.

📌 La définition en extension donne la liste exhaustive des éléments entre accolades, tandis que la définition en compréhension donne la propriété vérifiée par les éléments dans un référentiel.

Compléments

• Les ensembles classiques de nombres sont notés $\mathbb{N}$ pour les naturels, $\mathbb{Z}$ pour les relatifs, $\mathbb{D}$ pour les décimaux, $\mathbb{Q}$ pour les rationnels, $\mathbb{R}$ pour les réels et $\mathbb{C}$ pour les complexes.

💡 Astuce mémo

L’élément e n’est pas l’ensemble singleton {e}.

📖 2. Règles et paradoxes des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : La notation $x \in X$ signifie que x appartient à l'ensemble X, tandis que $x \notin X$ signifie que x n'appartient pas à X.
• Ensemble vide : L'unique ensemble qui ne contient aucun élément et se note $\varnothing$, tandis que $\{\varnothing\}$ contient un élément, qui est l'ensemble vide.

📝 Points essentiels

• Le paradoxe de Russell suppose l'existence de l'ensemble E de tous les ensembles, puis définit $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$, ce qui implique simultanément $A\in A$ et $A\notin A$.

💡 Astuce mémo

Supposer l’ensemble de tous les ensembles → contradiction de Russell.

📖 3. Inclusion et égalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Si tout élément de A est un élément de B.

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils sont inclus l'un dans l'autre : $A=B\Leftrightarrow(A\subset B\text{ et }B\subset A)$.

📌 L'inclusion est réflexive et transitive : pour tout ensemble A, $A\subset A$ et $\varnothing\subset A$, et si $A\subset B$ et $B\subset C$, alors $A\subset C$.

Compléments

• Les ensembles numériques vérifient la chaîne d'inclusions $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

💡 Astuce mémo

A inclus dans B, B inclus dans C → A inclus dans C.

📖 4. Ensemble des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : L'ensemble de tous les sous-ensembles de A.

★ À maîtriser

• Pour tout ensemble A, on a $A\in\mathcal{P}(A)$ et $\varnothing\in\mathcal{P}(A)$.

Compléments

• Si $A=\{a,b\}$, alors $\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.

• On a $\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}$ et $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$.

💡 Astuce mémo

Une boîte A contient une collection de toutes ses sous-boîtes.

📖 5. Opérations ensemblistes fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : L'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection : L'ensemble des éléments communs à A et à B.
• Différence : L'ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B.
• Complémentaire : Pour un univers U et $A\subset U$, l'ensemble des éléments de U qui n'appartiennent pas à A.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La différence symétrique vérifie $A\Delta B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$.

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et ; différence = dans A mais pas dans B.

📖 6. Algèbre et partitions d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Un recouvrement de E par des sous-ensembles non vides deux à deux disjoints.
• Famille indexée : Une famille d'ensembles indexée par I associe à chaque indice $i\in I$ un ensemble $A_i$ et se note $(A_i)_{i\in I}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de De Morgan sont $\left(A\cup B\right)^c=A^c\cap B^c$ et $\left(A\cap B\right)^c=A^c\cup B^c$.

Compléments

📐 Formule — Les lois d'identité et de dominance sont $A\cup\varnothing=A$, $A\cap U=A$, $A\cup U=U$ et $A\cap\varnothing=\varnothing$.

• Un recouvrement peut être transformé en partition en retirant à chaque ensemble les éléments déjà attribués aux ensembles précédents.

💡 Astuce mémo

De Morgan : complément de OU = ET des complémentaires.

📖 7. Cardinaux des ensembles finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le nombre entier de ses éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une partition d'un ensemble fini E, $\operatorname{card}(E)=\sum_i\operatorname{card}(A_i)$.

📐 Formule — Pour deux ensembles finis A et B, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)$.

📐 Formule — Pour un ensemble fini A, le nombre de ses parties vérifie $\operatorname{card}(\mathcal{P}(A))=2^{\operatorname{card}(A)}$.

Compléments

📐 Formule — Dans un univers fini U équiprobable, la probabilité d'un événement A est $P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(U)}$.

💡 Astuce mémo

Partition sans recouvrement → cardinalité égale à la somme des cardinaux.

📖 8. Produit cartésien et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : L'ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ tels que $a\in A$ et $b\in B$.

★ À maîtriser

📌 En général, $A\times B\neq B\times A$, car l'ordre des facteurs détermine l'ordre des coordonnées des couples.

📐 Formule — Pour des ensembles finis A et B, le produit cartésien est fini et vérifie $\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\operatorname{card}(B)$.

Compléments

📌 Si $A\subset A'$ et $B\subset B'$, alors $A\times B\subset A'\times B'$.

• Le plan cartésien est $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ et représente chaque point par un couple de réels $(x,y)$, où x est l'abscisse et y l'ordonnée.

• Le codage RGB représente une couleur par un élément de $[0;255]\times[0;255]\times[0;255]=[0;255]^3$, avec une valeur entre 0 et 255 pour chacune des couleurs rouge, vert et bleu.

💡 Astuce mémo

Une grille associe chaque élément de A à chaque élément de B.

📊 Tableaux de synthèse

Modes de définition des ensembles