Fiche de révision : Résistance des matériaux

📋 Plan du Cours

1. Introduction à la RDM
2. Modélisation des structures
3. Actions mécaniques et forces
4. Moments et torseurs
5. Appuis et degrés de liberté
6. Liaisons et systèmes plans

📖 1. Introduction à la RDM

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance des matériaux : Outil qui permet de dimensionner une pièce mécanique, de définir les caractéristiques physiques nécessaires au choix du matériau et de vérifier sa tenue sous charge.

★ À maîtriser

📌 Un problème de dimensionnement consiste à déterminer les dimensions à donner à un corps pour supporter des forces extérieures connues, tandis qu’un problème de vérification consiste, avec les forces extérieures et les dimensions connues, à calculer les efforts intérieurs ou les déformations et à vérifier qu’ils restent inférieurs à une limite fixée.

Compléments

• La mécanique des structures vise à vérifier l’équilibre global de la structure et à dimensionner les fondations par le principe de la descente de charges.

• La mécanique des structures vise aussi à vérifier l’équilibre des éléments composant la structure et à les dimensionner, notamment les planchers.

💡 Astuce mémo

Actions appliquées → dimensionnement ou vérification

📖 2. Modélisation des structures

🔑 Notions clés & Définitions

• Action mécanique : Toute cause physique capable de maintenir un corps au repos, de créer un mouvement ou de déformer un corps.

★ À maîtriser

• 🔄 La modélisation représente successivement:
  1. la géométrie des solides
  2. les liaisons extérieures et intérieures
  3. les actions mécaniques
  4. le comportement des matériaux

📌 Un modèle théorique doit être simple tout en restant le plus proche possible de la réalité afin de permettre l’application des relations d’équilibre des forces et des moments et de préciser les efforts.

Compléments

• Dans un bâtiment industriel, on peut isoler tout le bâti pour vérifier son équilibre, isoler un élément comme une poutre, un poteau ou une semelle pour le dimensionner, ou extraire un portique composé d’un poteau et d’une traverse.

💡 Astuce mémo

Géométrie → liaisons → actions → matériaux

📖 3. Actions mécaniques et forces

★ À maîtriser

📌 Les actions permanentes ont des valeurs ou des effets fixes dans le temps, tandis que les charges d’exploitation ont des valeurs ou des effets variables dans le temps.

• Les actions mécaniques se représentent comme: des actions ponctuelles ou charges concentrées en N ou kN, des actions réparties sur une ligne ou charges linéaires en N/m ou kN/m, des actions réparties sur une surface ou charges surfaciques en N/m² ou kN/m²

• Une force est caractérisée par son intensité en newtons, sa direction ou son support, son sens et son point d’application.

Compléments

• Le poids de la toiture et le poids des éléments constituant le pavillon, comme le plancher, les murs et le dallage, sont des actions fixes dans le temps.

• L’action du vent, l’action de la neige sur la toiture et le poids des personnes et des meubles sont des actions variables dans le temps.

📌 L’ensemble des forces réparties peut être remplacé par une force concentrée équivalente appliquée au centre de gravité de la surface.

💡 Astuce mémo

Charges permanentes fixes, charges d’exploitation variables

📖 4. Moments et torseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’une force : Le mouvement de rotation que peut produire cette force autour de ce point.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le moment d’une force par rapport au point A s’écrit $\vec{M}_A = \overrightarrow{AP} \wedge \vec{F}$.

📐 Formule — Le moment d’un couple vérifie $M = Fd$, où d représente la distance entre les lignes d’action des forces.

📐 Formule — Pour une charge répartie uniforme q sur une longueur L, la résultante vérifie $R=qL$ et son moment par rapport à A vérifie $M_A=\frac{qL^2}{2}$.

Compléments

📌 Deux couples sont équivalents lorsqu’ils ont le même moment M.

💡 Astuce mémo

Une force fait tourner le solide autour du point d’observation

📖 5. Appuis et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de liberté : Déplacement de translation ou de rotation qu’une liaison autorise ou qu’elle bloque entre deux solides.

• Appui : Élément extérieur en contact avec la structure étudiée, dont la réaction dépend de la nature de la liaison entre l’appui et la structure.

📝 Points essentiels

• Dans l’espace, un solide possède 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de liberté de rotation, soit 6 degrés de liberté.

• Dans le plan, un solide possède 2 degrés de liberté de translation et 1 degré de liberté de rotation, soit 3 degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Mouvement autorisé par la liaison, réaction opposée au mouvement bloqué

📖 6. Liaisons et systèmes plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison : Dispositif qui supprime un ou plusieurs degrés de liberté relatifs entre deux solides grâce à une surface de contact.

★ À maîtriser

📌 Les actions de surface développées au niveau du contact entre deux solides ont pour somme le torseur des actions de liaison, généralement exprimé au centre de la liaison.

• Pour bloquer totalement ou partiellement un déplacement, une liaison développe une force ou un couple directement opposé à ce déplacement.

Compléments

• Pour une liaison pivot, le torseur cinématique autorise une rotation autour de l’axe z, tandis que le torseur des actions de liaison comporte les composantes de force Fx, Fy et Fz ainsi que les moments Mx et My.

• Dans les systèmes plans, une articulation est aussi appelée appui double.

📊 Tableaux de synthèse

Degrés de liberté selon le système