Fiche de révision : Introduction à la théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Définition et construction des ensembles
2. Règles fondamentales des ensembles
3. Inclusion et égalité des ensembles
4. Ensemble des parties
5. Opérations et algèbre des ensembles
6. Familles, partitions et dénombrement
7. Produit cartésien
8. Applications du produit cartésien

📖 1. Définition et construction des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Georges Cantor, 1845-1918 — Collection non ordonnée d’objets deux à deux distincts appelés éléments.
• Univers : Ensemble de référence, noté U, dans lequel sont définis les éléments ou sous-ensembles étudiés.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble peut être défini en extension par la liste exhaustive de ses éléments ou en compréhension par la propriété que possèdent ses éléments et seulement eux.

• Les ensembles classiques de nombres sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

💡 Astuce mémo

Extension = éléments listés ; compréhension = propriété imposée

📖 2. Règles fondamentales des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : La notation $x \in X$ signifie que x appartient à l’ensemble X, tandis que $x \notin X$ signifie que x n’appartient pas à X.
• Ensemble vide : L’ensemble vide est l’unique ensemble qui ne contient aucun élément et se note $\varnothing$.

★ À maîtriser

• Le paradoxe de Russell montre qu’un ensemble de tous les ensembles ne peut pas exister en considérant $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$, car $A\in A$ entraîne $A\notin A$ et $A\notin A$ entraîne $A\in A$.

Compléments

📌 Un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet, car ses éléments sont deux à deux distincts.

💡 Astuce mémo

Un tiroir vide contient zéro objet, tandis qu’un tiroir contenant un tiroir vide contient un objet

📖 3. Inclusion et égalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Lorsque tout élément de A appartient à B.
• Égalité des ensembles : Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments, ce qui équivaut à $A=B\Leftrightarrow(A\subset B\text{ et }B\subset A)$.

★ À maîtriser

📌 L’inclusion est réflexive et transitive : $A\subset A$, $\varnothing\subset A$ et, si $A\subset B$ et $B\subset C$, alors $A\subset C$.

Compléments

• Les inclusions usuelles sont $\{a,b\}\subset\{c,a,b\}$ et $\{a,b\}\not\subset\{c,d,b\}$.

💡 Astuce mémo

Inclusion réflexive → transitive → égalité par double inclusion

📖 4. Ensemble des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : Ensemble de tous les sous-ensembles de A.

★ À maîtriser

• Pour tout ensemble A, on a $A\in\mathscr{P}(A)$ et $\varnothing\in\mathscr{P}(A)$.

📐 Formule — Si A est fini, le cardinal de son ensemble des parties vérifie $\operatorname{card}\mathscr{P}(A)=2^{\operatorname{card}A}$.

Compléments

• On a $\mathscr{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}$ et $\mathscr{P}(\mathscr{P}(\varnothing))=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$.

📖 5. Opérations et algèbre des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence symétrique : La différence symétrique $A\Delta B$ contient les éléments de A ou de B mais pas ceux qui appartiennent aux deux.
• Complémentaire : Pour $A\subset U$, le complémentaire de A dans l’univers U est l’ensemble $A^C=U\setminus A$ des éléments de U qui n’appartiennent pas à A.

★ À maîtriser

📌 L’union $A\cup B$ contient les éléments appartenant à A ou à B, tandis que l’intersection $A\cap B$ contient les éléments communs à A et B.

📐 Formule — Les lois de De Morgan sont $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$ et $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$.

Compléments

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ et $A\setminus B=A\cap B^C$.

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et

📖 6. Familles, partitions et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille de sous-ensembles non vides dont l’union est E et dont deux ensembles distincts sont disjoints.
• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini E, noté $\operatorname{card}E$ ou $|E|$, est son nombre d’éléments.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si E est fini et partitionné par une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$, alors $\operatorname{card}E=\sum_i\operatorname{card}A_i$.

📐 Formule — Pour deux ensembles finis, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)$.

💡 Astuce mémo

Partition sans recouvrement → addition des cardinaux

📖 7. Produit cartésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ tels que $a\in A$ et $b\in B$.

★ À maîtriser

📌 En général, $A\times B\neq B\times A$, car l’ordre des composantes des couples est pris en compte.

📐 Formule — Si A et B sont finis, alors $\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\,\operatorname{card}B$.

Compléments

• Pour des ensembles $A_1,\ldots,A_k$, le produit cartésien contient les k-uplets $(a_1,\ldots,a_k)$ tels que $a_i\in A_i$ pour tout i.

💡 Astuce mémo

Une grille associe chaque élément de A à chaque élément de B

📖 8. Applications du produit cartésien

★ À maîtriser

• Le plan cartésien est identifié à $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, où chaque point est un couple $(x,y)$ de réels.

📐 Formule — Le codage RGB représente une couleur comme un élément de $[0;255]\times[0;255]\times[0;255]=[0;255]^3$.

Compléments

📌 Si $A\subset A'$ et $B\subset B'$, alors $A\times B\subset A'\times B'$.

📐 Formule — Le produit cartésien distribue sur l’intersection et l’union : $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$ et $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$.

💡 Astuce mémo

Le plan et les couleurs RGB comme points dans des espaces cartésiens

📊 Tableaux de synthèse

Opérations fondamentales