QCM : Introduction à la théorie des ensembles — 24 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique définit un ensemble en théorie des ensembles ?

Une collection ordonnée d’objets pouvant être répétés

Une propriété commune décrivant plusieurs objets

Une collection non ordonnée d’objets deux à deux distincts

Une suite numérique dont les termes sont classés

Explication

Un ensemble est une collection non ordonnée dont les éléments sont deux à deux distincts. Une propriété commune peut servir à définir un ensemble en compréhension, mais elle ne constitue pas la définition générale d’un ensemble.

Answer

Une collection non ordonnée d’objets deux à deux distincts

Question 2

2. Quelle différence distingue une définition en extension d’une définition en compréhension ?

L’extension décrit une propriété, tandis que la compréhension énumère les éléments

L’extension énumère les éléments, tandis que la compréhension décrit leur propriété

L’extension définit l’univers, tandis que la compréhension définit son complément

L’extension ordonne les éléments, tandis que la compréhension les rend distincts

Explication

La définition en extension donne la liste exhaustive des éléments, alors que la définition en compréhension indique la propriété qu’ils possèdent. La compréhension ne consiste donc pas à énumérer les éléments.

Answer

L’extension énumère les éléments, tandis que la compréhension décrit leur propriété

Question 3

3. Laquelle de ces chaînes représente correctement l’emboîtement des ensembles classiques de nombres ?

\mathbb{C} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{C}

Explication

Les ensembles classiques sont emboîtés dans l’ordre $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ . L’inclusion des naturels dans les entiers et celle des complexes contenant les réels sont notamment inversées dans les chaînes concurrentes.

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

Question 4

4. Quelle affirmation décrit correctement l’ensemble vide et la notation $\{\varnothing\}$ ?

Les deux notations désignent un ensemble sans élément

\varnothing

ne contient aucun élément, tandis que

\{\varnothing\}

contient l’ensemble vide

Les deux notations désignent deux éléments appartenant à un même ensemble

\varnothing

contient l’ensemble vide, tandis que

\{\varnothing\}

ne contient aucun élément

Explication

L’ensemble vide $\varnothing$ ne contient aucun élément, tandis que $\{\varnothing\}$ contient l’ensemble vide comme élément. Ces deux ensembles ne sont donc pas identiques.

Answer

$$\varnothing$$ ne contient aucun élément, tandis que $$\{\varnothing\}$$ contient l’ensemble vide

Question 5

5. Pourquoi la construction $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$ conduit-elle à une contradiction dans le paradoxe de Russell ?

L’absence de A dans lui-même entraîne que tous les éléments de E sont absents

L’inclusion de A dans E empêche toute définition d’un sous-ensemble de E

L’appartenance de A à lui-même entraîne simultanément

A\in A

et

A\notin A

La répétition d’un élément dans A viole la règle des ensembles distincts

Explication

Si $A\in A$ , la définition impose $A\notin A$ ; inversement, si $A\notin A$ , la définition impose $A\in A$ . Cette contradiction montre qu’un ensemble de tous les ensembles ne peut pas exister comme envisagé.

Answer

L’appartenance de A à lui-même entraîne simultanément $$A\in A$$ et $$A\notin A$$

Question 6

6. Que faut-il démontrer pour établir que $A\subset B$ ?

Qu’un élément commun appartient aux deux ensembles

Que tout élément de A appartient à B

Que tout élément de B appartient à A

Qu’un élément de A n’appartient pas à B

Explication

L’inclusion $A\subset B$ signifie que chaque élément de A est aussi un élément de B. Trouver un élément de A absent de B réfuterait cette inclusion, mais ne la démontrerait pas.

Answer

Que tout élément de A appartient à B

Question 7

7. Quelle condition caractérise l’égalité de deux ensembles A et B ?

A=B

dès qu'A est inclus dans B

A=B

si A et B possèdent le même nombre d’éléments

A=B

dès qu’un élément de A appartient aussi à B

A=B

si et seulement si

A\subset B

et

B\subset A

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsqu’ils ont exactement les mêmes éléments, ce qui revient à vérifier les deux inclusions réciproques. Une seule inclusion ou un élément commun ne suffit pas à établir l’égalité.

Answer

$$A=B$$ si et seulement si $$A\subset B$$ et $$B\subset A$$

Question 8

8. Quelle propriété permet de déduire $A\subset C$ de $A\subset B$ et $B\subset C$ ?

La symétrie de l’inclusion, qui inverse les deux ensembles

La disjonction de l’inclusion, qui sépare les éléments communs

La transitivité de l’inclusion, qui relie trois ensembles

La réflexivité de l’inclusion, qui compare un ensemble à lui-même

Explication

La transitivité permet de chaîner les inclusions entre trois ensembles et donne $A\subset C$ . La réflexivité concerne plutôt la relation $A\subset A$ et ne suffit pas à effectuer ce raisonnement.

Answer

La transitivité de l’inclusion, qui relie trois ensembles

Question 9

9. Que représente l’ensemble $\mathscr{P}(A)$ pour un ensemble $A$ ?

L’ensemble des éléments appartenant à

A

L’ensemble des parties ayant le même cardinal que

A

L’ensemble des éléments qui n’appartiennent pas à

A

L’ensemble de tous les sous-ensembles de

A

Explication

L’ensemble $\mathscr{P}(A)$ regroupe tous les sous-ensembles de $A$ , y compris $A$ et l’ensemble vide. La confusion fréquente consiste à l’identifier à $A$ lui-même, alors que ses éléments sont des ensembles.

Answer

L’ensemble de tous les sous-ensembles de $$A$$

Question 10

10. Laquelle de ces inclusions appartient à $\mathscr{P}(A)$ pour tout ensemble $A$ ?

A\in\mathscr{P}(A)

et

\varnothing\notin\mathscr{P}(A)

A\notin\mathscr{P}(A)

et

\varnothing\in\mathscr{P}(A)

A\subset\mathscr{P}(A)

et

\varnothing\notin\mathscr{P}(A)

A\in\mathscr{P}(A)

et

\varnothing\in\mathscr{P}(A)

Explication

Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même, et l’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble. Ils appartiennent donc tous deux à $\mathscr{P}(A)$ .

Answer

$$A\in\mathscr{P}(A)$$ et $$\varnothing\in\mathscr{P}(A)$$

Question 11

11. Un ensemble fini $A$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathscr{P}(A)$ ?

25

32

10

5

Explication

Le cardinal de l’ensemble des parties se calcule par $\operatorname{card}\mathscr{P}(A)=2^{\operatorname{card}A}$ , donc ici $2^5=32$ . Le résultat est une puissance de $2$ , et non le cardinal de $A$ lui-même.

Answer

À l’union $$A\cup B$$

Answer

Il appartient à $$A$$ ou à $$B$$, mais pas aux deux

Answer

Les éléments de $$U$$ qui n’appartiennent pas à $$A$$

Answer

$$(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$$

Answer

Les parties d’une partition sont non vides et deux parties distinctes sont disjointes

Answer

Le nombre d’éléments de $$E$$

Answer

Sa première composante appartient à $$A$$ et sa deuxième à $$B$$

Answer

Les couples échangent leurs composantes, comme $$\left(1,x\right)$$ et $$\left(x,1\right)$$

Answer

Par un couple ordonné $$\left(x,y\right)$$ de réels

Answer

$$[0;255]\times[0;255]\times[0;255]=[0;255]^3$$

Question 12

12. Si un élément appartient à $A$ ou à $B$ , dans quelle opération appartient-il à l’ensemble obtenu ?

À l’union

A\cup B

À l’intersection

A\cap B

Au complémentaire

A^C

À la différence

A\setminus B

Explication

L’union contient les éléments appartenant à $A$ ou à $B$ , tandis que l’intersection exige une appartenance aux deux ensembles. Ainsi, un élément présent dans un seul des deux ensembles appartient à l’union mais pas à l’intersection.

Question 13

13. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un élément à la différence symétrique $A\Delta B$ ?

Il appartient à

A

et à

B

Il n’appartient ni à

A

ni à

B

Il appartient à

A

ou à

B

, mais pas aux deux

Il appartient à

A

et n’appartient pas à

B

Explication

La différence symétrique rassemble les éléments présents dans un seul des deux ensembles et exclut leur intersection. L’appartenance simultanée à $A$ et $B$ correspond au contraire à l’intersection.

Question 14

14. Dans un univers $U$ , que représente le complémentaire $A^C$ d’un sous-ensemble $A$ ?

Les éléments qui appartiennent à

A

ou à son intersection avec

U

Les éléments de

U

qui n’appartiennent pas à

A

Les éléments extérieurs à

U

qui ne sont pas dans

A

Les éléments de

A

qui appartiennent aussi à

U

Explication

Par définition, $A^C=U\setminus A$ contient les éléments de l’univers qui ne sont pas dans $A$ . Les éléments extérieurs à $U$ ne peuvent pas appartenir à ce complémentaire relatif à $U$ .

Question 15

15. Quelle égalité exprime correctement la première loi de De Morgan ?

(A\setminus B)^C=A^C\cap B^C

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

(A\cup B)^C=A^C\cup B^C

(A\cap B)^C=A^C\cap B^C

Explication

Le complémentaire d’une union est l’intersection des complémentaires, selon $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$ . Remplacer l’intersection par une union confond cette loi avec une opération différente.

Question 16

16. Quelle propriété distingue une partition d’un simple recouvrement d’un ensemble $E$ ?

Les parties d’une partition sont non vides et deux parties distinctes sont disjointes

Les parties d’une partition sont deux à deux égales et leur union vaut

E

Les parties d’une partition peuvent être vides et leur union contient

E

Les parties d’une partition ont toutes le même cardinal et leur union vaut

E

Explication

Une partition est formée de sous-ensembles non vides, deux à deux disjoints, dont l’union est $E$ . Un recouvrement peut comporter des intersections non vides entre ses parties.

Question 17

17. Que mesure le cardinal $\operatorname{card}E$ d’un ensemble fini $E$ ?

Le nombre d’éléments extérieurs à

E

Le nombre d’éléments de

E

Le nombre de partitions possibles de

E

Le nombre de sous-ensembles propres de

E

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments, et se note aussi $|E|$ . Le nombre de ses sous-ensembles relève plutôt de $\operatorname{card}\mathscr{P}(E)$ .

Question 18

18. Un ensemble fini $E$ est partitionné en trois parties de cardinaux $4$ , $7$ et $9$ . Quel est le cardinal de $E$ ?

20

16

13

252

Explication

Pour une partition, le cardinal de l’ensemble est la somme des cardinaux des parties : $\operatorname{card}E=4+7+9=20$ . Le produit des cardinaux ne correspond pas à la formule de dénombrement d’une partition.

Question 19

19. Deux ensembles finis vérifient $\operatorname{card}A=12$ , $\operatorname{card}B=9$ et $\operatorname{card}(A\cap B)=4$ . Quel est le cardinal de leur union ?

21

25

17

5

Explication

La formule d’inclusion-exclusion donne $\operatorname{card}(A\cup B)=12+9-4=17$ . Il faut soustraire l’intersection, car ses éléments ont été comptés deux fois dans la somme initiale.

Question 20

20. Quelle condition caractérise un couple appartenant au produit cartésien $A\times B$ ?

Ses deux composantes appartiennent simultanément à

A

et à

B

Il contient deux éléments de

A\cup B

sans ordre imposé

Sa première composante appartient à

B

et sa deuxième à

A

Sa première composante appartient à

A

et sa deuxième à

B

Explication

Un élément de $A\times B$ est un couple ordonné $(a,b)$ tel que $a\in A$ et $b\in B$ . L’ordre impose donc des rôles différents aux deux composantes, contrairement à un ensemble non ordonné.

Question 21

21. Soient $A=\{1,2\}$ et $B=\{x,y\}$ . Pourquoi les produits $A\times B$ et $B\times A$ ne coïncident-ils pas en général ?

Les éléments de

B

ne peuvent pas apparaître dans un couple ordonné

Les deux produits contiennent des couples de tailles différentes

Les couples échangent leurs composantes, comme

\left(1,x\right)

et

\left(x,1\right)

Le premier produit utilise une union tandis que le second utilise une intersection

Explication

Dans $A\times B$ , la première composante vient de $A$ , tandis que dans $B\times A$ , elle vient de $B$ . Ainsi, les couples $\left(1,x\right)$ et $\left(x,1\right)$ sont généralement distincts, même si l’union est commutative.

Question 22

22. Si $A$ possède 4 éléments et $B$ en possède 3, combien d’éléments contient $A\times B$ ?

7

12

1

64

Explication

Chaque élément de $A$ peut être associé à chacun des éléments de $B$ , donc $\operatorname{card}(A\times B)=4\times3=12$ . L’addition des cardinalités ne compte pas toutes les associations possibles.

Question 23

23. Comment un point du plan cartésien est-il représenté dans l’identification $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ?

Par un ensemble non ordonné contenant

x

et

y

Par une seule valeur réelle déterminant ses deux coordonnées

Par un couple ordonné

\left(x,y\right)

de réels

Par un couple dont les deux coordonnées sont des entiers

Explication

Le plan cartésien est identifié à $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , dont les éléments sont les couples ordonnés $\left(x,y\right)$ de nombres réels. Les coordonnées ne sont donc ni interchangeables ni limitées aux entiers.

Question 24

24. Dans le codage RGB, quel ensemble décrit les trois composantes possibles d’une couleur ?

[0;255]\cup[0;255]\cup[0;255]

comme une seule composante

[0;255]\times[0;255]\times[0;255]=[0;255]^3

\{0,255\}\times\{0,255\}\times\{0,255\}

avec trois choix par composante

\mathbb{R}\times\mathbb{R}

avec deux coordonnées réelles

Explication

Une couleur RGB est représentée par un triplet dont chaque composante appartient à $[0;255]$ , soit $[0;255]^3$ . Il ne s’agit ni d’un couple de réels ni d’un ensemble limité aux deux extrémités de l’intervalle.

QCM : Introduction à la théorie des ensembles — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit un ensemble en théorie des ensembles ?

2. Quelle différence distingue une définition en extension d’une définition en compréhension ?

3. Laquelle de ces chaînes représente correctement l’emboîtement des ensembles classiques de nombres ?

4. Quelle affirmation décrit correctement l’ensemble vide et la notation $\{\varnothing\}$ ?

5. Pourquoi la construction $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$ conduit-elle à une contradiction dans le paradoxe de Russell ?

6. Que faut-il démontrer pour établir que $A\subset B$ ?

7. Quelle condition caractérise l’égalité de deux ensembles A et B ?

8. Quelle propriété permet de déduire $A\subset C$ de $A\subset B$ et $B\subset C$ ?

9. Que représente l’ensemble $\mathscr{P}(A)$ pour un ensemble $A$ ?

10. Laquelle de ces inclusions appartient à $\mathscr{P}(A)$ pour tout ensemble $A$ ?

11. Un ensemble fini $A$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathscr{P}(A)$ ?

12. Si un élément appartient à $A$ ou à $B$ , dans quelle opération appartient-il à l’ensemble obtenu ?

13. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un élément à la différence symétrique $A\Delta B$ ?

14. Dans un univers $U$ , que représente le complémentaire $A^C$ d’un sous-ensemble $A$ ?

15. Quelle égalité exprime correctement la première loi de De Morgan ?

16. Quelle propriété distingue une partition d’un simple recouvrement d’un ensemble $E$ ?

17. Que mesure le cardinal $\operatorname{card}E$ d’un ensemble fini $E$ ?

18. Un ensemble fini $E$ est partitionné en trois parties de cardinaux $4$ , $7$ et $9$ . Quel est le cardinal de $E$ ?

19. Deux ensembles finis vérifient $\operatorname{card}A=12$ , $\operatorname{card}B=9$ et $\operatorname{card}(A\cap B)=4$ . Quel est le cardinal de leur union ?

20. Quelle condition caractérise un couple appartenant au produit cartésien $A\times B$ ?

21. Soient $A=\{1,2\}$ et $B=\{x,y\}$ . Pourquoi les produits $A\times B$ et $B\times A$ ne coïncident-ils pas en général ?

22. Si $A$ possède 4 éléments et $B$ en possède 3, combien d’éléments contient $A\times B$ ?

23. Comment un point du plan cartésien est-il représenté dans l’identification $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ?

24. Dans le codage RGB, quel ensemble décrit les trois composantes possibles d’une couleur ?

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QCM : Introduction à la théorie des ensembles — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit un ensemble en théorie des ensembles ?

2. Quelle différence distingue une définition en extension d’une définition en compréhension ?

3. Laquelle de ces chaînes représente correctement l’emboîtement des ensembles classiques de nombres ?

4. Quelle affirmation décrit correctement l’ensemble vide et la notation {∅}\{\varnothing\}{∅} ?

5. Pourquoi la construction A={x∈E∣x∉x}A=\{x\in E\mid x\notin x\}A={x∈E∣x∈/x} conduit-elle à une contradiction dans le paradoxe de Russell ?

6. Que faut-il démontrer pour établir que A⊂BA\subset BA⊂B ?

7. Quelle condition caractérise l’égalité de deux ensembles A et B ?

8. Quelle propriété permet de déduire A⊂CA\subset CA⊂C de A⊂BA\subset BA⊂B et B⊂CB\subset CB⊂C ?

9. Que représente l’ensemble P(A)\mathscr{P}(A)P(A) pour un ensemble AAA ?

10. Laquelle de ces inclusions appartient à P(A)\mathscr{P}(A)P(A) pour tout ensemble AAA ?

11. Un ensemble fini AAA possède 555 éléments. Quel est le cardinal de P(A)\mathscr{P}(A)P(A) ?

12. Si un élément appartient à AAA ou à BBB, dans quelle opération appartient-il à l’ensemble obtenu ?

13. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un élément à la différence symétrique AΔBA\Delta BAΔB ?

14. Dans un univers UUU, que représente le complémentaire ACA^CAC d’un sous-ensemble AAA ?

15. Quelle égalité exprime correctement la première loi de De Morgan ?

16. Quelle propriété distingue une partition d’un simple recouvrement d’un ensemble EEE ?

17. Que mesure le cardinal card⁡E\operatorname{card}EcardE d’un ensemble fini EEE ?

18. Un ensemble fini EEE est partitionné en trois parties de cardinaux 444, 777 et 999. Quel est le cardinal de EEE ?

19. Deux ensembles finis vérifient card⁡A=12\operatorname{card}A=12cardA=12, card⁡B=9\operatorname{card}B=9cardB=9 et card⁡(A∩B)=4\operatorname{card}(A\cap B)=4card(A∩B)=4. Quel est le cardinal de leur union ?

20. Quelle condition caractérise un couple appartenant au produit cartésien A×BA\times BA×B ?

21. Soient A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2} et B={x,y}B=\{x,y\}B={x,y}. Pourquoi les produits A×BA\times BA×B et B×AB\times AB×A ne coïncident-ils pas en général ?

22. Si AAA possède 4 éléments et BBB en possède 3, combien d’éléments contient A×BA\times BA×B ?

23. Comment un point du plan cartésien est-il représenté dans l’identification R2=R×R\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}R2=R×R ?

24. Dans le codage RGB, quel ensemble décrit les trois composantes possibles d’une couleur ?

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4. Quelle affirmation décrit correctement l’ensemble vide et la notation $\{\varnothing\}$ ?

5. Pourquoi la construction $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$ conduit-elle à une contradiction dans le paradoxe de Russell ?

6. Que faut-il démontrer pour établir que $A\subset B$ ?

8. Quelle propriété permet de déduire $A\subset C$ de $A\subset B$ et $B\subset C$ ?

9. Que représente l’ensemble $\mathscr{P}(A)$ pour un ensemble $A$ ?

10. Laquelle de ces inclusions appartient à $\mathscr{P}(A)$ pour tout ensemble $A$ ?

11. Un ensemble fini $A$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathscr{P}(A)$ ?

12. Si un élément appartient à $A$ ou à $B$ , dans quelle opération appartient-il à l’ensemble obtenu ?

13. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un élément à la différence symétrique $A\Delta B$ ?

14. Dans un univers $U$ , que représente le complémentaire $A^C$ d’un sous-ensemble $A$ ?

16. Quelle propriété distingue une partition d’un simple recouvrement d’un ensemble $E$ ?

17. Que mesure le cardinal $\operatorname{card}E$ d’un ensemble fini $E$ ?

18. Un ensemble fini $E$ est partitionné en trois parties de cardinaux $4$ , $7$ et $9$ . Quel est le cardinal de $E$ ?

19. Deux ensembles finis vérifient $\operatorname{card}A=12$ , $\operatorname{card}B=9$ et $\operatorname{card}(A\cap B)=4$ . Quel est le cardinal de leur union ?

20. Quelle condition caractérise un couple appartenant au produit cartésien $A\times B$ ?

21. Soient $A=\{1,2\}$ et $B=\{x,y\}$ . Pourquoi les produits $A\times B$ et $B\times A$ ne coïncident-ils pas en général ?

22. Si $A$ possède 4 éléments et $B$ en possède 3, combien d’éléments contient $A\times B$ ?

23. Comment un point du plan cartésien est-il représenté dans l’identification $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ?