Flashcards : Introduction à la théorie des ensembles — 48 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques selon Cantor?

Réponse

Une collection non ordonnée d'objets deux à deux distincts appelés éléments.

2Question

Comment définit-on un ensemble en extension?

Réponse

Par la liste exhaustive de ses éléments.

3Question

Comment définit-on un ensemble en compréhension?

Réponse

Par la propriété que possèdent ses éléments et seulement eux.

4Question

Qu'est-ce que l'univers en théorie des ensembles?

Réponse

L'ensemble de référence noté U où sont définis les éléments étudiés.

5Question

Quelle notation désigne l'univers en théorie des ensembles?

Réponse

La lettre U.

6Question

Comment sont emboîtés les ensembles classiques de nombres?

Réponse

Selon la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

7Question

Que signifie la notation $x \in X$ ?

Réponse

x appartient à l’ensemble X.

8Question

Que signifie la notation $x \notin X$ ?

Réponse

x n’appartient pas à l’ensemble X.

9Question

Qu'est-ce que l’ensemble vide ?

Réponse

L’ensemble qui ne contient aucun élément.

10Question

Comment se note l’ensemble vide ?

Réponse

$\varnothing$ .

11Question

Pourquoi un ensemble ne peut-il pas contenir deux fois le même objet ?

Réponse

Parce que ses éléments sont deux à deux distincts.

12Question

Que montre le paradoxe de Russell ?

Réponse

Qu’un ensemble de tous les ensembles ne peut pas exister.

13Question

Quelle contradiction apparaît avec l’ensemble $A=\{x\in E\mid x\notin x\}$ ?

Réponse

$A\in A$ entraîne $A\notin A$ et inversement.

14Question

Qui a montré le paradoxe de l’ensemble de tous les ensembles ?

Réponse

Russell.

15Question

Qu'impose l'inclusion $A\subset B$ entre ensembles A et B ?

Réponse

Tout élément de A appartient à B.

16Question

Quelle condition caractérise l'égalité de deux ensembles A et B ?

Réponse

Ils ont les mêmes éléments, soit $A=B\Leftrightarrow (A\subset B \text{ et } B\subset A)$ .

17Question

Quelles propriétés l'inclusion $\subset$ vérifie-t-elle ?

Réponse

Elle est réflexive et transitive.

18Question

Que signifie la réflexivité de l'inclusion pour un ensemble A ?

Réponse

$A\subset A$ est toujours vrai.

19Question

Quelle inclusion est toujours vraie pour l'ensemble vide $\varnothing$ ?

Réponse

$\varnothing \subset A$ pour tout ensemble A.

20Question

Quelle conclusion tire-t-on si $A\subset B$ et $B\subset C$ ?

Réponse

Alors $A\subset C$ par transitivité.

21Question

Donnez un exemple d'inclusion vraie entre ensembles.

Réponse

$\{a,b\}\subset \{c,a,b\}$ est vraie.

22Question

Donnez un exemple d'inclusion fausse entre ensembles.

Réponse

$\{a,b\}\not\subset \{c,d,b\}$ est fausse.

23Question

Qu'est-ce que l'ensemble des parties de A ?

Réponse

C'est l'ensemble de tous les sous-ensembles de A.

24Question

Que contient toujours l'ensemble des parties $\mathscr{P}(A)$ ?

Réponse

Il contient A lui-même et l'ensemble vide.

25Question

Quelle formule donne le cardinal de $\mathscr{P}(A)$ si A est fini ?

Réponse

Le cardinal est $2^{\operatorname{card}A}$ .

26Question

Quel est $\mathscr{P}(\varnothing)$ ?

Réponse

C'est l'ensemble $\{\varnothing\}$ .

27Question

Quel est $\mathscr{P}(\mathscr{P}(\varnothing))$ ?

Réponse

C'est l'ensemble $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ .

28Question

Que contient l'union $A\cup B$ ?

Réponse

Les éléments appartenant à A ou à B.

29Question

Que contient l'intersection $A\cap B$ ?

Réponse

Les éléments communs à A et B.

30Question

Qu'est-ce que la différence symétrique $A\Delta B$ ?

Réponse

Les éléments de A ou de B mais pas des deux.

31Question

Comment se définit le complémentaire $A^C$ de A dans U ?

Réponse

L'ensemble des éléments de U qui n'appartiennent pas à A.

32Question

Quelle est la formule de la différence symétrique $A\Delta B$ ?

Réponse

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ .

33Question

Comment s'exprime la différence $A\setminus B$ en fonction de l'intersection ?

Réponse

$A\setminus B=A\cap B^C$ .

34Question

Quelle est la loi de De Morgan pour $(A\cup B)^C$ ?

Réponse

$(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$ .

35Question

Quelle est la loi de De Morgan pour $(A\cap B)^C$ ?

Réponse

$(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$ .

36Question

Qu'est-ce qu'une partition de E ?

Réponse

Une famille de sous-ensembles non vides, disjoints, dont l'union est E.

37Question

Que désigne le cardinal d'un ensemble fini E ?

Réponse

Le nombre d'éléments de E.

38Question

Quelle formule relie le cardinal de E à ceux de ses sous-ensembles d'une partition ?

Réponse

$\operatorname{card}E=\sum_i \operatorname{card}A_i$ si $\left(A_i\right)_{i\in I}$ partitionne E.

39Question

Comment calcule-t-on le cardinal de l'union de deux ensembles finis A et B ?

Réponse

$\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)$ .

40Question

Qu'est-ce que le produit cartésien de A et B ?

Réponse

L'ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$ .

41Question

Pourquoi $A\times B$ n'est-il généralement pas égal à $B\times A$ ?

Réponse

Parce que l'ordre des composantes des couples est pris en compte.

42Question

Quelle est la formule pour la cardinalité de $A\times B$ si A et B sont finis ?

Réponse

$\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\times \operatorname{card}B$ .

43Question

Que contient le produit cartésien de $A_1,\ldots,A_k$ ?

Réponse

Les k-uplets $(a_1,\ldots,a_k)$ tels que $a_i\in A_i$ pour tout i.

44Question

Comment est identifié le plan cartésien en termes de produit cartésien ?

Réponse

Le plan cartésien est identifié à $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .

45Question

Comment le codage RGB représente-t-il une couleur ?

Réponse

Comme un élément de $[0;255]^3=[0;255]\times[0;255]\times[0;255]$ .

46Question

Quelle inclusion implique $A\times B\subset A'\times B'$ ?

Réponse

Si $A\subset A'$ et $B\subset B'$ .

47Question

Comment le produit cartésien distribue-t-il sur l'intersection ?

Réponse

$A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$ .

48Question

Comment le produit cartésien distribue-t-il sur l'union ?

Réponse

$A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 24 questions sur Introduction à la théorie des ensembles.

1. Quelle caractéristique définit un ensemble en théorie des ensembles ?

2. Quelle différence distingue une définition en extension d’une définition en compréhension ?

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