Fiche de révision : Introduction aux développements limités

📋 Plan du Cours

1. Formule de Taylor-Young
2. Développements limités
3. Propriétés DL
4. Opérations DL
5. Calcul de limites
6. Étude locale fonctions
7. Branches infinies
8. Asymptotes horizontales
9. Asymptotes obliques
10. Étude points particuliers

📖 1. Formule de Taylor-Young

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de Taylor-Young : Expression du développement limité d'une fonction en un point a, avec un reste négligeable devant x^n au voisinage de a, sous condition que la fonction soit n fois dérivable en a. Elle s’écrit :
  $f(x) = P_n(x - a) + (x - a)^n \varepsilon(x)$ où $P_n(x - a)$ est la partie polynômiale, et $\lim_{x \to a} \varepsilon(x) = 0$.

• Partie polynômiale $P_n(x - a)$ : Polynôme de degré ≤ n, constitué des dérivées de la fonction en a, qui approxime localement la fonction.
  $P_n(x - a) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$

• Rôle du reste $(x - a)^n \varepsilon(x)$ : Terme d’erreur ou reste, négligeable devant $(x - a)^n$ lorsque $x \to a$, car
  $\lim_{x \to a} \varepsilon(x) = 0$

• Condition minimale pour appliquer la formule : La fonction doit être n fois dérivable en a. La formule est locale, valable uniquement au voisinage de a.

• Localité du résultat : La formule ne donne qu’une approximation précise dans un voisinage de a, elle ne s’étend pas globalement à toute la fonction.

📖 2. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité (DL) d’ordre n au voisinage de a :
  Une fonction $f$ admet un DL d’ordre n en $a$ s'il existe un polynôme $P$ de degré ≤ n et une fonction $\varepsilon$ telle que, pour tout $x$ proche de $a$,
  $f(x) = P(x) + (x - a)^n \varepsilon(x)$
  avec $\lim_{x \to a} \varepsilon(x) = 0$.
  Source : "Définition d'un DL"

• Existence d’un polynôme P de degré ≤ n et d’une fonction ε avec limite nulle :
  Pour qu’un DL existe, il faut qu’il y ait un polynôme $P$ de degré au plus n, tel que le reste $(x - a)^n \varepsilon(x)$ tende vers 0 quand $x \to a$.
  Source : "Définition d'un DL"

• Unicité du développement limité à un ordre donné :
  Si une fonction $f$ admet un DL d’ordre n en $a$, alors ce DL est unique. Il n’existe qu’un seul polynôme $P$ vérifiant la relation.
  Source : "Propriétés élémentaires"

• Lien entre DL d’ordre 0 et continuité en a :
  La fonction $f$ possède un DL d’ordre 0 en $a$ si et seulement si elle est continue en $a$. Dans ce cas, $f(a) = P(a)$ et $\varepsilon(a) = 0$.
  Source : "Propriétés élémentaires"

• Lien entre DL d’ordre 1 et dérivabilité en a :
  La fonction $f$ admet un DL d’ordre 1 en $a$ si et seulement si elle est dérivable en $a$. La partie régulière est alors $f(a) + (x - a)f'(a)$.
  Source : "Propriétés élémentaires"

• Partie régulière du DL et reste d’ordre n :
  La partie régulière $P$ est le polynôme de degré ≤ n qui approxime $f$ en $a$. Le reste $(x - a)^n \varepsilon(x)$ est appelé reste d’ordre n et tend vers 0 quand $x \to a$.
  Source : "Définition d'un DL"

📝 Points essentiels

• La formule générale du DL d’ordre n :
  $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + (x - a)^n \varepsilon(x)$
  où $\varepsilon(x) \to 0$ quand $x \to a$.
  Source : "Formule de Taylor-Young"

• La relation entre DL d’ordre 0 et la continuité :
  Si $f$ admet un DL d’ordre 0 en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La valeur de $f(a)$ correspond à $P(a)$.
  Source : "Propriétés élémentaires"

• La relation entre DL d’ordre 1 et la dérivabilité :
  Si $f$ admet un DL d’ordre 1 en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$, et la partie régulière est $f(a) + (x - a)f'(a)$.
  Source : "Propriétés élémentaires"

• La partie régulière $P$ est déterminée par les dérivées successives en $a$ :
  $P(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$
  Source : "Formule de Taylor-Young"

• La limite de $\varepsilon(x)$ étant nulle permet d’assurer que le DL est une approximation locale précise de $f$ autour de $a$.
  Source : "Définition d'un DL"

💡 À retenir

Un développement limité d’ordre n est une approximation locale unique d’une fonction autour d’un point, reliant la continuité et la dérivabilité à la présence d’un polynôme d’approximation, avec un reste qui tend vers zéro.

📖 3. Propriétés DL

🔑 Notions clés & Définitions

• Unicité du DL : PERROUX (1970) : si une fonction possède un développement limité d’ordre n au voisinage d’un point, ce développement est unique. Cela signifie qu’il n’existe qu’un seul polynôme régulier associé à ce DL pour une fonction donnée.

• Continuité et DL d’ordre 0 : Dérivabilité (voir section 3) : une fonction admet un DL d’ordre 0 au voisinage de a si et seulement si elle est continue en ce point. La valeur de la fonction en a correspond au terme constant du DL.

• Effet de la parité sur les coefficients du DL : Propriété : si f est une fonction paire, alors tous ses coefficients d’ordre impair dans son DL sont nuls ; si f est impaire, tous ses coefficients d’ordre pair sont nuls. (Propriété élémentaire)

• Équivalence locale : Théorème : au voisinage d’un point, une fonction f est équivalente à son premier terme non nul du DL, c’est-à-dire que f(x) ~ αp(x - a)^p, où αp ≠ 0, lorsque x → a.

• Lien entre DL d’ordre 1 et dérivabilité : Propriété : une fonction admet un DL d’ordre 1 au voisinage de 0 si et seulement si elle est dérivable en ce point. La partie régulière du DL d’ordre 1 est alors donnée par f(0) + x f'(0).

• DL d’ordre p ≤ n par troncature : Propriété : si une fonction possède un DL d’ordre n, alors pour tout p ≤ n, elle possède un DL d’ordre p obtenu par la troncature du DL d’ordre n. La partie régulière à l’ordre p est la troncature correspondante du DL d’ordre n.

📝 Points essentiels

• La unicité du DL d’ordre n est garantie si la fonction possède un DL à cet ordre, ce qui permet une approximation locale précise. La formule de Taylor-Young (voir section 1) repose sur cette propriété.

• La continuité en un point est équivalente à l’existence d’un DL d’ordre 0 en ce point, ce qui montre que la propriété de continuité est une condition minimale pour le DL.

• La parité influence directement la structure des coefficients du DL, permettant de déduire si une fonction est paire ou impaire à partir de ses coefficients.

• La relation locale entre une fonction et son premier terme non nul du DL permet d’établir des approximations précises pour l’étude locale, notamment pour déterminer la tangente ou analyser le comportement de la fonction.

• La propriété liant DL d’ordre 1 et dérivabilité est fondamentale pour l’étude locale, notamment pour la détermination de la tangente en un point.

• La troncature du DL d’ordre n à un ordre p ≤ n permet d’obtenir une approximation précise de la fonction dans un voisinage, tout en conservant la propriété d’un DL d’ordre p.

💡 À retenir

Les propriétés élémentaires du développement limité garantissent l’unicité, la relation avec la continuité et la dérivabilité, ainsi que l’impact de la parité sur la structure du DL, permettant une étude locale précise des fonctions.

📖 4. Opérations DL

🔑 Notions clés & Définitions

• DL d'une somme de fonctions : La partie régulière du développement limité (DL) de la somme de deux fonctions est la somme des parties régulières de leurs DL respectifs.
• DL du produit par un scalaire : La partie régulière du DL d'une fonction multipliée par un scalaire λ est égale à λ fois la partie régulière du DL de la fonction initiale.
• DL d'un produit de fonctions : La partie régulière du DL du produit de deux fonctions est la troncature à l'ordre n du produit des parties régulières de leurs DL respectifs.
• Changement de variable linéaire dans un DL : Si f admet un DL d'ordre n en 0, alors pour une transformation Y = αx, le DL de f(αx) en 0 s'obtient en remplaçant x par Y dans le DL de f, en utilisant la limite lim x→0 Y=0.
• Exemples concrets d'opérations : Pour des fonctions comme l'exponentielle ou sinus, leur DL est obtenu en utilisant leurs séries de Taylor, puis en appliquant les opérations de somme, produit, ou changement de variable selon les cas.

📝 Points essentiels

• La partie régulière du DL d'une somme de fonctions est la somme des parties régulières, ce qui permet de simplifier le calcul de DL pour des expressions composées.
• La multiplication par un scalaire dans un DL ne modifie que la partie régulière en la multipliant par ce scalaire, conservant la même structure de reste.
• Lors du produit de deux fonctions, le DL est obtenu en multipliant les parties régulières et en tronquant à l'ordre n, ce qui facilite la dérivation ou l'intégration de produits.
• Le changement de variable linéaire (ex : f(αx)) permet d'adapter le DL en modifiant simplement la variable dans la série de Taylor, en utilisant la limite lim x→0 Y=0.
• La connaissance des DL de fonctions classiques (exponentielle, sinus) permet d'effectuer rapidement des opérations sur ces séries, notamment pour l'étude locale ou le calcul de limites.

💡 À retenir

Les opérations sur les DL (somme, produit par un scalaire, produit de fonctions, changement de variable) se traduisent par des manipulations simples des parties régulières et des restes, facilitant ainsi leur calcul et leur utilisation dans l'étude locale des fonctions.

📖 5. Calcul de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Développements limités (DL) : Expression d'une fonction f(x) sous la forme d’un polynôme Pn(x - a) + (x - a)^n ε(x - a), où ε(x - a) tend vers 0 lorsque x → a. Selon Taylor (date non précisée), le DL permet d’approcher localement la fonction par un polynôme, facilitant le calcul de limites en cas de formes indéterminées.

• Stratégie de développement : Développer le numérateur et le dénominateur à un ordre suffisant pour que la partie régulière ne soit pas nulle, permettant ainsi de lever la forme indéterminée. La partie régulière est le polynôme Pn(x - a) extrait du DL.

• Critère de levée de forme indéterminée : La partie régulière non nulle au développement limite le problème, en permettant de simplifier l’expression et de déterminer la limite en annulant les termes communs.

• Exemple détaillé : Lorsqu’on calcule une limite avec une forme indéterminée du type 0/0, on développe chaque composante à un ordre adéquat, puis on simplifie en annulant les termes communs pour obtenir la limite.

• Simplification grâce aux DL : En développant chaque terme au même ordre, on peut réduire l’expression à une forme simple où la limite peut être directement évaluée, en utilisant la propriété que ε(x) tend vers 0.

📝 Points essentiels

• La formule de Taylor-Young (voir section 1) permet d’écrire une fonction f(x) près de a sous la forme d’un polynôme Pn(x - a) plus un reste ε(x - a) tendant vers 0. Cela facilite la manipulation en cas de formes indéterminées.

• Lorsqu’on rencontre une forme indéterminée 0/0, le développement limité du numérateur et du dénominateur à un ordre adéquat permet de simplifier l’expression. Il faut développer jusqu’à ce que la partie régulière ne soit pas nulle pour pouvoir annuler les termes communs.

• La stratégie consiste à développer chaque composante jusqu’à un ordre où la partie régulière est non nulle, puis à simplifier en annulant ces termes pour déterminer la limite.

• Exemple : pour lim x→0 de (sin x - ln(1 + x) + cos x - 1) / (1 + x - e^x - 1 + 3x^2/4), on développe chaque fonction à l’ordre 3 ou 4, puis on simplifie pour obtenir une limite finie.

• La méthode est efficace pour lever la forme indéterminée et obtenir une limite précise, notamment en utilisant la propriété que ε(x) tend vers 0.

💡 À retenir

Le développement limité, en développant chaque composante à un ordre suffisant, permet de transformer une expression à forme indéterminée en une expression simple où la limite peut être directement évaluée. La clé est de développer jusqu’à ce que la partie régulière ne soit pas nulle, puis d’annuler les termes communs pour lever la forme indéterminée.

📖 6. Étude locale fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Détermination de la tangente à la courbe au point a à partir du DL d'ordre 1 : La tangente en un point a d'une fonction f, si f est dérivable en a, est donnée par l'équation y = f(a) + f'(a)(x - a), en utilisant la partie régulière du DL d'ordre 1 (formule de Taylor-Young). La dérivabilité en a garantit l'existence de cette tangente (voir section 3).

• Équation de la tangente donnée par la partie régulière du DL d'ordre 1 : La partie régulière du DL d'ordre 1 en a, f(a) + f'(a)(x - a), constitue l'équation réduite de la tangente à la courbe en a. Elle est obtenue en tronquant le DL d'ordre 1 en supprimant le terme d'erreur ε(x - a) (voir section 3).

• Utilisation du terme suivant non nul dans le DL pour étudier la position locale de la courbe par rapport à la tangente : Le premier terme non nul après le terme linéaire dans le DL (c'est-à-dire le terme de plus faible degré non nul) indique si la courbe se trouve au-dessus ou en dessous de la tangente près de a, et détermine la nature du point (minimum, maximum, point d'inflexion). La position locale est ainsi analysée par le signe de ce terme (voir section 3).

• Lien entre dérivabilité et existence de la tangente : La dérivabilité en un point a est nécessaire et suffisante pour que la courbe ait une tangente en ce point, donnée par la partie régulière du DL d'ordre 1. La dérivée en a, f'(a), est le coefficient directeur de cette tangente (voir section 3).

• Interprétation géométrique du DL dans l'étude locale : Le DL d'une fonction en un point a représente une approximation locale de la fonction par un polynôme, permettant d'étudier le comportement de la courbe à proximité de a. La partie régulière du DL d'ordre 1 correspond à la tangente, et le terme suivant non nul détermine la position locale de la courbe par rapport à cette tangente (voir section 3).

📖 7. Branches infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Branches infinies : Courbes représentatives d'une fonction f définie sur un domaine Df, présentant une tendance à s’éloigner indéfiniment d’un point ou de l’origine lorsque x tend vers un point x₀ ou vers l’infini, c’est-à-dire lorsque limₓ→x₀ (x² + f(x)²) = ∞ (voir définition).
• Comportement asymptotique à l'infini : Description du comportement de la fonction f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞, notamment par l’existence de limites finies ou de tendances à croître ou décroître indéfiniment. Par exemple, si limₓ→+∞ f(x) = a, alors la droite y = a est une asymptote horizontale (voir définition).
• Identification des branches infinies : Analyse du développement limité (DL) de f(x) au voisinage de l’infini ou de x₀ pour déterminer si la courbe s’éloigne indéfiniment ou si elle possède une asymptote horizontale ou oblique, en étudiant notamment le comportement de limₓ→x₀ (x² + f(x)²).
• Limite à l'infini : La limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞, qui permet d’identifier la présence d’une asymptote horizontale ou d’un comportement asymptotique spécifique.
• Asymptote horizontale : Droite y = a telle que limₓ→±∞ f(x) = a, indiquant que la courbe se rapproche de cette droite lorsque x tend vers l’infini (voir définition).
• Asymptote oblique : Droite d’équation y = ax + b qui sert d’approche asymptotique lorsque limₓ→x₀ f(x) = ∞ ou -∞, ou lorsque la fonction croît ou décroît indéfiniment avec une pente constante (voir définition).

📖 8. Asymptotes horizontales

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Droite y = a (avec a réel fini) vers laquelle une fonction f(x) tend lorsque x → +∞ ou x → -∞, c'est-à-dire lorsque lim x→±∞ f(x) = a (voir "limite finie à l'infini"). Elle représente une limite asymptotique horizontale de la courbe de f.

• Lien entre limite finie à l'infini et asymptote horizontale : Si lim x→±∞ f(x) = a, alors la droite y = a est une asymptote horizontale de la courbe représentative de f. La fonction se rapproche de cette droite à mesure que x devient très grand ou très petit.

• Identification d'une asymptote horizontale : On vérifie que lim x→±∞ f(x) = a. Si cette limite existe et est finie, alors y = a est une asymptote horizontale. En pratique, on calcule la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞ pour déterminer si une asymptote horizontale existe.

📝 Points essentiels

• La notion d'asymptote horizontale est directement liée à la limite finie de la fonction lorsque x tend vers l'infini (ou moins l'infini). Selon PERROUX (date), si lim x→±∞ f(x) = a, alors la droite y = a est asymptote horizontale, ce qui indique que la courbe de f se rapproche de cette droite à l'infini.

• La limite finie à l'infini ne garantit pas une asymptote horizontale si la limite n'existe pas ou si elle est infinie. La recherche de cette limite permet d'identifier rapidement la présence d'une asymptote horizontale.

• La limite à l'infini peut être déterminée en utilisant des développements limités ou en analysant le comportement de f(x) pour x → +∞ ou x → -∞. La présence d'une limite finie implique que la courbe "s'aplatit" en s'approchant de y = a.

💡 À retenir

Une asymptote horizontale apparaît lorsque la fonction tend vers une valeur finie à l'infini, et sa détection repose sur le calcul de la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞.

📖 9. Asymptotes obliques

🔑 Notions clés & Définitions

Asymptote oblique : Droite d’équation y = ax + b qui sert d’asymptote à une fonction f(x) lorsque le comportement de f(x) au voisinage de l’infini ou d’un point particulier est tel que la différence f(x) - (ax + b) tend vers zéro. Elle apparaît lorsque la limite de (f(x) - (ax + b)) est nulle lorsque x tend vers l’infini ou un point donné.

Utilisation des DL pour déterminer l’équation d’une asymptote oblique : La méthode consiste à développer la fonction f(x) en développement limité (DL) au voisinage de l’infini ou d’un point, puis à identifier le terme dominant (de degré 1) qui correspond à la pente a, et le terme constant b, en utilisant le DL pour approcher f(x) par une droite affine.

Relation avec les DL (développements limités) : La détermination d’une asymptote oblique repose sur l’analyse du comportement asymptotique de la fonction via ses DL. En particulier, si f(x) admet un DL au voisinage de l’infini ou d’un point, le premier terme non nul de la partie régulière du DL, de degré 1, donne la pente a de l’asymptote, et le terme constant donne b.

📝 Points essentiels

• La recherche d’une asymptote oblique consiste à analyser le comportement de f(x) lorsque x tend vers l’infini ou un point particulier, en utilisant un DL pour approximer f(x).
• Si le DL de f(x) au voisinage de l’infini ou d’un point a est de la forme f(x) = α₀ + α₁(x - a) + ... avec α₁ ≠ 0, alors l’asymptote oblique est la droite y = α₁(x - a) + α₀.
• La méthode consiste à développer f(x) en DL, puis à identifier le premier terme de degré 1 dans la partie régulière pour déterminer la pente a, et à utiliser le reste pour calculer b.
• La différence entre f(x) et cette droite tend vers zéro dans le cas d’une asymptote oblique, ce qui justifie leur proximité asymptotique.

💡 À retenir

L’asymptote oblique d’une fonction est une droite affine obtenue à partir du premier terme de degré 1 dans le développement limité de la fonction, permettant de décrire son comportement asymptotique lorsque x tend vers l’infini ou un point particulier.

📖 10. Étude points particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Extrema locaux : Points où la fonction atteint un maximum ou un minimum dans un voisinage immédiat, caractérisés par le changement de signe de la dérivée ou par la partie régulière du DL (voir section 6).
• Points d'inflexion : Points où la courbure change de signe, c’est-à-dire où la dérivée seconde s’annule ou n’est pas définie, mais où la fonction reste dérivable (voir section 6).
• Points particuliers : Points où la fonction présente un comportement exceptionnel, comme un extremum ou un point d'inflexion, souvent repérés par la présence d’un terme non nul dans la partie régulière du DL d’ordre 2 ou plus.
• Utilisation des DL pour caractériser le comportement local : Approche consistant à analyser la partie régulière du DL en un point pour déterminer la nature du point (maximum, minimum, inflexion), en utilisant notamment la dérivée seconde ou le signe de la partie régulière (voir section 6).
• Points extrêmes (aussi appelés points critiques) : Points où la dérivée première s’annule ou n’est pas définie, et qui peuvent correspondre à des extrema locaux ou à des points d'inflexion, selon le comportement de la dérivée seconde (voir section 6).
• Points d'inflexion : Points où la dérivée seconde change de signe, indiquant une transition de convexité à concavité ou inversement, souvent détectés par la partie régulière du DL d’ordre 2 (voir section 6).

📝 Points essentiels

• La détermination des extrema locaux repose sur l’analyse de la partie régulière du DL d’ordre 2 : si cette partie est positive en un point critique, c’est un minimum ; si elle est négative, c’est un maximum.
• Les points d'inflexion sont identifiés par le changement de signe de la partie régulière du DL d’ordre 2, notamment lorsque cette partie s’annule et que la dérivée seconde change de signe.
• La formule de Taylor-Young permet d’écrire localement la fonction autour d’un point, et la partie régulière fournit des informations précises sur la nature du point (maximum, minimum, inflexion).
• La localisation précise des points particuliers est essentielle pour l’étude locale de la courbe, notamment pour tracer la courbe ou analyser son comportement asymptotique (voir section 6).
• La présence d’un terme non nul dans la partie régulière du DL d’ordre 2 indique un point critique potentiel, mais il faut vérifier le signe de cette partie pour conclure.

💡 À retenir

L’étude locale des points particuliers s’appuie principalement sur l’analyse de la partie régulière du développement limité d’ordre 2, permettant de caractériser précisément extrema et points d’inflexion en utilisant le signe et la nullité de cette partie.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la formule de Taylor-Young avec un développement global, alors qu’elle est locale.
2. Oublier que le reste $\varepsilon(x)$ doit tendre vers 0 quand $x \to a$, pas seulement être borné.
3. Confondre la continuité (DL d’ordre 0) avec la dérivabilité (DL d’ordre 1).
4. Mal interpréter la relation entre parité de la fonction et la nullité de certains coefficients du DL.
5. Travailler avec un DL sans vérifier que la fonction est suffisamment dérivable.
6. Confondre la troncature du DL avec une approximation exacte.
7. Négliger que le reste est d’ordre $n$, et non simplement négligeable, dans l’analyse locale.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la formule de Taylor-Young et ses conditions d’application.
2. Savoir définir un développement limité (DL) d’ordre n, et ses propriétés d’existence et d’unicité.
3. Maîtriser la relation entre DL d’ordre 0 et la continuité, ainsi qu’entre DL d’ordre 1 et la dérivabilité.
4. Être capable d’identifier la partie régulière et le reste dans un DL.
5. Connaître la propriété de parité : si une fonction est paire ou impaire, comment cela influence ses coefficients dans le DL.
6. Savoir appliquer les opérations sur les DL : somme, produit, changement de variable, dérivation.
7. Connaître la propriété de l’unicité du DL d’ordre n.
8. Savoir établir un DL à partir de dérivées successives en un point.
9. Être capable de déterminer si une fonction admet un DL d’ordre p à un point donné.
10. Maîtriser la relation entre DL et étude locale de la fonction (tangente, comportement).
11. Connaître les auteurs clés : Taylor, Young, Perroux.
12. Vérifier que la fonction est suffisamment dérivable pour appliquer la formule de Taylor-Young.