Fiche de révision : Introduction aux équations différentielles du premier ordre

📋 Plan du Cours

1. Équations différentielles et primitives
2. Vérifier qu’une fonction est solution
3. Primitives des fonctions usuelles
4. Calcul de primitives par règles
5. Équation y′ = ay : solutions
6. Équation y′ = ay + b : solutions
7. Équation y′ = ay + f : méthode

📖 1. Équations différentielles et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation différentielle est une équation fonctionnelle où apparaissent les dérivées de la fonction inconnue.
• Équation différentielle du premier ordre : Une équation différentielle est dite du premier ordre quand elle relie la fonction inconnue y et sa dérivée y′.
• Équation différentielle du second ordre : Une équation différentielle est dite du second ordre quand elle relie y, y′ et y′′.
• Primitive d’une fonction : Une primitive de f sur I est une fonction F définie sur I qui vérifie l’équation y′=f, donc F′=f.
• Équation y′=f : L’équation y′=f est une équation différentielle dont l’inconnue est une fonction y et dont les solutions sont les primitives de f.

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle est une égalité impliquant une fonction inconnue et ses dérivées.
• Le premier ordre correspond à une relation entre y et y′.
• Le second ordre correspond à une relation entre y, y′ et y′′.
• Si F est une primitive de f, alors F est dérivable sur I et F′=f.
• Si F est une primitive de f, alors pour tout réel k, F+k est aussi une primitive de f.

💡 Astuce mémo

Primitive = dérivée : F′=f, et toutes les primitives diffèrent d’une constante.

📖 2. Vérifier qu’une fonction est solution

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution d’une équation différentielle : Une solution d’une équation différentielle est une fonction qui, une fois substituée, rend l’égalité vraie sur l’intervalle considéré.
• Domaine de définition : Le domaine de définition est l’ensemble des x où la fonction inconnue et les opérations nécessaires sont valides.

📝 Points essentiels

• Pour vérifier une solution, on calcule la dérivée de la fonction proposée sur le domaine donné.
• On remplace y par la fonction proposée et y′ par sa dérivée dans l’équation.
• Exemple : pour y(x)=√x sur ]0;+∞[, on a y′(x)=1/(2√x) et l’équation √x y′+1/√x y=3/2 est satisfaite.
• Exemple : pour F(x)=e^{2x}√(x^2+x+1) (forme donnée dans l’énoncé), on montre que F′(x) redonne exactement la fonction f(x) proposée.
• La vérification repose sur des calculs de dérivées et sur l’égalité finale, pas sur une intuition.

💡 Astuce mémo

Méthode express : dériver → substituer → simplifier jusqu’à retrouver le second membre.

📖 3. Primitives des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive d’une constante : Une primitive d’une fonction constante f(x)=a est une fonction affine ax+k définie sur le même intervalle.
• Primitive de x^n : Une primitive de x^n (n entier relatif) s’obtient en augmentant l’exposant, sauf le cas particulier n=-1.
• Primitive de 1/x : Une primitive de 1/x sur un intervalle où x a un signe constant est le logarithme naturel ln|x| à une constante près.
• Primitive de e^x : Une primitive de e^x est e^x à une constante près, car la dérivée de e^x vaut e^x.
• Primitive de sin(x) : Une primitive de sin(x) est -cos(x) à une constante près, car la dérivée de -cos(x) vaut sin(x).

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=a sur R, une primitive est F(x)=ax+k avec k réel.
• Pour f(x)=x^n avec n entier relatif et n≠-1, une primitive est F(x)=x^{n+1}/(n+1)+k sur l’intervalle adapté.
• Le cas n=-1 donne une primitive de 1/x : F(x)=ln x + k sur ]0;+∞[ (et ln|x| selon le signe, ici l’énoncé donne ln x).
• Pour f(x)=1/√x sur ]0;+∞[, une primitive est F(x)=2√x+k.
• Pour f(x)=e^x sur R, une primitive est F(x)=e^x+k.
• Pour f(x)=sin(x) sur R, une primitive est F(x)=-cos(x)+k, et pour f(x)=cos(x), une primitive est F(x)=sin(x)+k.

💡 Astuce mémo

Règles clés : x^n → x^{n+1}/(n+1) (sauf -1), 1/x → ln x, e^x → e^x, sin ↔ -cos, cos ↔ sin.

📖 4. Calcul de primitives par règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de linéarité : La dérivation est linéaire, ce qui permet de calculer des primitives de combinaisons à partir de primitives connues.
• Puissance et exposant : Les règles de calcul des primitives utilisent souvent la forme u(x)^n et la dérivation de u(x).
• Changement de variable (composition) : Quand une fonction est composée, on peut retrouver une primitive via une dérivée interne u′(x) adaptée.
• Forme u′/u : Les expressions de type u′(x)/u(x) conduisent à une primitive liée au logarithme de |u(x)|.
• Forme u′ e^{u} : Les expressions de type u′(x)e^{u(x)} ont une primitive directe égale à e^{u(x)} à une constante près.

📝 Points essentiels

• Si u et v sont dérivables sur I et que u′+v′ correspond à u+v, alors une primitive se construit à partir de primitives de u et v (linéarité).
• Pour λ réel, une primitive de λu′ est λu (sur I).
• Pour u′u^n avec n∈Z, n≠0 et n≠-1, une primitive est u^{n+1}/(n+1) (sur l’intervalle où u ne s’annule pas).
• Pour u′/u^2−1 avec u(x)≠0 sur I, l’énoncé donne une primitive de la forme liée à u (cas u′/(u^2−1) dans la table).
• Pour u′/(2√u) avec u(x)>0, une primitive est 2√u (selon la ligne correspondante de la table).
• Pour u′/u, une primitive est ln|u| (quand u(x)≠0).

💡 Astuce mémo

3 réflexes : u′u^n → puissance de u, u′/u → ln|u|, u′e^{u} → e^{u}.

📖 5. Équation y′ = ay : solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y′ = ay : Une équation différentielle y′=ay relie la dérivée de y à y elle-même par un coefficient a.
• Constante K : Dans la famille de solutions, K est un paramètre réel qui fixe la solution particulière.
• Famille de solutions : Une famille de solutions est l’ensemble des fonctions qui vérifient l’équation différentielle sur le domaine.

📝 Points essentiels

• Pour a∈R∗, les solutions sur R sont de la forme y(x)=Ke^{ax} avec K∈R.
• Pour toute valeur de K, la fonction Ke^{ax} est dérivable sur R et vérifie y′=ay.
• Réciproquement, si f est solution de y′=ay, alors e^{−ax}f(x) est constante.
• La preuve utilise la fonction g(x)=e^{−ax}f(x) dont la dérivée vaut 0.
• Donc toute solution s’écrit nécessairement y(x)=Ke^{ax}.

💡 Astuce mémo

y′=ay → exponentielle : y = K e^{ax} (K fixe la hauteur).

📖 6. Équation y′ = ay + b : solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y′ = ay + b : Une équation différentielle y′=ay+b relie la dérivée de y à une combinaison linéaire de y et d’une constante b.
• Solution particulière constante : Une solution particulière peut être une constante quand le terme de droite est constant et que l’équation admet une compensation via a.
• Paramètre K : Le paramètre K décrit la solution générale en ajoutant la composante homogène.

📝 Points essentiels

• Pour a∈R∗ et b∈R, les solutions sur R sont y(x)=Ke^{ax}−b/a avec K∈R.
• On vérifie que f(x)=Ke^{ax}−b/a satisfait y′−ay=b en calculant f′.
• La preuve montre que f′(x)−a f(x)=b.
• Pour la réciproque, on soustrait une constante c(x)=−b/a à toute solution f.
• On obtient que f−c vérifie l’équation homogène y′=ay.
• Ainsi f−c=Ke^{ax}, donc f=Ke^{ax}−b/a.

💡 Astuce mémo

Cas avec +b : on garde Ke^{ax} et on décale de −b/a.

📖 7. Équation y′ = ay + f : méthode

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y′ = ay + f : Une équation différentielle y′=ay+f combine une partie homogène ay et un terme source f(x).
• Solution particulière : Une solution particulière est une fonction f (dans le cours) qui vérifie l’équation avec le second membre donné.
• Équation homogène associée : L’équation homogène associée à y′=ay+f est y′=ay, obtenue en supprimant le second membre.
• Superposition des solutions : La différence entre deux solutions d’une équation linéaire vérifie l’équation homogène associée.

📝 Points essentiels

• Si f est une solution particulière de y′−3y=ex, alors toute solution g s’écrit comme g=Ke^{3x}+f.
• Dans l’exemple, on propose f(x)=−(1/2)e^{x} et on vérifie que f′−3f=ex.
• Pour trouver les autres solutions, on considère g et on écrit g′−3g=ex.
• On soustrait les deux égalités pour obtenir (g−f)′−3(g−f)=0.
• On reconnaît l’équation homogène y′=3y pour y=g−f.
• Les solutions de y′=3y sont Ke^{3x}, donc g(x)=Ke^{3x}+f(x)=Ke^{3x}−(1/2)e^{x}.

💡 Astuce mémo

Méthode : une solution particulière f + la solution homogène (via g−f).

📊 Tableaux de synthèse

Familles de solutions (homogène vs avec second membre constant)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre primitive et solution : une primitive F vérifie F′=f, tandis qu’une solution d’équation différentielle vérifie l’égalité après substitution.
2. Oublier le cas particulier n=-1 pour x^n : x^{-1} ne donne pas une puissance mais un logarithme.
3. Se tromper de domaine : certaines primitives (comme ln x ou √x) exigent x>0 ou un intervalle où l’expression est définie.
4. Dans y′=ay+b, oublier le décalage −b/a et ne garder que Ke^{ax}.
5. Dans y′=ay+f, confondre la solution particulière donnée (notée f dans l’énoncé) avec la fonction inconnue g ; la différence g−f suit l’homogène.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une équation différentielle et distinguer premier ordre (y,y′) et second ordre (y,y′,y′′).
2. Savoir utiliser la définition de primitive : F′=f sur l’intervalle, et comprendre l’ajout d’une constante.
3. Savoir vérifier qu’une fonction est solution : dériver, substituer dans l’équation, simplifier jusqu’au second membre.
4. Connaître les primitives usuelles : constante, x^n (n≠-1), 1/x (ln), 1/√x, e^x, sin, cos.
5. Savoir appliquer les règles de calcul de primitives à partir des formes u′, u′u^n, u′/u, u′e^{u} et les conditions associées.
6. Résoudre y′=ay (a∈R∗) : écrire y(x)=Ke^{ax} et utiliser une condition initiale pour trouver K.
7. Résoudre y′=ay+b (a∈R∗) : écrire y(x)=Ke^{ax}−b/a et appliquer une condition initiale.
8. Résoudre y′=ay+f par méthode : trouver/identifier une solution particulière f, puis écrire g=Ke^{ax}+f en utilisant que g−f vérifie l’homogène.