QCM : Introduction aux fonctions convexes et récurrence — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quand une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, comment se situe sa courbe par rapport à ses tangentes ?

Elle est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes
Elle est entièrement au-dessous de toutes ses tangentes
Elle coupe nécessairement toutes ses tangentes
Elle admet une tangente unique sur l’intervalle

Elle est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes

Explication

Une fonction convexe a une courbe située au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle. La position au-dessous caractérise au contraire la concavité.

2. Quelle fonction est donnée comme exemple de fonction concave sur son domaine ?

La fonction racine carrée
La fonction identité
La fonction carré
La fonction exponentielle

La fonction racine carrée

Explication

La fonction racine carrée est citée comme concave sur ]0,+∞[. À l’inverse, x² et e^x sont donnés comme convexes.

3. Dans une preuve par récurrence d’une propriété P(n), que doit montrer l’hérédité ?

Que P(n) est fausse pour n+1
Que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie
Que P(n) devient indépendante de n
Que P(n) est vraie pour un seul rang

Que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie

Explication

L’hérédité consiste à supposer P(n) vraie puis à démontrer P(n+1) vraie. C’est l’étape qui permet de propager la propriété d’un rang au suivant.

4. Quelle est la fonction de l’initialisation dans un raisonnement par récurrence ?

Prouver que la propriété est fausse au rang suivant
Établir uniquement la relation de récurrence
Vérifier la propriété au rang de départ choisi
Montrer que la propriété est vraie pour tous les entiers d’un coup

Vérifier la propriété au rang de départ choisi

Explication

L’initialisation sert à vérifier directement la propriété au premier rang concerné. Sans elle, la récurrence ne permet pas de démarrer.

5. Pour montrer une égalité par récurrence, quelle forme prend généralement l’hypothèse de récurrence ?

On suppose l’égalité vraie seulement au rang final
On suppose l’égalité vraie au rang n
On suppose que la suite est bornée
On suppose que la fonction est continue

On suppose l’égalité vraie au rang n

Explication

On suppose l’égalité vraie au rang n afin de la transformer et d’obtenir le cas n+1. C’est le cœur de l’étape d’hérédité.

6. Quelle étape permet de conclure qu’une égalité est vraie pour tout n au-delà du rang initial ?

La seule vérification au rang n+1
La combinaison de l’initialisation et de l’hérédité
L’étude du signe de la suite
Le calcul d’une dérivée

La combinaison de l’initialisation et de l’hérédité

Explication

La conclusion par récurrence repose sur l’initialisation et l’hérédité réunies. Ensemble, elles assurent la validité de l’égalité pour tous les rangs concernés.

7. Si, à partir d’un certain rang, on a u_n ≥ v_n et v_n tend vers +∞, que peut-on conclure ?

u_n converge vers une limite finie
u_n est forcément décroissante
u_n tend vers −∞
u_n tend vers +∞

u_n tend vers +∞

Explication

Le théorème de minoration permet de conclure que u_n tend vers +∞ lorsque u_n est au moins aussi grande qu’une suite tendant vers +∞. L’inégalité va donc vers le haut.

8. Quel encadrement illustre l’utilisation du théorème des gendarmes ?

v_n ≤ u_n ≤ w_n avec v_n et w_n de limites connues
u_n ≤ v_n avec v_n tendant vers −∞
u_n ≥ v_n avec v_n tendant vers +∞
u_n = v_n pour tout n

v_n ≤ u_n ≤ w_n avec v_n et w_n de limites connues

Explication

Le théorème des gendarmes s’applique quand une suite est encadrée par deux suites dont on connaît les limites. Les théorèmes de minoration et de majoration concernent plutôt une seule inégalité.

9. Quelle est la dérivée de la fonction ln(x) sur ]0,+∞[ ?

x
1
1/x
ln(x)

1/x

Explication

Sur son domaine de définition, la dérivée de ln(x) est 1/x. C’est la formule fondamentale à connaître.

10. Quelle est la dérivée de la fonction x ln(x) pour x>0 ?

1/x+1
x+ln(x)
ln(x)/x
ln(x)+1

ln(x)+1

Explication

On applique la règle du produit : la dérivée de x ln(x) vaut ln(x)+1. C’est un résultat explicitement donné.

11. Quelle identité du logarithme népérien est correcte pour a,b>0 ?

ln(ab)=ln(a)+ln(b)
ln(a/b)=ln(a)×ln(b)
ln(ab)=ln(a)×ln(b)
ln(a+b)=ln(a)+ln(b)

ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Explication

Le logarithme transforme un produit en somme : ln(ab)=ln(a)+ln(b). C’est l’une de ses propriétés algébriques essentielles.

12. Quelle propriété traduit le sens de variation du logarithme népérien sur ]0,+∞[ ?

Il est strictement croissant
Il est strictement décroissant
Il est constant
Il oscille entre deux valeurs fixes

Il est strictement croissant

Explication

Comme sa dérivée est 1/x, qui est positive sur ]0,+∞[, ln est strictement croissante. Sa limite vaut aussi −∞ en 0+ et +∞ en +∞.

13. Quelle forme décrit une droite de l’espace passant par A(xA;yA;zA) et dirigée par u⃗(a;b;c) ?

x=xA+a, y=yA+b, z=zA+c
x=ta, y=tb, z=tc
x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc
x=a+t, y=b+t, z=c+t

x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc

Explication

La représentation paramétrique d’une droite s’écrit en ajoutant t fois un vecteur directeur aux coordonnées d’un point de la droite. Les trois coordonnées varient simultanément selon le même paramètre t.

14. Comment vérifier qu’un point M appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

Montrer que M vérifie une seule des trois équations
Montrer que ses coordonnées sont toutes positives
Montrer que M est le milieu d’un segment
Montrer que le vecteur AM⃗ est colinéaire au vecteur directeur

Montrer que le vecteur AM⃗ est colinéaire au vecteur directeur

Explication

Un point appartient à la droite si et seulement si le vecteur reliant le point de départ à M est colinéaire au vecteur directeur. Cela revient à satisfaire les trois équations de la représentation paramétrique.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Introduction aux fonctions convexes et récurrence.

Convexité — définition ?

Courbe au-dessus de toutes ses tangentes.

Concavité — définition ?

Courbe au-dessous de toutes ses tangentes.

Principe de récurrence — étape initiale ?

Vérifier la propriété pour n= n0.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Introduction aux fonctions convexes et récurrence.

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