Fiche de révision : Introduction aux fonctions et représentations graphiques

📋 Plan du Cours

1. Fonction & relation unique
2. Domaine & ensemble défini
3. Représentation & graphique
4. Appartenance & point à la courbe
5. Parité & symétrie graphique
6. Résolution & graphique d’équation
7. Monotonie & variations
8. Extremum & maximum/minimum
9. Tableau & variations de f
10. Fonction affine & représentation

📖 1. Fonction & relation unique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation $f$ entre deux ensembles, associant à chaque élément $x$ de l'ensemble de départ un unique élément $y$ de l'ensemble d'arrivée, noté $y = f(x)$.
• Image : Le résultat $f(x)$ d’un antécédent $x$.
• Antécédent : La valeur $x$ dans le domaine de définition d’une fonction, associée à une image $f(x)$.
• Domaine de définition ($D_f$) : Ensemble des valeurs $x$ pour lesquelles $f(x)$ est défini.
• Représentation graphique : Courbe $C_f$ dans un plan, l’ensemble des points $M(x, y)$ tels que $y = f(x)$ pour $x \in D_f$.
• Relation unique : Pour chaque $x$, une seule $y$; une image peut avoir plusieurs antécédents, mais pas l'inverse.

📝 Points essentiels

• La fonction associe un seul $y$ à chaque $x$, mais un $y$ peut avoir plusieurs $x$ comme antécédents.
• La représentation graphique est constituée de points $M(x, f(x))$ pour $x \in D_f$.
• La propriété d’appartenance : un point $M(x_M, y_M)$ appartient à la courbe $C_f$ si et seulement si $y_M = f(x_M)$.
• Le domaine de définition dépend des opérations dans la formule : par exemple, racine carrée impose $x \geq 4$, division par zéro interdit certains $x$.
• La relation est une fonction si chaque $x$ a une image unique, ce qui implique que la courbe ne peut être coupée par une droite verticale en plus d’un point.

💡 À retenir

Une fonction est une relation qui à chaque antécédent $x$ associe une seule image $f(x)$; sa représentation graphique est une courbe où chaque abscisse $x$ correspond à un seul point.

📖 2. Domaine & ensemble défini

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui à chaque élément x d’un ensemble de départ associe un unique élément y de l’ensemble d’arrivée, notée y = f(x).
• Ensemble de départ (Domaine de définition, Df) : Ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction f est définie, c’est-à-dire pour lesquelles f(x) existe.
• Ensemble d’arrivée : Ensemble des valeurs possibles y = f(x) lorsque x varie dans Df.
• Image : Le point y associé à x par la fonction, noté y = f(x).
• Antécédent : La valeur x qui donne une image y par la fonction.
• Représentation graphique : Courbe Cf dans le plan, constituée de tous les points M(x, y) tels que y = f(x) pour x ∈ Df.

📝 Points essentiels

• La fonction associe un seul y à chaque x, mais un y peut avoir plusieurs antécédents.
• Le domaine de définition dépend des opérations ou expressions de la fonction (exemples : dénominateur non nul, racine définie, etc.).
• La courbe représentative Cf est l’ensemble des points (x, y) tels que y = f(x) pour x ∈ Df.
• La propriété fondamentale : un point M(x, y) appartient à Cf si et seulement si y = f(x).
• La définition de l’ensemble de définition permet d’éviter les valeurs interdites (exemples : division par zéro, racine d’un nombre négatif).
• La représentation graphique permet de résoudre graphiquement des équations (intersections avec y = a) ou des égalités entre fonctions.
• La parité (fonction paire ou impaire) se détermine par la symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées ou à l’origine.

💡 À retenir

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des x pour lesquels la fonction est définie, et sa représentation graphique est l’ensemble des points (x, f(x)) pour x dans ce domaine. La compréhension de ces notions est essentielle pour analyser et représenter graphiquement toute fonction.

📖 3. Représentation & graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation associant à chaque élément x d’un ensemble de départ un unique y dans un ensemble d’arrivée, notée y = f(x).
• Domaine de définition (Df) : Ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction f est définie.
• Représentation graphique : Courbe Cf constituée de tous les points M(x ; y) tels que y = f(x) pour x ∈ Df.
• Appartenance d’un point à la courbe : Un point M(xM ; yM) appartient à Cf si et seulement si yM = f(xM).
• Parité d’une fonction :
  • Fonction paire : f(-x) = f(x), symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : f(-x) = -f(x), symétrie par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La courbe Cf représente graphiquement la fonction f, en reliant chaque x ∈ Df à son image y = f(x).
• La fonction est définie pour tout x dans son domaine, sans valeurs interdites sauf indication contraire.
• La propriété d’appartenance : M(xM ; yM) ∈ Cf si et seulement si yM = f(xM).
• La parité influence la symétrie du graphique :
  • Fonction paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : symétrie centrale par rapport à l’origine.
• La résolution graphique d’une équation f(x) = a revient à repérer l’intersection de Cf avec la droite y = a.
• La monotonicité (croissante ou décroissante) se traduit par l’ordre des images :
  • Croissante : si a < b alors f(a) ≤ f(b).
  • Décroissante : si a < b alors f(a) ≥ f(b).
• Les extrema (maximum ou minimum) sont les points où la fonction atteint ses valeurs extrêmes sur un intervalle.
• Le tableau de variations synthétise les intervalles de croissance et décroissance, ainsi que les extremums.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction permet d’analyser ses propriétés (monotonie, parité, extrema) et de résoudre graphiquement des équations en identifiant les points d’intersection avec des droites. La symétrie et la forme de la courbe sont directement liées aux caractéristiques de la fonction.

📖 4. Appartenance & point à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance d’un point à une courbe : Un point M(x_M ; y_M) appartient à la courbe Cf d’une fonction f si et seulement si y_M = f(x_M). Autrement dit, M est sur la courbe si ses coordonnées vérifient y_M = f(x_M).

• Point d’intersection : Point où deux courbes ou une courbe et une droite se croisent. Résoudre graphiquement une équation f(x) = a revient à trouver l’abscisse des points d’intersection entre Cf et la droite y = a.

• Parité d’une fonction :

  • Fonction paire : f est paire si pour tout x dans Df, f(-x) = f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : f est impaire si pour tout x dans Df, f(-x) = -f(x). La courbe possède un centre de symétrie en l’origine.

• Domaine de définition (Df) : Ensemble des valeurs x pour lesquelles f(x) existe. La courbe Cf est définie pour x dans Df.

📝 Points essentiels

• La condition d’appartenance : M(x_M ; y_M) ∈ Cf ⇔ y_M = f(x_M).
• La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points M(x ; f(x)) pour x ∈ Df.
• La résolution graphique d’une équation f(x) = a consiste à repérer les points d’intersection entre Cf et la droite y = a.
• La parité influence la symétrie de la courbe :
  • Fonction paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : symétrie par rapport à l’origine.
• La courbe ne peut représenter une fonction si une droite verticale coupe la courbe en plusieurs points (violant la propriété de la fonction).

💡 À retenir

Une courbe représente une fonction si chaque abscisse a une seule image, et la propriété d’appartenance permet de vérifier si un point est sur la courbe. La parité donne des symétries spécifiques, et la résolution graphique consiste à trouver les points d’intersection avec des droites horizontales ou verticales.

📖 5. Parité & symétrie graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (parité) : Une fonction f est paire si, pour tout x dans son domaine, f(-x) = f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Symétrie par rapport à l’origine (impair) : Une fonction f est impaire si, pour tout x dans son domaine, f(-x) = -f(x). La courbe possède un centre de symétrie en O (l’origine).
• Fonction paire : Fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exemple : f(x) = x².
• Fonction impaire : Fonction dont la courbe possède un centre de symétrie en O. Exemple : f(x) = x³.
• Point de symétrie : Un point M(x, y) a pour point symétrique M'(-x, y) (si f est paire) ou M'(-x, -y) (si f est impaire).
• Critère graphique de parité : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (pour une fonction paire) ou à l’origine (pour une fonction impaire).

📝 Points essentiels

• La parité d’une fonction se détermine par la relation f(-x) = ±f(x).
• La symétrie graphique permet de reconnaître la parité sans calculs, en observant la courbe.
• La fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui implique que ses valeurs sont identiques pour x et -x.
• La fonction impaire possède une symétrie centrale en O, ce qui implique que f(-x) = -f(x).
• La parité influence la forme de la courbe : une fonction paire est symétrique à gauche et à droite de l’axe y, une fonction impaire est symétrique par rapport à O.
• La parité est une propriété importante pour simplifier l’étude des fonctions et leur représentation graphique.

💡 À retenir

La parité d’une fonction se traduit graphiquement par une symétrie de la courbe : paire par rapport à l’axe des ordonnées, impaire par rapport à l’origine. Cette propriété permet d’identifier rapidement la nature de la fonction à partir de sa représentation.

📖 6. Résolution & graphique d’équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Expression mathématique contenant une ou plusieurs inconnues, que l’on cherche à résoudre en trouvant leurs valeurs.
• Résolution graphique : Méthode consistant à représenter graphiquement la fonction et la droite ou autre fonction pour déterminer les solutions par intersection.
• Courbe représentative (Cf) : La courbe tracée dans un repère, représentant une fonction f, composée de points M(x, y) tels que y = f(x).
• Point d’intersection : Point où deux courbes se croisent, correspondant à une solution de l’équation.
• Méthode graphique : Technique visuelle pour résoudre une équation f(x) = a en traçant la courbe de f et la droite y = a, puis en repérant leur(s) point(s) d’intersection.
• Abscisse d’intersection : La valeur x du point d’intersection entre la courbe de la fonction et la droite y = a, solution de l’équation f(x) = a.

📝 Points essentiels

• Résoudre graphiquement une équation consiste à déterminer l’abscisse des points d’intersection entre la courbe de la fonction f et la droite y = a.
• La méthode graphique ne donne qu’une approximation des solutions, sauf si la courbe et la droite se croisent en un point précis.
• Pour résoudre une équation f(x) = g(x), il faut tracer les deux courbes Cf et Cg et repérer leurs points d’intersection.
• La résolution graphique est utile pour visualiser le nombre de solutions, leur position approximative, et comprendre le comportement de la fonction.
• La précision dépend de l’échelle du graphique et de la méthode de tracé.

💡 À retenir

La résolution graphique d’une équation consiste à repérer visuellement les points d’intersection entre la courbe de la fonction et la droite correspondante, permettant d’obtenir une approximation des solutions.

📖 7. Monotonie & variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : Propriété d'une fonction d'être croissante ou décroissante sur un intervalle.
  • Croissante : f(a) ≤ f(b) pour tout a < b dans l'intervalle.
  • Décroissante : f(a) ≥ f(b) pour tout a < b dans l'intervalle.
• Fonction strictement monotone : f(a) < f(b) ou f(a) > f(b) pour tout a < b.
• Maximum : Valeur la plus haute atteinte par la fonction sur un intervalle, en un point a si f(x) ≤ f(a) pour tout x.
• Minimum : Valeur la plus basse atteinte par la fonction sur un intervalle, en un point a si f(x) ≥ f(a) pour tout x.
• Tableau de variations : Représentation synthétique des intervalles de croissance et décroissance d'une fonction, avec ses extremums.
• Fonction affine : Fonction de la forme f(x) = mx + p, où m et p sont réels.
• Coefficient directeur (pente) : m dans f(x) = mx + p, indique la tendance de croissance ou décroissance.
• Croissance / décroissance : Dépend du signe du coefficient directeur m :
  • m > 0 : fonction croissante
  • m < 0 : fonction décroissante
  • m = 0 : fonction constante

📝 Points essentiels

• La monotonie se détermine par l'étude du signe de la dérivée ou par l'observation du tableau de variations.
• La recherche des extremums (maxima ou minima) se fait en identifiant les points où la fonction change de tendance (passage de croissante à décroissante ou inversement).
• Le tableau de variations synthétise la croissance ou décroissance sur différents intervalles, en indiquant les extremums.
• La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dont la pente (m) indique si la fonction est croissante (m > 0), décroissante (m < 0), ou constante (m = 0).
• La croissance ou décroissance d'une fonction affine est directement liée au signe du coefficient directeur.

💡 À retenir

La monotonie d'une fonction se détermine par l'étude de ses variations : une fonction est croissante si ses valeurs augmentent avec x, décroissante si elles diminuent, et ces tendances se résument dans le tableau de variations. La pente d'une fonction affine indique sa tendance : positive pour croissante, négative pour décroissante, nulle pour constante.

📖 8. Extremum & maximum/minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Point où une fonction atteint un maximum ou un minimum local ou global.
• Maximum : Valeur la plus haute d'une fonction sur un intervalle.
• Minimum : Valeur la plus basse d'une fonction sur un intervalle.
• Maximum local : Point où la fonction atteint un maximum dans un voisinage immédiat, sans être nécessairement le maximum global.
• Minimum local : Point où la fonction atteint un minimum dans un voisinage immédiat, sans être nécessairement le minimum global.
• Critère d’extremum : Point $a$ où la dérivée $f'(a) = 0$ ou n’existe pas, pouvant être un extremum si la dérivée change de signe autour de $a$.

📝 Points essentiels

• Définition d’un maximum : $f(a) \geq f(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$.
• Définition d’un minimum : $f(a) \leq f(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$.
• Critère de dérivée : Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 0$, alors $a$ peut être un extremum.
• Signe de la dérivée :
  • Si $f'$ change de positif à négatif en passant par $a$, alors $a$ est un maximum local.
  • Si $f'$ change de négatif à positif en passant par $a$, alors $a$ est un minimum local.
• Tableau de variations : Permet d’identifier les intervalles de croissance/décroissance et les extremums.
• Points à retenir :
  • Un extremum peut être détecté par la dérivée.
  • La connaissance des variations permet de localiser précisément ces points.

💡 À retenir

Les extrema d’une fonction correspondent aux points où la dérivée s’annule ou n’existe pas, et où la fonction change de tendance, ce qui se repère par une variation de signe de la dérivée. La détermination précise repose souvent sur l’étude du tableau de variations.

📖 9. Tableau & variations de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui à chaque x de l’ensemble de départ associe un unique y dans l’ensemble d’arrivée, notée y = f(x).
• Domaine de définition (Df) : Ensemble des valeurs x pour lesquelles f(x) existe.
• Représentation graphique : Courbe Cf constituée des points M(x, y) tels que y = f(x) pour x ∈ Df.
• Appartenance d’un point à Cf : Un point M(xM, yM) appartient à Cf si et seulement si yM = f(xM).
• Fonction paire : f est paire si pour tout x dans Df, f(-x) = f(x).
• Fonction impaire : f est impaire si pour tout x dans Df, f(-x) = -f(x).
• Variation d’une fonction : Étude des intervalles où f est croissante ou décroissante.
• Maximum / Minimum : Extremum où f atteint respectivement un maximum ou un minimum sur un intervalle.
• Tableau de variations : Représentation synthétique des intervalles de croissance et décroissance, et des extremums.
• Fonction affine : Fonction de la forme f(x) = mx + p, avec m et p réels.
• Coefficient directeur (m) : Pente de la droite, indique si la fonction est croissante (m > 0), décroissante (m < 0) ou constante (m = 0).

📝 Points essentiels

• La fonction associe à chaque x une seule image y, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.
• Le domaine de définition dépend des opérations sur x : par exemple, racines ou dénominateurs imposent des restrictions.
• La représentation graphique permet de visualiser la relation, notamment pour vérifier si une courbe représente une fonction (pas de coupe verticale multiple).
• La parité (paire ou impaire) influence la symétrie de la courbe :
  • Fonction paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : symétrie par rapport à l’origine.
• La résolution graphique d’une équation f(x) = a revient à repérer les intersections avec la droite y = a.
• La monotonie (croissante ou décroissante) est liée au signe du coefficient directeur dans le cas des fonctions affines.
• Le tableau de variations synthétise les intervalles de croissance/décroissance et les extremums.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, dont la pente indique la croissance ou décroissance.

💡 À retenir

Le tableau de variations et la représentation graphique sont des outils essentiels pour analyser le comportement d’une fonction, notamment ses intervalles de croissance, décroissance, et ses extremums, en particulier pour les fonctions affines dont la pente détermine leur tendance.

📖 10. Fonction affine & représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie par une expression de la forme $f(x) = mx + p$, où $m$ et $p$ sont des réels. Elle représente une droite dans le plan.
• Coefficient directeur (pente) : Le réel $m$ dans $f(x) = mx + p$. Il indique l'inclinaison de la droite : positive pour une croissance, négative pour une décroissance.
• Ordonnée à l’origine : Le réel $p$ dans $f(x) = mx + p$. C’est l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
• Représentation graphique : La courbe d’une fonction affine est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, passant par le point $(0, p)$ et ayant une pente $m$.
• Fonction linéaire : Fonction affine avec $p=0$, donc passant par l’origine $(0,0)$. $f(x) = mx$.
• Fonction constante : Fonction affine avec $m=0$, donc $f(x) = p$, une droite horizontale.

📝 Points essentiels

• La fonction affine est représentée graphiquement par une droite dont la pente $m$ détermine la croissance ou la décroissance.
• Si $m > 0$, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$. Si $m < 0$, elle est décroissante. Si $m=0$, la fonction est constante.
• La représentation graphique d’une fonction affine passe par l’origine si $p=0$, ce qui correspond à une proportionnalité.
• La pente $m$ indique l’angle d’inclinaison de la droite : plus $m$ est grand, plus la droite est inclinée.
• La fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire, avec une translation verticale par $p$.

💡 À retenir

Une fonction affine est une droite dont la pente détermine sa croissance ou décroissance, et dont l’ordonnée à l’origine indique le point d’intersection avec l’axe des ordonnées. Elle modélise des relations proportionnelles ou décalées, selon que $p=0$ ou non.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre relation et fonction : une relation peut associer plusieurs images à un seul x, une fonction ne doit pas.
2. Oublier que la propriété d’appartenance nécessite que y = f(x), pas simplement que le point soit dans le plan.
3. Confondre domaine de définition et ensemble d’arrivée : le domaine concerne x, l’ensemble d’arrivée y.
4. Ignorer les valeurs interdites (division par zéro, racines de nombres négatifs) dans le domaine.
5. Confondre parité (fonction paire ou impaire) avec la symétrie graphique sans vérifier la propriété mathématique.
6. Interpréter à tort la monotonie : croissante ou décroissante doit être vérifiée sur l’intervalle, pas seulement par la forme.
7. Confondre extremum local et global : un maximum local n’est pas forcément le maximum global.
8. Négliger la différence entre représentation graphique et propriétés analytiques.
9. Surinterpréter une symétrie sans vérifier la propriété formelle (f(-x) = f(x) ou -f(x)).
10. Résoudre graphiquement sans vérifier la cohérence avec la formule ou l’expression analytique.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est une fonction et préciser la différence avec une relation.
2. Expliquer comment déterminer le domaine de définition d’une fonction donnée.
3. Représenter graphiquement une fonction à partir de sa formule.
4. Vérifier si un point appartient à la courbe en utilisant la relation y = f(x).
5. Identifier la symétrie d’une fonction (paire ou impaire) à partir de sa formule.
6. Résoudre graphiquement une équation f(x) = a en utilisant la courbe.
7. Déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle.
8. Repérer et interpréter un extremum (maximum ou minimum) sur la courbe.
9. Construire le tableau de variations d’une fonction à partir de ses propriétés.
10. Expliquer la différence entre représentation graphique et propriétés analytiques.
11. Vérifier la parité d’une fonction à partir de sa formule.
12. Identifier les points d’intersection entre la courbe et une droite horizontale.