QCM : Introduction aux Fonctions Trigonométriques et Vecteurs — 16 questions

Question 1

1. Quelle est la définition correcte du cercle trigonométrique ?

Un cercle de centre O, de rayon variable, orienté librement

Un cercle de centre quelconque, de rayon 2, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens des aiguilles d’une montre

Un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Explication

Le cercle trigonométrique est bien le cercle de centre O et de rayon 1, avec une orientation positive dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les autres propositions changent le sens, le rayon ou le centre.

Answer

Un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Question 2

2. Sur un cercle de rayon 1, que représente la longueur de l’arc intercepté par un angle mesuré en radians ?

Le sinus de l’angle

La valeur de l’angle en degrés

Le double de la valeur de l’angle

La valeur de l’angle en radians

Explication

Sur le cercle unité, la longueur de l’arc est égale à la mesure de l’angle en radians. C’est précisément ce qui fait du radian une unité naturelle.

Answer

La valeur de l’angle en radians

Question 3

3. Si un point M est associé à l’angle θ sur le cercle trigonométrique, quelles sont ses coordonnées ?

(cosθ ; sinθ)

(1 ; θ)

(θ ; 1)

(sinθ ; cosθ)

Explication

Les coordonnées trigonométriques d’un point du cercle sont M(cosθ ; sinθ). Le cosinus donne l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

Answer

(cosθ ; sinθ)

Question 4

4. Quelles sont les valeurs de cos(π/3) et sin(π/3) ?

1/2 et √3/2

0 et 1

√3/2 et 1/2

√2/2 et √2/2

Explication

Pour π/3, on a cos(π/3)=1/2 et sin(π/3)=√3/2. La paire √3/2 ; 1/2 correspond à π/6, pas à π/3.

Answer

1/2 et √3/2

Question 5

5. Que vaut sin(−x) ?

−cos(x)

sin(x)

−sin(x)

cos(x)

Explication

Le sinus est une fonction impaire, donc sin(−x)=−sin(x). À l’inverse, le cosinus vérifie cos(−x)=cos(x).

Answer

x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec k∈Z

Answer

Sur [0 ; π]

Answer

(xB−xA ; yB−yA)

Answer

Ils ont la même direction

Answer

√(x²+y²)

Answer

Ceux dont le déterminant x1y2−x2y1 est nul

Answer

Ils sont orthogonaux

Answer

BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC)

Answer

(x−a)²+(y−b)²=R²

Question 6

6. Quelles sont les solutions de l’équation sinx = sina ?

x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, avec k∈Z

x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec k∈Z

x = a + kπ, avec k∈Z

x = −a + 2kπ uniquement

Explication

Pour sinx=sina, les solutions sont x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ, avec k entier. La forme x=−a+2kπ est celle de l’équation cosx=cosa.

Question 7

7. Quel est l’ensemble des valeurs prises par la fonction cosinus ?

[0 ; 1]

[−π ; π]

]−∞ ; +∞[

[-1 ; 1]

Explication

La fonction cosinus prend uniquement des valeurs comprises entre −1 et 1. Son image est donc l’intervalle [-1 ; 1].

Question 8

8. Sur quel intervalle la fonction cosinus décroît-elle de 1 à −1 ?

Sur [π ; 2π]

Sur [0 ; π]

Sur [0 ; 2π]

Sur [−π ; 0]

Explication

Sur l’intervalle [0 ; π], cosx décroît de 1 à −1. Ensuite, sur [π ; 2π], elle croît de −1 à 1.

Question 9

9. Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), quelle est l’expression du vecteur AB ?

(xA−xB ; yA−yB)

(xA+xB ; yA+yB)

(xB−xA ; yA−yB)

(xB−xA ; yB−yA)

Explication

Les coordonnées de AB s’obtiennent en faisant B moins A, c’est-à-dire (xB−xA ; yB−yA). C’est une erreur classique d’inverser l’ordre de soustraction.

Question 10

10. Quelle propriété décrit correctement deux vecteurs colinéaires ?

Ils ont la même norme

Ils sont perpendiculaires

Ils ont forcément les mêmes coordonnées

Ils ont la même direction

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction. Leur norme peut être différente, et ils ne sont pas forcément perpendiculaires.

Question 11

11. Quelle formule donne la norme d’un vecteur u=(x ; y) ?

√(x²+y²)

√(x+y)

x+y

x²+y²

Explication

La norme d’un vecteur est sa longueur, et pour un vecteur de coordonnées (x ; y), elle se calcule par √(x²+y²). Les autres propositions confondent la norme avec une somme ou oublient la racine carrée.

Question 12

12. Quels vecteurs sont colinéaires ?

Ceux dont les normes sont égales

Ceux qui forment un angle droit

Ceux dont la somme est le vecteur nul

Ceux dont le déterminant x1y2−x2y1 est nul

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui équivaut à un déterminant nul : x1y2−x2y1=0. L’angle droit caractérise au contraire l’orthogonalité.

Question 13

13. Quel est le produit scalaire de u=(x1 ; y1) et v=(x2 ; y2) en coordonnées ?

x1y2−x2y1

x1x2+y1y2

x1+y1+x2+y2

√(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)

Explication

En coordonnées, le produit scalaire se calcule en multipliant les abscisses entre elles puis les ordonnées entre elles, puis en additionnant les deux résultats. La formule x1y2−x2y1 correspond à la colinéarité, pas au produit scalaire.

Question 14

14. Que peut-on conclure si deux vecteurs ont un produit scalaire nul ?

Ils sont orthogonaux

Ils ont la même norme

Ils sont colinéaires

Ils forment un angle aigu

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un produit scalaire nul ne permet pas de conclure à la colinéarité.

Question 15

15. Quelle relation d’Al-Kashi relie les côtés d’un triangle ABC à l’angle BAC ?

BC²=AB²+AC²+2·AB·AC·cos(BAC)

cos(BAC)=BC²−AB²−AC²

BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC)

BC=AB+AC−2·cos(BAC)

Explication

La formule d’Al-Kashi s’écrit BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos(BAC). Le signe moins devant le terme en cos est essentiel.

Question 16

16. Quelle équation représente un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R ?

(x+a)²+(y+b)²=R

x²+y²=R²

(x−a)²+(y−b)²=R²

(x−a)+(y−b)=R²

Explication

L’équation standard d’un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R est (x−a)²+(y−b)²=R². Les autres propositions oublient le carré des distances ou décalent mal le centre.

QCM : Introduction aux Fonctions Trigonométriques et Vecteurs — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la définition correcte du cercle trigonométrique ?

2. Sur un cercle de rayon 1, que représente la longueur de l’arc intercepté par un angle mesuré en radians ?

3. Si un point M est associé à l’angle θ sur le cercle trigonométrique, quelles sont ses coordonnées ?

4. Quelles sont les valeurs de cos(π/3) et sin(π/3) ?

5. Que vaut sin(−x) ?

6. Quelles sont les solutions de l’équation sinx = sina ?

7. Quel est l’ensemble des valeurs prises par la fonction cosinus ?

8. Sur quel intervalle la fonction cosinus décroît-elle de 1 à −1 ?

9. Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), quelle est l’expression du vecteur AB ?

10. Quelle propriété décrit correctement deux vecteurs colinéaires ?

11. Quelle formule donne la norme d’un vecteur u=(x ; y) ?

12. Quels vecteurs sont colinéaires ?

13. Quel est le produit scalaire de u=(x1 ; y1) et v=(x2 ; y2) en coordonnées ?

14. Que peut-on conclure si deux vecteurs ont un produit scalaire nul ?

15. Quelle relation d’Al-Kashi relie les côtés d’un triangle ABC à l’angle BAC ?

16. Quelle équation représente un cercle de centre O(a ; b) et de rayon R ?

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