QCM : Introduction aux nombres et fonctions fondamentales — 24 questions

Question 1

1. Que désigne la notation $\llbracket n,p\rrbracket$ pour deux entiers $n\le p$ ?

L’ensemble des entiers strictement compris entre

n

et

p

L’ensemble des couples

(n,p)

L’ensemble des entiers de

n

à

p

inclus

L’ensemble des réels entre

n

et

p

Explication

La notation $\llbracket n,p\rrbracket$ désigne $[n,p]\cap\mathbb N$ , donc les entiers de $n$ à $p$ inclus. Ce n’est pas un intervalle réel, ni un ensemble d’entiers strictement internes.

Answer

L’ensemble des entiers de $n$ à $p$ inclus

Question 2

2. Dans les notations usuelles, que représentent $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ?

Les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes

Les nombres pairs, impairs, rationnels, réels et complexes

Les nombres premiers, entiers, rationnels, algébriques et complexes

Les entiers naturels, décimaux, rationnels, réels et complexes

Explication

Ces symboles désignent respectivement les ensembles des naturels, des relatifs, des rationnels, des réels et des complexes. L’ordre donné est celui à retenir.

Answer

Les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes

Question 3

3. Que représente l’écriture $F^E$ lorsque $E$ et $F$ sont deux ensembles ?

Le produit cartésien de

E

et

F

L’ensemble des fonctions de

F

vers

E

L’ensemble des applications de

E

vers

F

L’ensemble des parties de

E

contenues dans

F

Explication

L’écriture $F^E$ ou $F(E,F)$ désigne l’ensemble des applications de $E$ vers $F$ . Ce n’est ni un produit cartésien ni l’ensemble des parties.

Answer

L’ensemble des applications de $E$ vers $F$

Question 4

4. Que vaut la fonction indicatrice $1_Y(x)$ lorsque $x\notin Y$ ?

0

x

1

-1

Explication

Une fonction indicatrice vaut 1 sur l’ensemble indiqué et 0 en dehors. Donc si $x\notin Y$ , on obtient 0.

Answer

C’est la distance de $u$ à 0

Answer

Des paramètres ou coefficients

Answer

$x, y, z$

Answer

Lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul

Answer

À éliminer progressivement des inconnues par transformations élémentaires

Answer

Les réels qui n’annulent pas le dénominateur

Answer

En étudiant les cas $u=a$ et $u=-a$

Answer

Majorée signifie seulement une borne supérieure, bornée signifie deux bornes

Answer

$f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$

Answer

$\exists x\in\mathbb R$ tel que $f(x)>1$

Answer

Il existe $x<y$ tels que $f(x)\ge f(y)$

Answer

$\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i$

Answer

À réécrire la somme avec une variable différente pour simplifier le calcul

Answer

$\exists x\in\mathbb R$ tel que $f(x)=0$

Answer

Uniquement quand $A$ est vraie et $B$ est fausse

Answer

La distance de son point image à l’origine

Answer

$(z-1)(z+1)(z^2+1)$

Question 5

5. Quelle est la valeur de $\mathrm{sign}(x)$ pour un réel strictement négatif ?

1

x

0

-1

Explication

La fonction signe vaut $-1$ pour tout réel négatif, $1$ pour tout réel positif, et $0$ en 0. La valeur $0$ est réservée au cas nul.

Question 6

6. Quelle propriété caractérise la valeur absolue $|u|$ ?

C’est la distance de

u

à 0

C’est toujours égal à

u

C’est le quotient de

u

par son signe

C’est la partie entière de

u

Explication

La valeur absolue mesure la distance à 0 : elle est donc toujours positive ou nulle. Elle vaut $u$ si $u\ge 0$ et $-u$ sinon.

Question 7

7. Dans les exercices, quel rôle jouent souvent les lettres grecques comme $\alpha$ , $\beta$ ou $\gamma$ ?

Des paramètres ou coefficients

Des fonctions trigonométriques

Des inconnues à résoudre

Des ensembles numériques

Explication

Les lettres grecques servent fréquemment de paramètres ou de coefficients, par exemple dans des expressions trigonométriques. Les inconnues d’un système sont plutôt $x, y, z$ .

Question 8

8. Dans un système linéaire, quelles lettres désignent généralement les inconnues à déterminer ?

a, b, c

\alpha, \beta, \gamma

\theta, \varphi, \psi

x, y, z

Explication

Le cours distingue $x, y, z$ comme inconnues, tandis que d’autres lettres, souvent grecques, jouent le rôle de paramètres. Cette distinction est essentielle pour lire correctement l’énoncé.

Question 9

9. Quand dit-on qu’un système linéaire est de Cramer ?

Lorsque le système possède forcément une infinité de solutions

Lorsque la matrice des coefficients est diagonale

Lorsque toutes les inconnues sont égales

Lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul

Explication

Un système de Cramer est un système linéaire dont le déterminant des coefficients est non nul. Cela permet une résolution par déterminants et garantit l’unicité de la solution.

Question 10

10. À quoi sert principalement la méthode du pivot de Gauss ?

À calculer directement des dérivées

À déterminer la partie entière d’un réel

À factoriser un polynôme du second degré

À éliminer progressivement des inconnues par transformations élémentaires

Explication

Le pivot de Gauss consiste à appliquer des opérations élémentaires pour transformer la matrice augmentée et faire apparaître des équations plus simples. On en déduit ensuite les solutions ou les cas possibles.

Question 11

11. Quel est le domaine d’une fonction rationnelle ?

Les réels strictement positifs

Les réels compris entre 0 et 1

Tous les réels

Les réels qui n’annulent pas le dénominateur

Explication

Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes, donc on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur. C’est la contrainte essentielle de définition.

Question 12

12. Comment résout-on une équation de la forme $|u|=a$ avec $a\ge 0$ ?

En étudiant les cas

u=a

et

u=-a

En imposant

u=0

En posant seulement

u=a

En posant seulement

u=-a

Explication

La valeur absolue impose deux cas possibles : $u=a$ ou $u=-a$ quand $a\ge 0$ . C’est l’équivalent du traitement par signes indiqué dans le cours.

Question 13

13. Quelle différence distingue une fonction majorée d’une fonction bornée ?

Majorée signifie qu’elle est croissante, bornée qu’elle est décroissante

Majorée signifie deux bornes, bornée une seule borne

Majorée signifie qu’elle atteint un maximum, bornée qu’elle atteint un minimum

Majorée signifie seulement une borne supérieure, bornée signifie deux bornes

Explication

Une fonction majorée est dominée par une borne supérieure unique, tandis qu’une fonction bornée est encadrée à la fois par une borne inférieure et une borne supérieure. La distinction est explicitement donnée.

Question 14

14. Que signifie qu’une fonction soit paire ?

f

est définie seulement sur les positifs

f(x)\ge 0

pour tout réel

x

f(-x)=f(x)

pour tout réel

x

f(-x)=-f(x)

pour tout réel

x

Explication

La parité se traduit par $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ . La relation $f(-x)=-f(x)$ correspond, elle, à la fonction impaire.

Question 15

15. Quelle est la négation de l’assertion $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le 1$ ?

\forall x\in\mathbb R,\ f(x)>1

\exists x\in\mathbb R

tel que

f(x)>1

\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 1

\exists x\in\mathbb R

tel que

f(x)\le 1

Explication

Nier un quantificateur universel revient à introduire un quantificateur existentiel et à nier la propriété. Ici, $f(x)\le 1$ devient $f(x)>1$ .

Question 16

16. Quelle écriture correspond à la négation de « $f$ est croissante » ?

Il existe

x>y

tels que

f(x)\le f(y)

Il existe

x<y

tels que

f(x)\ge f(y)

Pour tous

x,y

, on a

f(x)=f(y)

Pour tous

x<y

, on a

f(x)<f(y)

Explication

La négation de la croissance affirme qu’on peut trouver deux points ordonnés $x<y$ pour lesquels l’ordre des valeurs n’est pas respecté. La formulation du cours est exactement de ce type.

Question 17

17. Que représente la notation $\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)$ ?

\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i

a_1+b_1+\cdots+a_nb_n

\sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i

\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)

Explication

La somme se distribue sur l’addition : on sépare les deux suites de termes. C’est une propriété rappelée dans les formules utiles.

Question 18

18. À quoi sert un changement d’indice dans une somme ?

À transformer une somme en équation différentielle

À remplacer une somme par un produit

À réécrire la somme avec une variable différente pour simplifier le calcul

À changer la valeur des termes sans modifier l’indice

Explication

Un changement d’indice consiste à remplacer l’indice de sommation par une nouvelle variable afin d’obtenir une écriture plus simple. C’est une technique de réécriture, pas une modification du contenu de la somme.

Question 19

19. Quelle est l’intervalle de valeurs de la partie fractionnaire $\{x\}$ ?

\mathbb Z

[1,2[

[0,1[

]-1,0]

Explication

Par définition, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ , et cette quantité appartient toujours à $[0,1[$ . Elle représente la partie restante après retrait de la partie entière.

Question 20

20. Que vaut la partie fractionnaire d’un entier ?

Une valeur négative

L’entier lui-même

1

0

Explication

Si $x$ est un entier, alors $\lfloor x\rfloor=x$ , donc $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor=0$ . C’est une propriété de base de la décomposition entière-fractionnaire.

Question 21

21. Quelle est la négation de l’énoncé $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0$ ?

\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=0

\forall x\in\mathbb R,\ f(x)>0

\exists x\in\mathbb R

tel que

f(x)\ne 0

\exists x\in\mathbb R

tel que

f(x)=0

Explication

Nier « pour tout $x$ , $f(x)\ne 0$ » revient à dire qu’il existe au moins un $x$ pour lequel $f(x)=0$ . C’est l’application directe de la négation des quantificateurs.

Question 22

22. Quand une implication $(A\Rightarrow B)$ est-elle fausse ?

Uniquement quand

A

est vraie et

B

est fausse

Quand

A

et

B

sont fausses

Quand

A

est fausse et

B

est vraie

Quand

A

et

B

sont vraies

Explication

Une implication n’est fausse que dans le cas où l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Si $A$ est fausse, l’implication est vraie quel que soit $B$ .

Question 23

23. Que vaut le module d’un nombre complexe ?

Sa partie réelle

La distance de son point image à l’origine

La somme de ses parties réelle et imaginaire

Son argument principal

Explication

Le module mesure la distance entre le point image du complexe et l’origine dans le plan complexe. C’est donc une quantité réelle positive.

Question 24

24. Quelle est la factorisation de $z^4-1$ utilisée pour déterminer ses racines ?

(z+1)^4

(z-1)(z+1)(z^2+1)

(z-1)^4

(z^2-1)^2

Explication

On factorise $z^4-1$ en $(z-1)(z+1)(z^2+1)$ , ce qui fait apparaître les racines $4$ -ièmes de 1. Les autres écritures ne donnent pas la bonne décomposition.

QCM : Introduction aux nombres et fonctions fondamentales — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne la notation $\llbracket n,p\rrbracket$ pour deux entiers $n\le p$ ?

2. Dans les notations usuelles, que représentent $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ?

3. Que représente l’écriture $F^E$ lorsque $E$ et $F$ sont deux ensembles ?

4. Que vaut la fonction indicatrice $1_Y(x)$ lorsque $x\notin Y$ ?

5. Quelle est la valeur de $\mathrm{sign}(x)$ pour un réel strictement négatif ?

6. Quelle propriété caractérise la valeur absolue $|u|$ ?

7. Dans les exercices, quel rôle jouent souvent les lettres grecques comme $\alpha$ , $\beta$ ou $\gamma$ ?

8. Dans un système linéaire, quelles lettres désignent généralement les inconnues à déterminer ?

9. Quand dit-on qu’un système linéaire est de Cramer ?

10. À quoi sert principalement la méthode du pivot de Gauss ?

11. Quel est le domaine d’une fonction rationnelle ?

12. Comment résout-on une équation de la forme $|u|=a$ avec $a\ge 0$ ?

13. Quelle différence distingue une fonction majorée d’une fonction bornée ?

14. Que signifie qu’une fonction soit paire ?

15. Quelle est la négation de l’assertion $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le 1$ ?

16. Quelle écriture correspond à la négation de « $f$ est croissante » ?

17. Que représente la notation $\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)$ ?

18. À quoi sert un changement d’indice dans une somme ?

19. Quelle est l’intervalle de valeurs de la partie fractionnaire $\{x\}$ ?

20. Que vaut la partie fractionnaire d’un entier ?

21. Quelle est la négation de l’énoncé $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0$ ?

22. Quand une implication $(A\Rightarrow B)$ est-elle fausse ?

23. Que vaut le module d’un nombre complexe ?

24. Quelle est la factorisation de $z^4-1$ utilisée pour déterminer ses racines ?

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QCM : Introduction aux nombres et fonctions fondamentales — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne la notation ⟦n,p⟧\llbracket n,p\rrbracket[[n,p]] pour deux entiers n≤pn\le pn≤p ?

2. Dans les notations usuelles, que représentent N,Z,Q,R,C\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb CN,Z,Q,R,C ?

3. Que représente l’écriture FEF^EFE lorsque EEE et FFF sont deux ensembles ?

4. Que vaut la fonction indicatrice 1Y(x)1_Y(x)1Y​(x) lorsque x∉Yx\notin Yx∈/Y ?

5. Quelle est la valeur de sign(x)\mathrm{sign}(x)sign(x) pour un réel strictement négatif ?

6. Quelle propriété caractérise la valeur absolue ∣u∣|u|∣u∣ ?

7. Dans les exercices, quel rôle jouent souvent les lettres grecques comme α\alphaα, β\betaβ ou γ\gammaγ ?

8. Dans un système linéaire, quelles lettres désignent généralement les inconnues à déterminer ?

9. Quand dit-on qu’un système linéaire est de Cramer ?

10. À quoi sert principalement la méthode du pivot de Gauss ?

11. Quel est le domaine d’une fonction rationnelle ?

12. Comment résout-on une équation de la forme ∣u∣=a|u|=a∣u∣=a avec a≥0a\ge 0a≥0 ?

13. Quelle différence distingue une fonction majorée d’une fonction bornée ?

14. Que signifie qu’une fonction soit paire ?

15. Quelle est la négation de l’assertion ∀x∈R, f(x)≤1\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le 1∀x∈R, f(x)≤1 ?

16. Quelle écriture correspond à la négation de « fff est croissante » ?

17. Que représente la notation ∑i=1n(ai+bi)\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)∑i=1n​(ai​+bi​) ?

18. À quoi sert un changement d’indice dans une somme ?

19. Quelle est l’intervalle de valeurs de la partie fractionnaire {x}\{x\}{x} ?

20. Que vaut la partie fractionnaire d’un entier ?

21. Quelle est la négation de l’énoncé ∀x∈R, f(x)≠0\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0∀x∈R, f(x)=0 ?

22. Quand une implication (A⇒B)(A\Rightarrow B)(A⇒B) est-elle fausse ?

23. Que vaut le module d’un nombre complexe ?

24. Quelle est la factorisation de z4−1z^4-1z4−1 utilisée pour déterminer ses racines ?

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1. Que désigne la notation $\llbracket n,p\rrbracket$ pour deux entiers $n\le p$ ?

2. Dans les notations usuelles, que représentent $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ?

3. Que représente l’écriture $F^E$ lorsque $E$ et $F$ sont deux ensembles ?

4. Que vaut la fonction indicatrice $1_Y(x)$ lorsque $x\notin Y$ ?

5. Quelle est la valeur de $\mathrm{sign}(x)$ pour un réel strictement négatif ?

6. Quelle propriété caractérise la valeur absolue $|u|$ ?

7. Dans les exercices, quel rôle jouent souvent les lettres grecques comme $\alpha$ , $\beta$ ou $\gamma$ ?

12. Comment résout-on une équation de la forme $|u|=a$ avec $a\ge 0$ ?

15. Quelle est la négation de l’assertion $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le 1$ ?

16. Quelle écriture correspond à la négation de « $f$ est croissante » ?

17. Que représente la notation $\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)$ ?

19. Quelle est l’intervalle de valeurs de la partie fractionnaire $\{x\}$ ?

21. Quelle est la négation de l’énoncé $\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0$ ?

22. Quand une implication $(A\Rightarrow B)$ est-elle fausse ?

24. Quelle est la factorisation de $z^4-1$ utilisée pour déterminer ses racines ?