Fiche de révision : Introduction aux suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et relation de récurrence
2. Formule explicite et représentation graphique
3. Sens de variations selon la raison
4. Moyenne arithmétique de trois termes consécutifs
5. Somme des n premiers termes d’une suite

📖 1. Définition et relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite de nombres où le passage d’un terme au suivant se fait en ajoutant une même valeur fixe.
• Raison r : Valeur constante ajoutée entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Relation de récurrence : Équation reliant deux termes consécutifs d’une suite, ici le terme suivant au terme courant.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, on a un+1 = un + r pour tout n ∈ ℕ.
• La raison r est la différence constante entre deux termes consécutifs.
• Si une relation du type u(n+1)=u(n)+r est donnée, la suite est arithmétique de raison r.
• Exemple : w(n+1)=w(n)+3 et w(0)=13 donne une suite arithmétique de raison 3.
• La notation un désigne le terme général indexé par n, et un+1 le terme suivant.
• La relation de récurrence sert à calculer des termes successifs à partir d’un premier terme.

💡 Astuce mémo

Récurrence = “+ r” à chaque pas : un+1 = un + r.

📖 2. Formule explicite et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Expression directe de un en fonction de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Représentation alignée : Graphique d’une suite arithmétique sous forme de points alignés.
• Croissance linéaire : Propriété géométrique d’une suite arithmétique : l’augmentation est régulière, ce qui correspond à une droite sur le graphique.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, on a un = u0 + n r pour tout n ∈ ℕ.
• Si le premier terme est u1, alors la formule devient un = u1 + (n−1) r.
• Une suite arithmétique est représentée par des points alignés.
• La représentation correspond à une croissance linéaire.
• Exemple : si r=3 et u0=5, alors un = 5 + 3n (pour exprimer un en fonction de n).
• La formule explicite permet de calculer des termes lointains comme u120 et u150 sans itérer.

💡 Astuce mémo

Explicite = “u0 + n×r” : n fois la raison à partir de u0.

📖 3. Sens de variations selon la raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite dont les termes augmentent au fil de l’index n.
• Suite décroissante : Suite dont les termes diminuent au fil de l’index n.
• Signe de la raison : Critère basé sur le signe de r pour déterminer le sens des variations d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Si r > 0, la suite arithmétique est croissante.
• Si r < 0, la suite arithmétique est décroissante.
• Le sens des variations dépend uniquement du signe de la raison r.
• Pour étudier une suite donnée, on cherche la raison à partir de l’expression ou de la différence entre termes.
• Exemple : u(n)=30n−4 est croissante (car la pente associée est positive).
• Une suite arithmétique ne peut pas être ni “oscillante” ni “stationnaire” dans ce chapitre : le signe de r fixe le sens.

💡 Astuce mémo

r signe la trajectoire : r>0 monte, r<0 descend.

📖 4. Moyenne arithmétique de trois termes consécutifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Termes consécutifs : Trois termes successifs d’une suite, notés x, y, z, avec y entre x et z.
• Moyenne arithmétique : Valeur obtenue en faisant la somme des nombres divisée par 2, utilisée ici pour relier x, y et z.
• Condition de suite arithmétique : Égalité caractérisant trois termes consécutifs d’une suite arithmétique via une relation de moyenne.

📝 Points essentiels

• Si x, y, z sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors x+z 2 = y.
• L’égalité relie le terme du milieu à la moyenne du plus petit et du plus grand.
• Cette relation permet de retrouver le terme manquant y à partir de x et z.
• Elle permet aussi de déterminer la raison à partir de trois termes consécutifs.
• Exemple : w0 = −11 et w2 = 3, alors w1 est la moyenne de −11 et 3.
• Dans l’exemple, une fois w1 trouvé, la raison se déduit de la différence w1−w0.

💡 Astuce mémo

Milieu = moyenne : y = (x+z)/2.

📖 5. Somme des n premiers termes d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle : Somme des termes d’une suite sur un intervalle d’indices, ici de i=0 à n.
• Somme des entiers consécutifs : Formule de la somme 1+2+…+n utilisée comme outil de calcul dans les démonstrations.
• Somme d’une suite arithmétique : Expression de la somme u0+u1+…+un en fonction de u0, un et n.

📝 Points essentiels

• La somme 1+2+…+n vaut n(n+1)/2.
• Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, on a ∑ i=0 n ui = u0+u1+…+un.
• La formule de somme s’écrit ∑ i=0 n ui = (u0+un)×(n+1)/2.
• Dans la source, la somme est aussi présentée sous la forme (n+1)/2 × (u0+un).
• La démonstration utilise l’écriture ui = u0 + r×i puis la somme ∑ i=0 n i = n(n+1)/2.
• Exemple : calculer ∑ i=0 5 ui avec la suite arithmétique donnée revient à appliquer la formule avec u0 et u5.

💡 Astuce mémo

Somme = (nombre de termes)×(extrêmes)/2 : (n+1)(u0+un)/2.

📊 Tableaux de synthèse

Formule explicite selon le premier terme

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la raison r avec l’index n : r est une constante, n varie.
2. Utiliser la mauvaise formule explicite selon que le premier terme est u0 ou u1.
3. Oublier que la représentation graphique d’une suite arithmétique correspond à des points alignés (droite).
4. Se tromper de sens de variations en inversant le critère : r>0 donne croissance, r<0 donne décroissance.
5. Appliquer x+z/2=y sans vérifier que x, y, z sont bien des termes consécutifs.
6. Mélanger la somme 1+2+…+n avec la somme des termes d’une suite : ce sont deux formules distinctes.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une suite arithmétique à partir d’une relation du type un+1=un+r et identifier la raison r.
2. Savoir écrire la relation de récurrence et calculer des termes successifs à partir de u0.
3. Savoir utiliser la formule explicite un=u0+nr (ou un=u1+(n−1)r) pour exprimer un en fonction de n.
4. Savoir déterminer le sens des variations d’une suite arithmétique à partir du signe de r.
5. Savoir utiliser la condition de moyenne pour trois termes consécutifs : y=(x+z)/2.
6. Savoir calculer une somme ∑ i=0 n ui avec la formule (n+1)(u0+un)/2 et la relier à la somme n(n+1)/2 si besoin.