Fiche de révision : Introduction aux variables aléatoires discrètes

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires discrètes
2. Loi de probabilité et espérance
3. Application du dé octaédrique
4. Variance et écart-type
5. Températures à Marseille et Lyon
6. Linéarité de l'espérance
7. Résidus métalliques et prix de vente

📖 1. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe à chaque issue de l’expérience une valeur (numérique ou non), appelée valeur possible.
• Variable discrète : Une variable discrète prend un nombre fini de valeurs, chacune avec sa probabilité d’apparition.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité donne, en général dans un tableau, les probabilités des valeurs possibles de la variable.
• Événement {X = a} : L’événement {X = a} correspond au cas où la variable prend exactement la valeur a.

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire discrète X admet des valeurs x1,…,xn avec des probabilités p1,…,pn vérifiant p1+…+pn=1.
• Si l’univers Ω est fini, alors X prend un nombre fini de valeurs, donc elle est discrète.
• Pour une variable quantitative, {X=a}, {X>a}, {X≥a}, {X<a}, {X≤a} décrivent des conditions sur la valeur de X.
• L’espérance d’une variable quantitative discrète est E(X)=∑_{i=1}^n p_i x_i.
• Le cours présente un exemple de dé octaédrique où Y est le numéro de la face et X la couleur (vert/rouge/jaune).

💡 Astuce mémo

Loi discrète = tableau fini : des valeurs x puis des probabilités p qui somment à 1.

📖 2. Loi de probabilité et espérance

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance mathématique : L’espérance mathématique E(X) est la moyenne théorique des valeurs de X sur un très grand nombre de répétitions.
• Valeurs possibles : Les valeurs possibles d’une variable sont les résultats que X peut prendre, connues à l’avance.
• Variable quantitative : Une variable quantitative prend des valeurs réelles chiffrées, sur lesquelles on peut calculer E(X).

📝 Points essentiels

• Pour X prenant x1,…,xn avec probabilités p1,…,pn, on a E(X)=p1 x1+…+pn xn.
• Dans l’exemple du dé, les probabilités de couleur sont 2/8 pour vert, 3/8 pour rouge et 3/8 pour jaune.
• Pour le dé, Y (le numéro) a comme valeurs 1,2,3,4 avec probabilités 3/8,2/8,2/8,1/8 respectivement.
• Dans l’exemple, l’espérance a un sens pour la variable quantitative, ici Y (le numéro) et non pour la couleur seule.

💡 Astuce mémo

Espérance = somme p_i×valeur : moyenne pondérée par les probabilités.

📖 3. Application du dé octaédrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dé octaédrique : Dé à 8 faces, parfaitement équilibré, où chaque face a une probabilité égale d’être obtenue.
• Variable X couleur : Dans l’exemple, X décrit la couleur de la face supérieure (vert, rouge, ou jaune).
• Variable Y numéro : Dans l’exemple, Y décrit le numéro de la face supérieure (1, 2, 3, ou 4).

📝 Points essentiels

• Sur le dé, les faces portent 1 (3 faces), 2 (2 faces), 3 (2 faces) et 4 (1 face).
• Les couleurs comptées sur le dé sont 2 faces vertes, 3 rouges, 3 jaunes, donc P(X=vert)=2/8, P(X=rouge)=3/8, P(X=jaune)=3/8.
• P(Y=1)=3/8, P(Y=2)=2/8, P(Y=3)=2/8, P(Y=4)=1/8.
• L’espérance E(Y) se calcule par E(Y)=(3/8)×1+(2/8)×2+(2/8)×3+(1/8)×4.

💡 Astuce mémo

Compte les faces : 3-2-2-1 pour Y, puis 2-3-3 pour X.

📖 4. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de E(X) via la moyenne pondérée des carrés des écarts.
• Écart-type : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance et a la même unité que X.
• Formule de la variance : La variance s’exprime soit avec (x_i−E(X))^2, soit avec x_i^2 puis soustraction de (E(X))^2.

📝 Points essentiels

• La variance est V(X)=∑_{i=1}^n p_i (x_i−E(X))^2.
• L’écart-type vaut σ(X)=√V(X).
• Une forme équivalente de la variance est V(X)=∑_{i=1}^n p_i x_i^2−(E(X))^2.
• La variance et l’écart-type servent d’indicateurs de dispersion autour de E(X).
• Le cours applique ces calculs aux températures de Marseille et Lyon sur 10 jours pour comparer σ(X) et σ(Y).

💡 Astuce mémo

Variance = moyenne des écarts au carré ; écart-type = √variance.

📖 5. Températures à Marseille et Lyon

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable X (Marseille) : Dans l’application, X est la température à midi à Marseille sur un jour tiré parmi 10 jours mesurés.
• Variable Y (Lyon) : Dans l’application, Y est la température à midi à Lyon sur un jour tiré parmi 10 jours mesurés.
• Dispersion autour de la moyenne : La dispersion se juge en comparant les écarts à la moyenne et donc les variances ou écarts-types.

📝 Points essentiels

• Pour Marseille, les valeurs possibles de X sont 4,5 ; 6,2 ; 7,8 ; 8,6 ; 9,4 ; 10,1 ; 10,3 avec probabilités 0,3 ; 0,2 ; 0,1 ; 0,1 ; 0,1 ; 0,1 ; 0,1.
• Pour Lyon, les valeurs possibles de Y sont 4,9 ; 5,2 ; 5,4 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,7 ; 7,1 avec probabilités 0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,1 ; 0,1 ; 0,1.
• La démarche demandée est de calculer d’abord E(X) et E(Y) à partir des tableaux puis V(X) et V(Y) à partir des écarts au carré pondérés.
• Le cours demande aussi de conclure : quelle ville est la plus chaude en moyenne et quelle ville a les températures les plus variables autour de la moyenne.
• Les tableaux fournissent déjà les produits p_i×(x_i−E(X))^2 et p_i×(y_i−E(Y))^2 pour obtenir V(X) et V(Y) par somme.

💡 Astuce mémo

Même logique des tableaux : probabilités + écarts au carré pondérés → variance → écart-type.

📖 6. Linéarité de l'espérance

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation affine Y=aX+b : On définit Y à partir de X par une transformation affine avec des coefficients réels a et b.
• Linéarité de l’espérance : L’espérance d’une variable affine de X se calcule directement à partir de E(X).
• Transformation de la variance : La variance d’une variable affine dépend du coefficient multiplicateur a, via V(Y)=a^2 V(X).

📝 Points essentiels

• Si Y=aX+b, alors E(Y)=a E(X)+b.
• Si Y=aX+b, alors V(Y)=a^2 V(X).
• Sous la même relation, l’écart-type vérifie σ(Y)=|a| σ(X).
• Le cours indique l’usage conjoint de ces formules pour calculer moyenne et dispersion de Y sans refaire tout le tableau.

💡 Astuce mémo

Affine : espérance suit a et b, variance suit a^2, écart-type suit |a|.

📖 7. Résidus métalliques et prix de vente

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse d’un résidu X : Dans l’application, X est la masse en grammes d’un résidu métallique, discrète selon les catégories annoncées.
• Prix de vente Y : Dans l’application, Y est le prix en euros du résidu, déterminé par une relation avec la masse X.
• Fonction linéaire Y=0,0004X+0,02 : Le prix dépend linéairement de la masse, avec un coefficient multiplicateur et un terme constant.

📝 Points essentiels

• Les masses possibles ont des probabilités : 20 g (5%), 32 g (23%), 48 g (2%), 53 g (10%), 64 g (12%), 85 g (28%), puis 127 g pour le reste.
• Pour la question 1, il faut dresser la loi de probabilité de X puis calculer E(X), V(X) et σ(X) à la calculatrice.
• La relation de prix est Y=0,0004X+0,02, donc le prix moyen est E(Y)=0,0004E(X)+0,02.
• Pour la question 2, la variance de Y vérifie V(Y)=(0,0004)^2 V(X) et l’écart-type vaut σ(Y)=|0,0004| σ(X).
• Le cours demande d’arrondir l’écart-type à 0,0001 près pour la réponse finale.

💡 Astuce mémo

Y = 0,0004X + 0,02 : moyenne suit 0,0004 ; dispersion suit (0,0004)².

📊 Tableaux de synthèse

Marseille vs Lyon : valeurs et probabilités

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une variable discrète avec une variable continue : ici X prend un nombre fini de valeurs et on somme p_i×…
2. Utiliser la mauvaise formule de variance : mélanger (x_i−E(X))² et la formule ∑p_i x_i²−(E(X))².
3. Calculer E(X) en moyennant sans pondérer : la moyenne doit utiliser les probabilités p_i.
4. Transformer Y=aX+b en oubliant le carré sur la variance : V(Y) dépend de a², pas de a.
5. Calculer σ(Y) avec a au lieu de |a| : l’écart-type est toujours positif.
6. Pour les températures, oublier que les probabilités proviennent des 10 jours mesurés (donc elles ne sont pas des fréquences “au feeling”).
7. Pour le dé octaédrique, inverser les probabilités de X (couleur) et de Y (numéro), car les comptages de faces diffèrent.

✅ Checklist Examen

1. Savoir expliquer quand une variable aléatoire est discrète et écrire la relation p1+…+pn=1.
2. Savoir donner une loi de probabilité sous forme de tableau avec valeurs possibles et probabilités.
3. Savoir reconnaître les événements {X=a}, {X>a}, {X≥a}, {X<a}, {X≤a} pour une variable quantitative.
4. Savoir calculer l’espérance E(X)=∑ p_i x_i pour une variable quantitative discrète.
5. Maîtriser l’exemple du dé : valeurs et probabilités de X (couleur) et de Y (numéro).
6. Savoir calculer E(Y) dans le dé octaédrique à partir des probabilités 3/8, 2/8, 2/8, 1/8.
7. Savoir calculer la variance avec V(X)=∑ p_i (x_i−E(X))².
8. Savoir utiliser la forme équivalente V(X)=∑ p_i x_i²−(E(X))².
9. Savoir passer de V(X) à σ(X)=√V(X) et interpréter la dispersion.
10. Pour Marseille et Lyon : savoir écrire E(X) et V(X) puis conclure sur la moyenne et sur la variabilité via σ.
11. Savoir appliquer la linéarité : si Y=aX+b, calculer E(Y)=aE(X)+b, puis V(Y)=a²V(X) et σ(Y)=|a|σ(X).
12. Pour les résidus : savoir construire la loi de X avec les masses et probabilités données.
13. Pour le prix : savoir calculer E(Y) et la variance/écart-type de Y à partir de ceux de X avec la formule Y=0,0004X+0,02 et arrondir σ(Y) à 0,0001 près.