QCM : Introduction aux variables aléatoires discrètes — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation décrit le mieux une variable aléatoire discrète ?

Elle ne peut prendre que des valeurs entières négatives
Elle est définie uniquement par une moyenne et un écart-type
Elle prend un nombre fini de valeurs possibles, chacune associée à une probabilité
Elle prend toutes les valeurs d’un intervalle réel sans distinction de cas

Elle prend un nombre fini de valeurs possibles, chacune associée à une probabilité

Explication

Une variable discrète prend un nombre fini de valeurs, chacune avec une probabilité d’apparition. Les autres propositions décrivent soit une variable continue, soit des propriétés non générales.

2. Que représente l’événement {X = a} pour une variable aléatoire X ?

Le cas où X prend une valeur inférieure ou égale à a
Le cas où X prend exactement la valeur a
Le cas où X prend une valeur supérieure à a
Le cas où X prend au moins deux valeurs différentes

Le cas où X prend exactement la valeur a

Explication

L’événement {X = a} signifie que la variable prend précisément la valeur a. Les autres choix correspondent à d’autres événements comme {X>a} ou {X≤a}.

3. Comment calcule-t-on l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1, ..., xn avec les probabilités p1, ..., pn ?

En additionnant seulement les valeurs possibles puis en divisant par n
En prenant la plus grande valeur possible
En multipliant toutes les probabilités entre elles
En additionnant p_i multiplié par x_i pour toutes les valeurs

En additionnant p_i multiplié par x_i pour toutes les valeurs

Explication

L’espérance est une moyenne pondérée : E(X)=∑ p_i x_i. Ce n’est pas une moyenne simple des valeurs ni un maximum.

4. Dans l’exemple du dé octaédrique, quelle variable est quantitative et permet de calculer une espérance ?

Le fait que la face soit visible ou non
Le numéro de la face supérieure
La couleur de la face supérieure
Le nombre total de faces du dé

Le numéro de la face supérieure

Explication

Le numéro de la face est une variable quantitative, donc son espérance peut être calculée. La couleur est une variable qualitative, pas une valeur numérique à moyenner directement.

5. Sur le dé octaédrique étudié, quelle est la probabilité d’obtenir la couleur rouge ?

1/4
3/8
2/8
1/8

3/8

Explication

Le dé comporte 3 faces rouges sur 8, donc P(X=rouge)=3/8. Cette probabilité se lit en comptant les faces de la couleur concernée.

6. Quelle est la loi de probabilité de la variable Y qui désigne le numéro de la face supérieure ?

P(Y=1)=1/8, P(Y=2)=2/8, P(Y=3)=3/8, P(Y=4)=2/8
P(Y=1)=3/8, P(Y=2)=2/8, P(Y=3)=2/8, P(Y=4)=1/8
P(Y=1)=2/8, P(Y=2)=3/8, P(Y=3)=2/8, P(Y=4)=1/8
P(Y=1)=1/4, P(Y=2)=1/4, P(Y=3)=1/4, P(Y=4)=1/4

P(Y=1)=3/8, P(Y=2)=2/8, P(Y=3)=2/8, P(Y=4)=1/8

Explication

Les faces portent 1 sur 3 faces, 2 sur 2 faces, 3 sur 2 faces et 4 sur 1 face, d’où ces probabilités. Le dé est équilibré, mais les numéros ne sont pas répartis également.

7. Que mesure la variance d’une variable aléatoire ?

Le nombre de valeurs distinctes
La somme des valeurs possibles
La valeur la plus fréquente de la variable
La dispersion des valeurs autour de l’espérance

La dispersion des valeurs autour de l’espérance

Explication

La variance mesure l’étalement des valeurs autour de l’espérance via des écarts au carré pondérés. Elle ne donne ni une fréquence ni un simple comptage des valeurs.

8. Quelle relation lie l’écart-type à la variance ?

L’écart-type est toujours égal à l’espérance
L’écart-type est la racine carrée de la variance
L’écart-type est le carré de la variance
L’écart-type est la différence entre la variance et l’espérance

L’écart-type est la racine carrée de la variance

Explication

Par définition, σ(X)=√V(X), donc l’écart-type est la racine carrée de la variance. Cela lui permet d’avoir la même unité que la variable.

9. Dans l’étude des températures, que représente la variable X ?

La moyenne des températures des deux villes
La température maximale annuelle à Marseille
La température à midi à Lyon sur un jour tiré parmi 10 jours mesurés
La température à midi à Marseille sur un jour tiré parmi 10 jours mesurés

La température à midi à Marseille sur un jour tiré parmi 10 jours mesurés

Explication

X désigne la température à midi à Marseille sur un jour choisi parmi les 10 jours observés. La variable associée à Lyon est Y.

10. Quelle démarche est demandée pour comparer les températures de Marseille et de Lyon ?

Déterminer uniquement la couleur dominante des données
Comparer seulement les valeurs minimales des deux tableaux
Calculer d’abord les espérances, puis les variances et enfin comparer moyenne et dispersion
Additionner toutes les températures sans utiliser les probabilités

Calculer d’abord les espérances, puis les variances et enfin comparer moyenne et dispersion

Explication

Il faut d’abord calculer E(X) et E(Y), puis V(X) et V(Y), afin de conclure sur la ville la plus chaude en moyenne et celle dont les températures sont les plus dispersées. Les autres propositions ne suivent pas la méthode du tableau probabiliste.

11. Si Y = aX + b, quelle formule donne l’espérance de Y en fonction de celle de X ?

E(Y) = E(X) + ab
E(Y) = a^2E(X) + b
E(Y) = a(E(X) + b)
E(Y) = aE(X) + b

E(Y) = aE(X) + b

Explication

Pour une transformation affine, l’espérance se transforme en multipliant par a puis en ajoutant b. La relation n’introduit pas de carré : c’est la variance qui dépend de a².

12. Si Y = aX + b, quelle relation relie l’écart-type de Y à celui de X ?

σ(Y) = aσ(X)
σ(Y) = σ(X) + b
σ(Y) = a^2σ(X)
σ(Y) = |a|σ(X)

σ(Y) = |a|σ(X)

Explication

L’écart-type mesure une dispersion et reste toujours positif, donc il dépend de la valeur absolue de a. Le terme b ne change pas la dispersion.

13. Dans l’application des résidus métalliques, quelle est la relation entre le prix de vente Y et la masse X ?

Y = 0,0004X - 0,02
Y = 0,02X + 0,0004
Y = 0,0004X + 0,02
Y = 0,02X + 0,4

Y = 0,0004X + 0,02

Explication

Le prix est défini par une relation affine avec un coefficient 0,0004 devant la masse et un terme constant de 0,02. C’est cette formule qui permet ensuite de déduire l’espérance et la dispersion de Y.

14. Comment calcule-t-on la variance du prix Y à partir de la variance de la masse X ?

V(Y) = (0,0004)^2V(X)
V(Y) = |0,0004|V(X)
V(Y) = V(X) + 0,0004
V(Y) = 0,0004V(X)

V(Y) = (0,0004)^2V(X)

Explication

Pour une variable affine Y = aX + b, la variance est multipliée par a². Ici, le coefficient multiplicateur est 0,0004, donc V(Y) = (0,0004)²V(X).

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Introduction aux variables aléatoires discrètes.

Variable aléatoire — définition ?

Associe chaque issue à une valeur numérique.

Variable discrète — caractéristique ?

Prend un nombre fini de valeurs avec probabilités associées.

Loi de probabilité — rôle ?

Donne la probabilité de chaque valeur possible.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Introduction aux variables aléatoires discrètes.

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