Fiche de révision : Introduction aux variables aléatoires discrètes

📋 Plan du Cours

1. Variable aléatoire discrète
2. Exemples de variables
3. Loi de probabilité
4. Fonction de répartition
5. Espérance mathématique
6. Variance et écart-type
7. Propriétés algébriques
8. Variables conjointes

📖 1. Variable aléatoire discrète

🔑 Notions clés & Définitions

Variable aléatoire discrète :
AUTEUR (date) : "Une variable aléatoire peut prendre un nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles, appelées valeurs possibles, et est associée à une probabilité pour chacune d’elles."
C’est une fonction X de l’univers Ω à valeurs dans R, qui à chaque issue ω de Ω associe un nombre réel X(ω). Elle modélise des résultats numériques issus d’une expérience aléatoire.

Exemples de variables :

• Nombre d’absents lors d’un cours (X peut prendre 0, 1, 2, ..., 135).
• Nombre de tentatives avant de gagner à l’Euromillion (X peut prendre 1, 2, 3, ...).
• Durée de vie d’une ampoule (X peut prendre toute valeur dans [0, +∞[).

📝 Points essentiels

• La variable aléatoire discrète peut prendre un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs.
• La loi de probabilité de X, notée PX, associe à chaque valeur xi la probabilité P(X = xi). La somme de toutes ces probabilités est toujours égale à 1.
• La loi de probabilité peut être représentée sous forme de tableau ou de diagramme en bâtons.
• La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) donne la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Elle est en escalier pour une variable discrète.
• La valeur moyenne ou espérance mathématique E(X) est la moyenne pondérée des valeurs possibles, calculée par E(X) = Σ xi · P(X = xi).
• La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance, calculée par V(X) = E[(X - E(X))²] ou par V(X) = E(X²) - [E(X)]².
• L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance, indiquant la dispersion dans la même unité que X.

💡 À retenir

Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire une valeur numérique, avec une loi de probabilité précise, permettant de modéliser et d’analyser la distribution des résultats possibles.

📖 2. Exemples de variables

🔑 Notions clés & Définitions

Loi de probabilité :
Selon X (voir section 3), la loi de probabilité de une variable aléatoire X est l’application PX de l’ensemble des valeurs possibles de X à [0, 1], qui associe à chaque valeur xi la probabilité P(X = xi) que X prenne cette valeur. Elle décrit la répartition des probabilités sur les valeurs possibles de X. La somme de toutes ces probabilités est toujours égale à 1 (P∑ pi = 1).

Fonction de répartition :
D’après X (voir section 4), la fonction de répartition F de la variable aléatoire X est une fonction de R à [0, 1], définie par F(x) = P(X ≤ x). Elle donne la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Pour une variable discrète, F est une fonction en escalier, avec des sauts aux valeurs prises par X.

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité permet de connaître la distribution des valeurs possibles de X en leur attribuant une probabilité.
• La fonction de répartition résume cette loi en donnant la probabilité que X soit inférieure ou égale à un réel x.
• La loi de probabilité de X doit satisfaire la condition que la somme des probabilités associées à toutes ses valeurs possibles est égale à 1.
• La fonction de répartition est croissante, en escalier pour une variable discrète, et continue pour une variable continue.
• La loi de probabilité est représentée par un tableau ou un diagramme en bâtons, tandis que la fonction de répartition est une courbe croissante allant de 0 à 1.

💡 À retenir

La loi de probabilité décrit comment les probabilités sont réparties sur les valeurs possibles d’une variable aléatoire, tandis que la fonction de répartition synthétise cette information en donnant la probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à un certain seuil.

📖 3. Loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

Espérance mathématique (P. 5, 6, 12, 13) :
Définition : Si X est une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, ..., x_n$ avec les probabilités respectives $p_1, p_2, ..., p_n$, alors l'espérance mathématique de X, notée $E(X)$, est donnée par :
$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \times p_i$
Elle représente la moyenne pondérée des valeurs possibles de X, en tenant compte de leurs probabilités.

Point à retenir :
L'espérance $E(X)$ indique la valeur moyenne que l'on peut attendre si l'expérience est répétée un grand nombre de fois.

Variance (V(X)) (P. 13) :
Définition : La variance de X, notée $V(X)$, est un nombre réel positif défini par :
$V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \times p_i$
Elle mesure la dispersion des valeurs de X autour de leur moyenne.

Point à retenir :
La variance quantifie la dispersion des résultats possibles de X, plus elle est grande, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance.

Écart-type (σ(X)) (P. 13) :
Définition : L'écart-type de X, noté $\sigma(X)$, est la racine carrée de la variance :
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Il exprime la dispersion dans la même unité que X.

Point à retenir :
L'écart-type est une mesure de dispersion plus intuitive que la variance, car elle s'exprime dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité $P_X$ associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$. La somme de toutes ces probabilités est toujours égale à 1 :
  $\sum_{i=1}^n p_i = 1$
• L'espérance $E(X)$ est la moyenne pondérée des valeurs possibles, permettant d'estimer la valeur moyenne à long terme.
• La variance $V(X)$ est l'espérance des carrés des écarts à l'espérance, indiquant la dispersion.
• La formule pratique pour calculer la variance est :
  $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$
  où $E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 \times p_i$.

💡 À retenir

L'espérance, la variance et l'écart-type sont des outils fondamentaux pour caractériser la distribution d'une variable aléatoire discrète, en donnant des indications sur sa tendance centrale et sa dispersion.

📖 4. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables conjointes : Deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers Ω, dont la loi conjointe est donnée par la probabilité que X prenne une valeur xi et Y une valeur yj simultanément, c’est-à-dire par la donnée des nombres pi j = P(X = xi ∩ Y = yj). La loi conjointe décrit la probabilité que deux événements liés à ces variables se produisent simultanément.

• Lois marginales : Les lois marginales de X et Y sont obtenues en sommant la loi conjointe sur l’ensemble des valeurs possibles de l’autre variable. Plus précisément, la loi marginale de X est la distribution de X seule, en agrégeant toutes les probabilités de la loi conjointe pour chaque xi : P(X = xi) = Σj pi j. De même, la loi marginale de Y est donnée par P(Y = yj) = Σi pi j.

• Loi conjointe : La loi conjointe d’un couple (X, Y) est la fonction qui à chaque paire de valeurs (xi, yj) associe la probabilité pi j = P(X = xi ∩ Y = yj). Elle représente la distribution simultanée de deux variables aléatoires, permettant de connaître la probabilité qu’elles prennent des valeurs spécifiques en même temps.

📝 Points essentiels

• La loi conjointe est représentée par une table à double entrée où chaque case correspond à la probabilité pi j = P(X = xi ∩ Y = yj).
• La somme des pi j sur toutes les valeurs possibles de i et j est toujours égale à 1 : Σi Σj pi j = 1.
• Les lois marginales s’obtiennent en sommant la loi conjointe sur une dimension :
  • P(X = xi) = Σj pi j
  • P(Y = yj) = Σi pi j
• La loi conjointe permet d’étudier la dépendance ou l’indépendance entre X et Y : si X et Y sont indépendantes, alors pi j = P(X = xi) × P(Y = yj) pour tous i, j.

💡 À retenir

La loi conjointe décrit la distribution simultanée de deux variables aléatoires, tandis que les lois marginales donnent leur distribution individuelle en agrégeant l’information de la loi conjointe.

📖 5. Espérance mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

Variables aléatoires : Fonction X de l’univers Ω à valeurs dans R, qui associe à chaque issue ω de Ω un nombre réel X(ω). Elles modélisent des résultats numériques d’expériences aléatoires (exemple : gain, nombre d’absents, durée de vie).

Expérience aléatoire : Processus ou situation dont le résultat n’est pas déterministe à l’avance, mais probabiliste, permettant de définir une variable aléatoire.

Valeurs possibles : Ensemble des valeurs que peut prendre une variable aléatoire X, qui peut être fini, infini ou continuer. Dans ce contexte, on considère uniquement des variables prenant un nombre fini de valeurs.

Probabilités : Quantification du risque ou de la chance que X prenne une valeur spécifique xi, notée P(X = xi). La somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles est toujours égale à 1 (P_i = 1).

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité de X, notée PX, associe à chaque valeur xi la probabilité P(X = xi). Elle décrit la répartition des valeurs possibles de X.
• La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) donne la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Pour une variable discrète, F est une fonction en escalier.
• La valeur moyenne ou espérance mathématique E(X) est la moyenne pondérée des valeurs xi, avec leurs probabilités respectives p_i :
  $E(X) = \sum_{i} xi \times P(X = xi)$
• L’espérance représente la valeur attendue ou moyenne de X après un grand nombre de répétitions de l’expérience aléatoire.
• La loi de probabilité doit satisfaire la condition : $\sum_{i} P(X = xi) = 1$.

💡 À retenir

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète est la moyenne pondérée de ses valeurs possibles, reflétant la tendance centrale de ses résultats dans une expérience répétée à l’infini.

📖 6. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution de X : La distribution de la variable aléatoire X est donnée par la loi de probabilité, c’est-à-dire l’application $P_X$ qui à chaque valeur possible $x_i$ de X associe la probabilité $P(X = x_i)$. Elle décrit la façon dont les valeurs de X sont réparties probabilistiquement (voir section 2).

• Fonction de répartition (F) : La fonction de répartition de X, notée $F$, est une fonction de $\mathbb{R}$ à valeurs dans [0,1], définie par $F(x) = P(X \leq x)$. Elle indique la probabilité que la variable X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Pour une variable discrète, $F$ est une fonction en escalier (voir définition 3 et exemple 3).

• Fonction en escalier : La fonction de répartition $F$ d’une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier, c’est-à-dire qu’elle est constante sur des intervalles et présente des sauts à chaque valeur possible de X. Ces sauts sont de hauteur $P(X = x_i)$ à chaque $x_i$ (voir exemple 3).

📝 Points essentiels

• La distribution de X permet de connaître la probabilité que X prenne une valeur spécifique, tandis que la fonction de répartition donne la probabilité que X soit inférieur ou égal à une valeur donnée, intégrant ainsi l’ensemble des probabilités de la distribution.

• La fonction en escalier est une représentation graphique de la fonction de répartition pour une variable discrète, avec des sauts à chaque valeur possible de X. La hauteur de chaque saut correspond à la probabilité associée à cette valeur.

• La fonction de répartition $F$ est croissante, limite à 0 en $-\infty$ et limite à 1 en $+\infty$.

💡 À retenir

La fonction de répartition $F$ synthétise la distribution de X en donnant la probabilité que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à x, et pour une variable discrète, elle se présente sous forme d'une fonction en escalier.

📖 7. Propriétés algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

Espérance (E(X))
AUTEUR (date) : La moyenne pondérée des valeurs possibles d'une variable aléatoire, où chaque valeur est multipliée par sa probabilité. Formellement, si X prend les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec les probabilités p₁, p₂, ..., pₙ, alors
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times p_i$
C'est la valeur moyenne attendue d'une expérience aléatoire.

Moyenne pondérée
C'est la méthode de calcul de l'espérance, consistant à faire la somme des valeurs possibles, chacune pondérée par sa probabilité. Elle représente la "valeur moyenne" que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions.

Valeur moyenne
C'est une autre expression pour désigner l'espérance mathématique, c'est-à-dire la moyenne pondérée des valeurs possibles d'une variable aléatoire.

📝 Points essentiels

• L'espérance est calculée en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité, puis en faisant la somme de ces produits.
• La moyenne pondérée est le principe sous-jacent du calcul de l'espérance, intégrant la distribution de la variable.
• La valeur moyenne (ou espérance) indique la tendance centrale d'une variable aléatoire, c'est-à-dire la "valeur attendue" en moyenne après de nombreuses répétitions.
• La formule de l'espérance ne dépend pas de la valeur réelle prise par la variable lors d'une expérience unique, mais de la distribution de ses valeurs possibles.
• La notion de moyenne pondérée est essentielle pour comprendre comment l'espérance synthétise la répartition des valeurs.

💡 À retenir

L'espérance, ou valeur moyenne, est la moyenne pondérée des valeurs possibles d'une variable aléatoire, calculée en tenant compte de leur probabilité respective, et elle représente la tendance centrale attendue sur un grand nombre d'expériences.

📖 8. Variables conjointes

🔑 Notions clés & Définitions

Variance (V(X)) :
AUTEUR (date) : "la variance de X est le nombre réel positif défini par V(X) = P((xi − E(X))² · pi)", c’est-à-dire l’espérance des carrés des écarts à l’espérance.
Elle mesure la dispersion des valeurs possibles de X autour de leur moyenne.

Écart-type (σ(X)) :
AUTEUR (date) : "l’écart-type de X est le nombre réel positif défini par σ(X) = √V(X)", c’est la racine carrée de la variance.
Il exprime la dispersion dans la même unité que X.

Dispersion :
AUTEUR (date) : "la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance E(X)", quantifiée par la variance ou l’écart-type, indique à quel point les valeurs de X sont dispersées autour de la moyenne.

📝 Points essentiels

• La variance V(X) est calculée comme la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance :
  V(X) = Σ (xi − E(X))² · pi.
• L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance, ce qui permet une interprétation plus intuitive de la dispersion.
• La dispersion indique la variabilité des valeurs possibles de X autour de leur moyenne.
• La formule pratique pour la variance : V(X) = E(X²) − (E(X))², où E(X²) est l’espérance du carré de X.
• La dispersion est un indicateur essentiel pour comprendre la stabilité ou la variabilité d’une variable aléatoire.

💡 À retenir

La variance et l’écart-type sont des mesures fondamentales de dispersion qui quantifient la variabilité des valeurs d’une variable aléatoire autour de sa moyenne, permettant d’évaluer la stabilité ou la fluctuation des résultats.

📅 Repères chronologiques

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📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre loi de probabilité et fonction de répartition : la loi donne la probabilité pour chaque valeur, la fonction de répartition donne la probabilité d’être en dessous d’un seuil.
2. Oublier que la somme des probabilités $P(X=x_i)$ doit être égale à 1.
3. Confondre variance et écart-type : la variance est la moyenne des carrés des écarts, l’écart-type est la racine carrée de la variance.
4. Négliger que la fonction de répartition est en escalier pour une variable discrète.
5. Confondre loi conjointe et marginale : la conjointe concerne deux variables, la marginale s’obtient par sommation.
6. Oublier que la loi conjointe doit satisfaire $\sum_{i,j} p_{i j} = 1$.
7. Confondre indépendance ( $p_{i j} = p_i p_j$ ) avec dépendance.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une variable aléatoire discrète et ses caractéristiques principales.
2. Savoir représenter la loi de probabilité sous forme de tableau ou diagramme en bâtons.
3. Maîtriser la formule de l’espérance mathématique $E(X) = \sum x_i p_i$.
4. Comprendre et calculer la variance $V(X) = E[(X - E(X))^2]$ et la formule équivalente $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
5. Savoir définir et utiliser la fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$, en précisant sa nature en escalier.
6. Connaître la loi de probabilité, ses propriétés et sa représentation graphique.
7. Savoir distinguer la loi conjointe, marginale, et leur relation.
8. Être capable de représenter une loi conjointe sous forme de tableau à double entrée.
9. Comprendre la notion d’indépendance entre deux variables et ses implications sur la loi conjointe.
10. Maîtriser la formule de la variance et l’interprétation de l’écart-type.
11. Savoir calculer la loi marginale à partir de la loi conjointe.
12. Connaître la définition et la formule de la variance et de l’espérance pour une variable discrète.