Fiche de révision : Introduction aux vecteurs dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées d’un vecteur
2. Norme d’un vecteur
3. Opérations sur vecteurs
4. Vecteurs égaux et colinéarité
5. Déterminant de vecteurs

📖 1. Coordonnées d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

Repère (O ; $\vec{i}$, $\vec{j}$) : Un repère dans le plan est défini par un point $O$ appelé origine, et deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ qui sont perpendiculaires et de norme 1, appelés vecteurs unitaires. (Source : concept de repère orthonormé)

Vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ : Ce sont des vecteurs de norme 1, perpendiculaires, qui définissent respectivement la direction horizontale et verticale dans le repère. (Source : définition de vecteurs unitaires)

Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur $\vec{u}$ dans un repère (O ; $\vec{i}$, $\vec{j}$) sont deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Ces coordonnées sont notées verticalement pour différencier du couple de coordonnées d’un point. (Source : définition de coordonnées d’un vecteur)

Couple de coordonnées (x ; y) : Représente le vecteur $\vec{u}$ par deux nombres réels, correspondant à ses projections sur $\vec{i}$ (abscisse) et $\vec{j}$ (ordonnée). (Source : concept de couple de coordonnées)

📝 Points essentiels

Tout vecteur $\vec{u}$ peut s’écrire sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels. Cela signifie que chaque vecteur est une combinaison linéaire des vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont données par $\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$. Autrement dit, pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées la différence de leurs abscisses et de leurs ordonnées.

Graphiquement, l’abscisse du vecteur correspond à son déplacement horizontal : positif vers la droite, négatif vers la gauche. L’ordonnée correspond à son déplacement vertical : positif vers le haut, négatif vers le bas.

💡 À retenir

Un vecteur dans un plan peut être représenté par ses coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormé, où x indique le déplacement horizontal et y le déplacement vertical.

📖 2. Norme d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est une mesure de sa longueur ou de sa magnitude. Elle indique à quel point le vecteur s’étend dans l’espace. La norme est toujours un nombre positif ou nul, et elle est nulle si et seulement si le vecteur est le vecteur nul.

Formule de la norme $\|\vec{u}\|$ : Dans un repère orthonormé, si $\vec{u} = (x; y)$, alors la norme est donnée par :
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Distance entre deux points : La distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans le plan est égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, c’est-à-dire :
$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Relation entre norme et distance : La norme d’un vecteur $\vec{u}$ correspond à la distance entre l’origine du vecteur et son point d’application. La norme mesure ainsi la longueur ou la magnitude du vecteur.

Repère orthonormé : Un repère dans lequel les axes sont perpendiculaires (orthogonaux) et de même unité de longueur (norme unitaire). Dans ce cadre, la formule de la norme d’un vecteur $\binom{x}{y}$ est simple et directe, sans nécessité de transformation supplémentaire.

📖 3. Opérations sur vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

Addition de vecteurs : La somme de deux vecteurs $\vec{u} = (x ; y)$ et $\vec{v} = (x' ; y')$ est donnée par $\vec{u} + \vec{v} = (x + x' ; y + y')$. Cela consiste à additionner leurs coordonnées respectives.

Opposé d’un vecteur : L’opposé de $\vec{u} = (x ; y)$ est $-\vec{u} = (-x ; -y)$. Il s’agit d’un vecteur qui, ajouté à $\vec{u}$, donne le vecteur nul.

Soustraction de vecteurs : La soustraction $\vec{u} - \vec{v}$ se réalise coordonnée par coordonnée : $\vec{u} - \vec{v} = (x - x' ; y - y')$. Elle correspond à l’ajout de $\vec{u}$ avec l’opposé de $\vec{v}$.

Multiplication par un scalaire : La multiplication d’un vecteur $\vec{u} = (x ; y)$ par un scalaire $k$ donne $k\vec{u} = (kx ; ky)$. Cela modifie la longueur du vecteur sans changer sa direction (sauf si $k$ est négatif).

📝 Points essentiels

La somme de deux vecteurs $\vec{u} = (x ; y)$ et $\vec{v} = (x' ; y')$ se calcule en additionnant leurs coordonnées respectives : $\vec{u} + \vec{v} = (x + x' ; y + y')$.

L’opposé d’un vecteur $\vec{u} = (x ; y)$ est $-\vec{u} = (-x ; -y)$, ce qui revient à inverser le signe de ses coordonnées.

La soustraction de deux vecteurs $\vec{u} = (x ; y)$ et $\vec{v} = (x' ; y')$ s’effectue en soustrayant leurs coordonnées : $\vec{u} - \vec{v} = (x - x' ; y - y')$.

Multiplier un vecteur $\vec{u} = (x ; y)$ par un scalaire $k$ donne $k\vec{u} = (kx ; ky)$, en modifiant la longueur proportionnellement à $k$.

💡 À retenir

Les opérations vectorielles se traduisent simplement par des opérations sur leurs coordonnées, ce qui facilite grandement les calculs algébriques.

📖 4. Vecteurs égaux et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

Vecteurs égaux : Deux vecteurs $\vec{u} = (x; y)$ et $\vec{v} = (x'; y')$ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques, c’est-à-dire si $x = x'$ et $y = y'$.

Condition d’égalité des vecteurs : La condition d’égalité est vérifiée lorsque chaque composante correspondante est égale, ce qui donne $x = x'$ et $y = y'$.

Colinéarité de deux vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u} = (x; y)$ et $\vec{v} = (x'; y')$ sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.

Proportionnalité des coordonnées : La colinéarité implique que $\frac{x}{x'} = \frac{y}{y'} = k$, avec $x'$ et $y'$ non nuls.

Condition de colinéarité via déterminant : La colinéarité est équivalente à la nullité du déterminant formé par leurs coordonnées : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$.

📝 Points essentiels

Deux vecteurs $\vec{u} = (x; y)$ et $\vec{v} = (x'; y')$ sont égaux si et seulement si $x = x'$ et $y = y'$.

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.

La colinéarité est également caractérisée par la nullité du déterminant : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$.

💡 À retenir

L’égalité de deux vecteurs s’exprime par une égalité stricte de leurs coordonnées, tandis que leur colinéarité se traduit par une proportionnalité ou par la nullité du déterminant.

📖 5. Déterminant de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

Déterminant de deux vecteurs :
Pour deux vecteurs $\vec{u} = (x ; y)$ et $\vec{v} = (x' ; y')$, le déterminant est défini par :
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$
Ce nombre permet d’analyser la relation géométrique entre ces vecteurs.

Formule du déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v})$ :
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$

Condition de parallélisme :
Deux droites (ou vecteurs) sont parallèles si et seulement si leur déterminant est nul :
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$

Condition d’alignement de points :
Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si :
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$

Lien entre déterminant et géométrie :
Le déterminant permet de détecter la colinéarité, le parallélisme et l’alignement dans le plan vectoriel en vérifiant si ce dernier est nul ou non.

📝 Points essentiels

• Le déterminant de $\vec{u} = (x ; y)$ et $\vec{v} = (x' ; y')$ est $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, c’est-à-dire si $xy' - x'y = 0$.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.
• Trois points $A, B, C$ sont alignés si $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$.

💡 À retenir

Le déterminant est un outil essentiel pour détecter la colinéarité, le parallélisme et l’alignement dans le plan vectoriel, en vérifiant si ce dernier est nul.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre coordonnées d’un vecteur et couple de coordonnées d’un point.
2. Oublier que la norme est toujours positive ou nulle, et qu’elle est nulle uniquement pour le vecteur nul.
3. Confondre addition de vecteurs avec multiplication par un scalaire.
4. Croire que deux vecteurs sont colinéaires uniquement si leurs coordonnées sont identiques.
5. Utiliser la formule de la norme sans vérifier que le repère est orthonormé.
6. Confondre égalité de vecteurs et colinéarité.
7. Omettre que le déterminant est un outil pour vérifier la colinéarité, le parallélisme ou l’alignement.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un repère orthonormé et la représentation d’un vecteur par ses coordonnées (source : concept de repère orthonormé).
2. Savoir calculer les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$.
3. Maîtriser la formule de la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
4. Savoir calculer la distance entre deux points en utilisant la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
5. Effectuer l’addition, la soustraction, l’opposé et la multiplication par un scalaire de vecteurs en utilisant leurs coordonnées.
6. Connaître la condition d’égalité entre deux vecteurs : mêmes coordonnées.
7. Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires via leur proportionnalité ou le déterminant nul.
8. Calculer le déterminant de deux vecteurs : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$.
9. Utiliser le déterminant pour vérifier le parallélisme ou l’alignement de points ou droites.
10. Comprendre que le déterminant nul indique une relation géométrique spécifique (colinéarité, parallélisme, alignement).
11. Maîtriser la différence entre vecteurs égaux et colinéaires.
12. Être capable d’interpréter graphiquement les déplacements horizontaux et verticaux à partir des coordonnées.