Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Emboîtement des ensembles numériques
2. Propriétés des ensembles numériques
3. Classer un nombre dans les ensembles
4. Exemples et pièges de classement

📖 1. Emboîtement des ensembles numériques

📝 Points essentiels

• L’inclusion des ensembles numériques s’écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

📖 2. Propriétés des ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les entiers positifs, dont 0, 1, 2 et 3.
• Nombres rationnels : Les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fraction, comme ½, −3/4 ou 0,25.
• Ensembles de nombres : Catégories qui regroupent les nombres selon leurs propriétés.
• Entiers relatifs : Les entiers négatifs, 0 et les entiers positifs.
• Nombres réels : Les nombres rationnels et les nombres irrationnels, comme π et √2.
• Nombres irrationnels : Comme π et √2, ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction.

★ À maîtriser

• Chaque ensemble contient le précédent et lui ajoute de nouveaux nombres : ℕ regroupe d’abord les entiers positifs, ℤ ajoute les négatifs, ℚ les nombres écrits en fractions et ℝ les nombres irrationnels.

Compléments

📌 Un nombre peut appartenir simultanément à plusieurs ensembles emboîtés, par exemple 3 appartient à ℕ, ℤ, ℚ et ℝ.

💡 Astuce mémo

Naturels, négatifs, fractions, irrationnels : la droite s’élargit à chaque étape.

📖 3. Classer un nombre dans les ensembles

📝 Points essentiels

• Pour déterminer les ensembles auxquels appartient un nombre, on vérifie successivement s’il est entier, son signe s’il est entier, puis s’il peut s’écrire en fraction s’il n’est pas entier.

📖 4. Exemples et pièges de classement

★ À maîtriser

• En France, 0 appartient à ℕ.

📌 π et √2 sont irrationnels parce qu’ils ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction ; ils appartiennent à ℝ et non à ℚ.

Compléments

• −5 est un entier négatif, donc −5 appartient à ℤ, ℚ et ℝ, mais pas à ℕ.

• −5 s’écrit sous forme de fraction comme −5/1 et appartient donc à ℚ.

• √2 est irrationnel et appartient à ℝ seulement ; son écriture décimale est approximativement 1,414… et il ne peut pas s’écrire en fraction.

💡 Astuce mémo

−5 se fractionne et entre dans ℚ ; √2 ne se fractionne pas et reste irrationnel dans ℝ.