QCM : Les ensembles de nombres (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour classer un nombre naturel dans les ensembles numériques emboîtés, quelle chaîne d’inclusions s’applique ?

N⊂Q⊂Z⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}
Z⊂N⊂Q⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les rationnels puis dans les réels. Inverser l’inclusion, permuter les entiers et les rationnels ou placer les réels avant les rationnels déforme cet emboîtement.

2. Une collection contient d’abord les entiers positifs, puis accueille les entiers négatifs, les nombres écrits en fractions et enfin les irrationnels. Quel ensemble correspond à cette dernière étape ?

L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}
L’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}
L’ensemble des nombres naturels N\mathbb{N}

L’ensemble des nombres réels $$\mathbb{R}$$

Explication

Les réels comprennent les nombres des ensembles précédents ainsi que les irrationnels. Les rationnels correspondent aux nombres exprimables en fractions, les relatifs ajoutent les négatifs aux naturels, et les naturels sont les entiers positifs.

3. Dans un classement où 00 est inclus parmi les entiers positifs, dans quel ensemble place-t-on 00 ?

Dans les nombres naturels N\mathbb{N}
Dans les rationnels non entiers Q\mathbb{Q}
Dans les entiers relatifs Z\mathbb{Z}, mais pas dans N\mathbb{N}
Dans les réels irrationnels R\mathbb{R}

Dans les nombres naturels $$\mathbb{N}$$

Explication

Les naturels comprennent 0,1,2,3,…0, 1, 2, 3, \ldots. Exclure zéro des naturels est une confusion fréquente; le classer comme non entier ou irrationnel ne correspond pas à sa nature d’entier.

4. Un nombre peut s’écrire sous la forme ab\frac{a}{b}, où aa et bb sont des entiers et b≠0b \ne 0. À quelle catégorie appartient-il nécessairement ?

Aux nombres naturels N\mathbb{N}
Aux nombres irrationnels de R\mathbb{R}
Aux nombres rationnels Q\mathbb{Q}
Aux entiers relatifs Z\mathbb{Z}

Aux nombres rationnels $$\mathbb{Q}$$

Explication

Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent s’écrire sous forme de fraction, y compris avec un numérateur négatif ou une valeur non entière. Les irrationnels ne s’écrivent pas ainsi, tandis que les naturels et les entiers relatifs ne couvrent pas toutes les fractions.

5. Pour classer le nombre −73-\frac{7}{3}, quelle démarche permet de déterminer correctement ses ensembles d’appartenance ?

Vérifier d’abord son signe, puis le classer parmi les entiers ou les naturels
Vérifier d’abord s’il est entier, puis son signe s’il l’est, et sinon s’il s’écrit en fraction
Le classer directement parmi les irrationnels parce qu’il n’est pas entier
Vérifier s’il est entier, puis s’arrêter sans examiner son écriture en fraction

Vérifier d’abord s’il est entier, puis son signe s’il l’est, et sinon s’il s’écrit en fraction

Explication

La démarche consiste à vérifier d’abord si le nombre est entier; s’il ne l’est pas, on examine s’il peut s’écrire en fraction. Classer d’abord selon le signe confond le signe avec le critère d’intégralité, et considérer tout nombre non entier comme irrationnel oublie les rationnels non entiers.

6. Dans un exercice qui adopte la convention française pour les entiers naturels, comment faut-il classer le nombre 00 ?

Comme un élément de Z\mathbb{Z}, mais pas de N\mathbb{N}
Comme un élément de N\mathbb{N}
Comme un élément de R\mathbb{R}, mais pas de Q\mathbb{Q}
Comme un élément de Q\mathbb{Q}, mais pas de Z\mathbb{Z}

Comme un élément de $$\mathbb{N}$$

Explication

Avec la convention française indiquée, zéro appartient aux naturels. L’exclure de N\mathbb{N} reprend une autre convention, le classer parmi les négatifs confond son signe, et le traiter comme non entier ignore qu’il est entier.

7. Un élève affirme que 5\sqrt{5} appartient à Q\mathbb{Q} parce qu’il possède une écriture décimale. Quel classement corrige son erreur ?

5\sqrt{5} n’est ni rationnel ni réel, car son écriture décimale est infinie
5\sqrt{5} est rationnel : toute écriture décimale peut être mise en fraction
5\sqrt{5} est irrationnel : il appartient à R\mathbb{R}, mais pas à Q\mathbb{Q}
5\sqrt{5} est entier relatif : sa racine carrée donne un entier

$$\sqrt{5}$$ est irrationnel : il appartient à $$\mathbb{R}$$, mais pas à $$\mathbb{Q}$$

Explication

Un nombre irrationnel comme 5\sqrt{5} ne peut pas s’écrire sous forme de fraction : il appartient à R\mathbb{R}, mais pas à Q\mathbb{Q}. Une approximation décimale n’est pas une fraction exacte, une racine carrée ne donne pas nécessairement un entier, et les irrationnels restent des réels.

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Comment s’écrit l’inclusion des ensembles numériques de ℕ à ℝ ?

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Quels nombres l’ensemble ℤ ajoute-t-il à ℕ ?

Les entiers négatifs.

Quels nombres appartiennent à l’ensemble des naturels ℕ ?

Les entiers positifs, dont 0, 1, 2 et 3.

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