Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Les entiers naturels
2. Les entiers relatifs
3. Les nombres décimaux
4. Les nombres rationnels
5. Les nombres réels
6. Les nombres complexes
7. L’inclusion des ensembles

📖 1. Les entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, notamment 0, 1, 2, 3, 4 et 5, et dont l’ensemble se note N.

📖 2. Les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Formés des entiers positifs et des entiers négatifs, comme -5, -200 et -14, et dont l’ensemble se note Z.

💡 Astuce mémo

Naturels positifs ou nuls, relatifs positifs ou négatifs

📖 3. Les nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres dont l’écriture décimale s’arrête, comme 1,5, et dont l’ensemble se note D.

💡 Astuce mémo

Un entier découpé en parts finies après la virgule

📖 4. Les nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient $\frac{A}{B}$ de deux nombres entiers relatifs, avec un dénominateur non nul, et dont l’ensemble se note Q.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\frac{1}{3}$ est rationnel, car il s’écrit comme le quotient de deux entiers et possède une écriture décimale infinie composée de 3 répétés.

💡 Astuce mémo

Q comme quotient

📖 5. Les nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels, comme $\sqrt{2}$, et dont l’ensemble se note R.
• Nombres algébriques : Nombres réels qui sont solutions d’une équation polynomiale à coefficients entiers, comme $\sqrt{2}$, solution de $x^2=2$.
• Nombres transcendants : Nombres qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers, comme $\pi$.

📝 Points essentiels

📌 Un nombre irrationnel possède une écriture décimale infinie non périodique, tandis qu’un nombre rationnel possède une écriture décimale finie ou infinie périodique.

💡 Astuce mémo

Rationnels à décimales périodiques, irrationnels à décimales non périodiques

📖 6. Les nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité imaginaire : L’unité imaginaire i est une solution complexe de l’équation $x^2=-1$, qui n’a pas de solution dans les nombres réels.
• Nombres complexes : Nombres de la forme $A+iB$, où A et B sont des nombres réels, et dont l’ensemble se note C.

💡 Astuce mémo

Réels puis i, avec A + iB

📖 7. L’inclusion des ensembles

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Compléments

• Le nombre 1 appartient simultanément à N, Z, D, Q, R et C, car il peut s’écrire comme 1,0 et comme le quotient $\frac{1}{1}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres