Fiche de révision : Les ensembles numériques et leur hiérarchie

📋 Plan du Cours

1. Nombres naturels ℕ
2. Nombres entiers ℤ
3. Nombres rationnels ℚ
4. Nombres décimaux D
5. Nombres réels ℝ
6. Nombres complexes ℂ
7. Inclusion des ensembles
8. Définition de ℝ
9. Propriétés de ℝ
10. Champ et ordre total
11. Valeur absolue |x|
12. Bornes et extrema

📖 1. Nombres naturels ℕ

🔑 Notions clés & Définitions

• ℕ (ensemble des nombres naturels) : Ensemble des nombres entiers non négatifs, défini comme {0, 1, 2, 3, ...}.
• ℤ (ensemble des nombres entiers) : Ensemble des nombres entiers, incluant les négatifs, défini comme {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Inclusion ⊂ et ⊆ :
  • ⊂ (inclusion stricte) : A ⊂ B signifie que A est un sous-ensemble de B, mais A ≠ B.
  • ⊆ (inclusion large) : A ⊆ B signifie que A est un sous-ensemble de B ou égal à B.

📝 Points essentiels

• ℕ est un sous-ensemble de ℤ : tous les naturels sont aussi des entiers, mais pas l'inverse.
• La différence entre ⊂ et ⊆ est fondamentale :
  • ⊂ implique une inclusion stricte, c’est-à-dire que A est contenu dans B mais A ≠ B.
  • ⊆ permet l’égalité, A peut être égal à B.
• Exemples :
  • 0 ∈ ℕ, 1 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ.
  • -1 ∈ ℤ, mais -1 ∉ ℕ.
  • ℕ ⊂ ℤ, mais ℕ ⊆ ℤ (l'inclusion est stricte).

💡 À retenir

Les nombres naturels ℕ sont un sous-ensemble de ℤ, avec une inclusion stricte (⊂), et ils représentent les nombres utilisés pour compter, débutant à 0. La distinction entre ⊂ et ⊆ est essentielle pour comprendre la hiérarchie des ensembles numériques.

📖 2. Nombres entiers ℤ

🔑 Notions clés & Définitions

• ℤ (ensembles des nombres entiers) : Ensemble comprenant tous les entiers positifs, négatifs et zéro, c’est-à-dire {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

• ℚ (ensembles des nombres rationnels) : Ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme p/q avec p, q ∈ ℤ et q > 0. (source : définition de ℚ).

• Propriété de densité de ℚ dans ℝ : ℚ est dense dans ℝ, ce qui signifie que pour tout réel x et tout ε > 0, il existe un rationnel y ∈ ℚ tel que |x - y| < ε. Autrement dit, entre deux réels, il y a toujours un rationnel.

• Inclusion des ensembles : La relation d’inclusion stricte ⊂ s’applique ainsi : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, ce qui indique que chaque ensemble est un sous-ensemble strict du suivant.

• Exemples de rationnels : Par exemple, 1/2, -3/4, 5, 0, -7/3 sont des rationnels.

• Densité de ℚ dans ℝ (mention brève) : La densité de ℚ dans ℝ implique que tout nombre réel peut être approché arbitrairement près par une suite de rationnels, ce qui est une propriété fondamentale pour l’analyse.

📝 Points essentiels

• La construction de ℤ s’inscrit dans l’histoire des nombres, permettant d’introduire la notion d’entiers négatifs en complément de ℕ.
• La définition de ℚ repose sur la représentation fractionnaire, avec p, q ∈ ℤ et q > 0.
• La propriété de densité de ℚ dans ℝ a été démontrée dès l’Antiquité, et elle est essentielle pour comprendre la complétude de ℝ.
• La relation d’inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ montre la progression des ensembles, chaque étape permettant d’élargir la classe des nombres considérés.
• La densité de ℚ dans ℝ signifie qu’il n’existe pas de nombre réel isolé de rationnels, ce qui justifie l’utilisation des rationnels pour approcher tout réel.

💡 À retenir

Les nombres entiers ℤ sont un sous-ensemble de ℚ, et la densité de ℚ dans ℝ permet d’approcher tout réel par des rationnels, ce qui est fondamental pour l’analyse et la construction des nombres réels.

📖 3. Nombres rationnels ℚ

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble ℚ : L'ensemble des nombres rationnels défini par ℚ = {p/q | (p, q) ∈ ℤ, q > 0}.
  (Source : contenu fourni)

• Inclusion : On a l'inclusion stricte ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, ce qui signifie que tous les nombres naturels sont aussi rationnels, mais que ℚ contient également des nombres non entiers.
  (Source : contenu fourni)

• Approximation décimale : La représentation d’un nombre rationnel par une expansion décimale, notamment par des éléments de D, l’ensemble des nombres décimaux D = {p/10^k | p ∈ ℤ, k ∈ ℕ}.
  (Source : contenu fourni)

• Densité de ℚ dans ℝ : La propriété que pour tout réel x, il existe une suite de rationnels qui converge vers x, ce qui signifie que ℚ est dense dans ℝ.
  (Source : contenu fourni)

• Ensemble D : L’ensemble des nombres décimaux D = {p/10^k | p ∈ ℤ, k ∈ ℕ}, qui sert d’approximation décimale des réels par éléments de D, et est inclus dans ℚ.
  (Source : contenu fourni)

📝 Points essentiels

• ℚ est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme p/q avec p, q ∈ ℤ et q > 0. Il est inclus dans D, l’ensemble des nombres décimaux, qui eux-mêmes sont inclus dans ℚ, car tout nombre décimal peut s’écrire sous forme rationnelle.
  (Source : contenu fourni)

• La densité de ℚ dans ℝ implique que pour tout x ∈ ℝ et tout ε > 0, il existe un rationnel y tel que |x - y| < ε. Cela montre que ℚ est « partout » dans ℝ, même si ℚ n’est pas complet (il n’a pas de limite pour toutes ses suites convergentes dans ℝ).
  (Source : contenu fourni)

• La représentation décimale (éléments de D) permet d’approximer tout réel par des rationnels, ce qui est essentiel pour la construction et l’étude des nombres réels.
  (Source : contenu fourni)

• La propriété que ℚ est dense dans ℝ est fondamentale en analyse, notamment pour définir la continuité, la limite, et pour l’approximation des nombres réels par rationnels.
  (Source : contenu fourni)

💡 À retenir

Les nombres rationnels ℚ, définis par p/q avec p, q ∈ ℤ et q > 0, sont denses dans ℝ, ce qui signifie qu’ils peuvent approcher n’importe quel réel aussi précisément que souhaité, même s’ils ne forment pas un ensemble complet.

📖 4. Nombres décimaux D

🔑 Notions clés & Définitions

• ℝ (ensemble des nombres réels) : DÉFINITION (source) : ensemble de tous les nombres qui peuvent être représentés par une suite de décimales infinies ou finies, incluant des nombres non rationnels comme √2, π, log2. La construction historique de ℝ a été longue, nécessitant 2000 ans pour définir précisément cet ensemble, notamment pour intégrer des nombres comme √2 qui ne sont pas rationnels.
• Problème historique de la définition de ℝ : La difficulté résidait dans la formalisation d’un ensemble contenant à la fois des rationnels et des nombres non rationnels, tout en étant un corps totalement ordonné et complet (voir théorème du XIXe siècle).
• Exemples de nombres réels non rationnels : √2, π, log2. Ces nombres ne peuvent pas s’écrire comme une fraction p/q avec p, q ∈ ℤ, q > 0, mais appartiennent à ℝ.
• Densité de ℝ \ ℚ dans ℝ : DÉFINITION (source) : propriété selon laquelle entre deux nombres réels quelconques, il existe toujours un nombre irrationnel (non rationnel). En particulier, ℝ \ ℚ est dense dans ℝ, ce qui signifie que pour tout x ∈ ℝ et tout ε > 0, il existe y ∈ ℝ \ ℚ tel que |x - y| < ε.

📝 Points essentiels

• Construction de ℝ : La définition moderne de ℝ, établie au XIXe siècle, affirme que ℝ est un corps totalement ordonné satisfaisant la propriété du supremum, ce qui garantit sa complétude. La propriété du supremum (ou complétude) indique que tout sous-ensemble non vide de ℝ borné supérieur possède un supremum dans ℝ.
• Exemples de nombres non rationnels : √2, π, log2. Ces nombres illustrent la nécessité d’étendre ℚ pour obtenir ℝ.
• Densité de ℚ dans ℝ : ℚ est dense dans ℝ, mais ℝ \ ℚ (les irrationnels) sont également denses dans ℝ, ce qui signifie qu’entre deux réels, il y a toujours un irrationnel.
• Propriété de densité de ℝ \ ℚ : Pour tout x ∈ ℝ et ε > 0, il existe y ∈ ℝ \ ℚ tel que |x - y| < ε. Cela montre que les irrationnels sont "partout" dans ℝ, tout comme les rationnels.

💡 À retenir

La construction de ℝ a été un enjeu historique majeur, permettant d’intégrer des nombres non rationnels et d’assurer la complétude de l’ensemble, ce qui est fondamental pour l’analyse moderne. La densité des irrationnels dans ℝ garantit que ℝ est "plein" en nombres, qu’ils soient rationnels ou non.

📖 5. Nombres réels ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème du XIXe siècle : Il existe un ensemble unique, ℝ, qui est un corps totalement ordonné satisfaisant la propriété du supremum.
  (source)
  Ce théorème établit que ℝ possède une structure algébrique (champ) et un ordre total compatible, avec la propriété que tout sous-ensemble non vide et borné supérieur possède un supremum.

• Définition d’un corps (champ) : Un ensemble muni de deux opérations + et × vérifiant l’associativité, la commutativité, l’existence d’éléments neutres (0 et 1), et d’inverses pour chaque élément non nul.
  (source)
  Exemple : ℝ est un corps, ce qui signifie que pour tout a, b, c dans ℝ, on a :
  (a + b) + c = a + (b + c), a + 0 = a, ∃b tel que a + b = 0, a + b = b + a, etc., et de même pour ×.

• Définition d’un ordre total sur ℝ : Une relation « ≤ » qui vérifie la réflexivité (a ≤ a), l’antisymétrie (si a ≤ b et b ≤ a alors a = b), la transitivité (si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c), et la connexité (pour tous a, b, ou a ≤ b ou b ≤ a).
  (source)
  Cet ordre est compatible avec les opérations + et ×, c’est-à-dire qu’il respecte la structure du corps.

📝 Points essentiels

• La structure de ℝ repose sur le théorème du XIXe siècle, qui garantit l’unicité de cet ensemble en tant que corps totalement ordonné satisfaisant la propriété du supremum.
• ℝ est un corps : il possède deux opérations + et ×, vérifiant toutes les propriétés classiques (associativité, commutativité, éléments neutres 0 et 1, inverses).
• L’ordre total sur ℝ est une relation « ≤ » qui est réflexive, antisymétrique, transitive, et connexes, permettant de comparer tout couple de nombres.
• La propriété du supremum : tout sous-ensemble non vide et borné supérieur de ℝ possède un plus petit majorant (supremum), ce qui caractérise la complétude de ℝ.

💡 À retenir

ℝ est l’unique corps totalement ordonné, complet par la propriété du supremum, ce qui en fait un espace fondamental en analyse et en géométrie.

📖 6. Nombres complexes ℂ

🔑 Notions clés & Définitions

• ℂ (ensemble des nombres complexes) : ensemble constitué des nombres de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels, et i est l’unité imaginaire vérifiant i² = -1.
  Source : « ℂ = {a + bi | a, b ∈ ℝ, i² = -1} »

• Inclusion ℝ ⊂ ℂ : l’ensemble des nombres réels est un sous-ensemble de ℂ, correspondant aux nombres complexes où la partie imaginaire est nulle (b = 0).
  Source : « Inclusion ℝ ⊂ ℂ »

• Exemples de nombres complexes : 3 + 2i, -1 - i, 0 + 0i (zéro complexe), 5 (réel considéré comme complexe avec partie imaginaire nulle).

📝 Points essentiels

• L’ensemble ℂ est une extension de ℝ permettant d’étendre les opérations arithmétiques (addition, multiplication) à des nombres dont la partie imaginaire est non nulle.
• La définition de ℂ repose sur la présence de l’unité imaginaire i, vérifiant i² = -1, ce qui permet de résoudre des équations polynomiales comme x² + 1 = 0, non résolues dans ℝ.
• La relation d’inclusion ℝ ⊂ ℂ montre que tout nombre réel peut être considéré comme un nombre complexe avec partie imaginaire nulle.
• La structure de ℂ permet d’établir des propriétés algébriques similaires à celles des corps, tout en étant un espace vectoriel sur ℝ.

💡 À retenir

L’ensemble ℂ, formé de nombres de la forme a + bi avec a, b ∈ ℝ et i² = -1, étend le corps ℝ pour permettre la résolution d’équations polynomiales, tout en conservant une structure algébrique cohérente et une inclusion naturelle de ℝ.

📖 7. Inclusion des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion stricte (⊂) : Un ensemble A est inclus strictement dans un ensemble B, noté A ⊂ B, si A est un sous-ensemble de B et si A ≠ B. Cela signifie que A est contenu dans B mais qu'il existe au moins un élément de B qui n'appartient pas à A.
• Inclusion large (⊆) : Un ensemble A est inclus dans B, noté A ⊆ B, si tous les éléments de A sont aussi dans B. A peut être égal à B ou strictement contenu dans B.
• Ensembles imbriqués : La chaîne d'inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ D ⊂ ℝ ⊂ ℂ montre la hiérarchie des ensembles, où chaque ensemble est un sous-ensemble strict ou égal du suivant.
• Conséquences des inclusions : La propriété d'inclusion influence directement les propriétés des ensembles, notamment leur densité, leur complétude ou leur structure algébrique, comme le montre la hiérarchie des nombres (voir section 3, 4, 5, 6).
• Différence entre inclusion stricte et large : La différence réside dans le fait que ⊂ implique une inclusion propre (A ≠ B), alors que ⊆ peut inclure l'égalité (A = B).

📝 Points essentiels

• La hiérarchie ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ D ⊂ ℝ ⊂ ℂ reflète l'évolution de la complexité et des propriétés des ensembles numériques.
• L'inclusion stricte (⊂) indique que chaque ensemble est un sous-ensemble propre du suivant, ce qui a des implications sur la densité, la complétude ou la structure algébrique. Par exemple, ℚ est dense dans ℝ, mais ℚ n'est pas complet, contrairement à ℝ (voir section 4 et 5).
• La propriété d'inclusion permet de déduire des propriétés transversales : par exemple, si ℕ ⊂ ℤ, alors tout nombre naturel est un entier, mais pas l'inverse.
• La compréhension de ces inclusions est essentielle pour saisir la progression des ensembles et leur rôle dans la construction des nombres réels et complexes, ainsi que leurs propriétés (voir aussi la propriété du supremum en ℝ).
• La différence entre inclusion stricte et large est fondamentale pour comprendre la hiérarchie et la structure des ensembles numériques, notamment dans la définition de ℝ comme corps totalement ordonné (voir section 8).

💡 À retenir

L'inclusion des ensembles ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ D ⊂ ℝ ⊂ ℂ illustre la progression de la complexité et des propriétés des nombres, où chaque étape introduit de nouvelles caractéristiques essentielles à la construction des nombres réels et complexes. La distinction entre inclusion stricte et large est fondamentale pour comprendre cette hiérarchie.

📖 8. Définition de ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps totalement ordonné : XIXe siècle : Théorème stipulant que ℝ est un corps (ensemble muni de deux opérations + et × vérifiant les propriétés d'associativité, de commutativité, d'existence d'éléments neutres et d'inverses) doté d’un ordre total (relation ≤) compatible avec ces opérations, satisfaisant la propriété du supremum (voir propriété du supremum).
• Propriété du supremum : Tout sous-ensemble non vide de ℝ borné supérieur possède un supremum (c’est-à-dire un plus petit majorant).
• Lien avec la complétude : La complétude de ℝ (voir section 9) est assurée par cette propriété du supremum, qui garantit que ℝ ne possède pas de "trous" ou de "lacunes" dans sa structure ordonnée.

📝 Points essentiels

• La définition de ℝ comme corps totalement ordonné satisfaisant la propriété du supremum a été formalisée au XIXe siècle pour distinguer ℝ des autres ensembles numériques, notamment ℚ.
• La structure de ℝ repose sur deux opérations (+, ×) qui vérifient les propriétés d’associativité, de commutativité, d’existence d’éléments neutres (0 et 1) et d’inverses, ainsi qu’un ordre total (relation ≤) qui est réflexif, antisymétrique, transitif et connexe (pour tout a, b, c : a ≤ b ou b ≤ a).
• La propriété du supremum est essentielle pour définir la complétude de ℝ, garantissant que tout ensemble borné supérieur possède un plus petit majorant unique, ce qui distingue ℝ des ensembles comme ℚ, qui ne sont pas complets.
• Cette définition a permis de formaliser la notion de limite, la densité des rationnels dans ℝ, et la construction rigoureuse des nombres réels à partir de suites ou d’ensembles.

💡 À retenir

ℝ est le seul ensemble qui, en tant que corps totalement ordonné, satisfait la propriété du supremum, assurant ainsi sa complétude et sa structure cohérente pour l’analyse mathématique.

📖 9. Propriétés de ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété du supremum : ℝ (date indéterminée) : tout sous-ensemble non vide de ℝ borné supérieur possède un supremum (ou borne supérieure).
• Borne supérieure (sup) : ℝ (date indéterminée) : le plus petit élément de ℝ qui est supérieur ou égal à tous les éléments d’un sous-ensemble non vide et borné supérieur.
• Borne inférieure (inf) : ℝ (date indéterminée) : le plus grand élément de ℝ qui est inférieur ou égal à tous les éléments d’un sous-ensemble non vide et borné inférieur.
• Maximum d’un ensemble : ℝ (date indéterminée) : un élément de l’ensemble qui est aussi une borne supérieure.
• Minimum d’un ensemble : ℝ (date indéterminée) : un élément de l’ensemble qui est aussi une borne inférieure.
• Unicité du supremum et de l’infimum : ℝ (date indéterminée) : si un supremum ou un infimum existe, il est unique.

📝 Points essentiels

• La propriété du supremum est fondamentale pour la complétude de ℝ, assurant que tout ensemble non vide, borné supérieur, possède un supremum (voir aussi la propriété de complétude dans la définition de ℝ).
• La borne supérieure sup(A) d’un ensemble A est le plus petit élément de ℝ tel que pour tout x dans A, x ≤ sup(A).
• La borne inférieure inf(A) est le plus grand élément de ℝ tel que pour tout x dans A, x ≥ inf(A).
• Si A possède un maximum (resp. minimum), alors max(A) (resp. min(A)) est aussi sa borne supérieure (resp. borne inférieure), et est unique.
• La unicité du supremum et de l’infimum est assurée par leur définition comme plus petit ou plus grand élément respectivement.
• La propriété du supremum garantit que tout sous-ensemble non vide de ℝ, borné supérieur, a un supremum dans ℝ, ce qui est une caractéristique essentielle de la complétude de ℝ (voir section 5).

💡 À retenir

La propriété du supremum affirme que ℝ est complète, c’est-à-dire que tout sous-ensemble non vide et borné supérieur possède un supremum unique, ce qui distingue ℝ des ensembles comme ℚ.

📖 10. Champ et ordre total

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps (champ) : Ensemble muni de deux opérations + et × vérifiant l’associativité, la commutativité, l’existence d’éléments neutres (0 pour +, 1 pour ×) et d’inverses pour chaque élément non nul, conformément à AUTEUR (date).
• Ordre total : Relation binaire « ≤ » sur un ensemble, vérifiant la réflexivité (a ≤ a), l’antisymétrie (si a ≤ b et b ≤ a alors a = b), la transitivité (si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c), et la connexité (pour tout a, b, soit a ≤ b, soit b ≤ a), compatible avec les opérations du corps, conformément à AUTEUR (date).
• Propriétés de l’ordre total sur ℝ : La relation « ≤ » est compatible avec l’addition et la multiplication positive, c’est-à-dire :
  • Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c
  • Si 0 ≤ c alors ac ≤ bc

📝 Points essentiels

• Définition d’un corps (champ) : Un ensemble doté de deux opérations + et ×, vérifiant l’associativité, la commutativité, l’existence d’éléments neutres (0 et 1), et d’inverses pour chaque élément non nul, comme précisé par AUTEUR (date).
• Définition d’un ordre total : Relation « ≤ » sur ℝ ou tout ensemble, qui est totale, réflexive, antisymétrique, transitive, et compatible avec les opérations du corps, notamment la propriété que « si a ≤ b alors a + c ≤ b + c » et « si 0 ≤ c alors ac ≤ bc » (AUTEUR, date).
• Propriétés de l’ordre sur ℝ :
  • La relation est réflexive : ∀a, a ≤ a
  • La relation est antisymétrique : ∀a, b, si a ≤ b et b ≤ a alors a = b
  • La transitivité : ∀a, b, c, si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c
  • La connexité : ∀a, b, soit a ≤ b, soit b ≤ a
  • La compatibilité avec l’addition : ∀a, b, c, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
  • La compatibilité avec la multiplication par un scalaire positif : ∀a, b, c, si 0 ≤ c alors ac ≤ bc

💡 À retenir

Un corps est un ensemble avec deux opérations vérifiant associativité, commutativité, éléments neutres et inverses, et un ordre total compatible avec ces opérations, permettant de structurer l’ensemble comme un espace ordonné cohérent, notamment ℝ.

📖 11. Valeur absolue |x|

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue |x| : La valeur absolue d’un nombre réel x est sa distance à zéro sur la droite réelle, c’est-à-dire |x| = x si x ≥ 0, et |x| = -x si x < 0.
• Propriété de positivité : Pour tout x ∈ ℝ, |x| ≥ 0, et |x| = 0 si et seulement si x = 0.
• Propriété multiplicative : Pour tous x, y ∈ ℝ, |xy| = |x| |y|, ce qui montre que la valeur absolue est compatible avec la multiplication.
• Propriété de symétrie : Pour tout x ∈ ℝ, |−x| = |x|, ce qui reflète la symétrie par rapport à zéro.
• Inégalité triangulaire : Pour tous x, y ∈ ℝ, |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|, ce qui interprète |x − y| comme une distance, vérifiant la propriété de la distance dans l’espace ℝ.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue |x| est une mesure de la distance entre x et 0 sur la droite réelle, d’où son interprétation géométrique.
• La propriété |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| (inégalité triangulaire) est fondamentale pour comprendre la valeur absolue comme distance, assurant la cohérence de cette notion dans ℝ.
• La multiplicativité (|xy| = |x| |y|) permet de manipuler facilement la valeur absolue dans les opérations algébriques, notamment pour établir des bornes ou des inégalités.
• La propriété |x| = 0 ⇔ x = 0 garantit que la valeur absolue est une norme, une mesure de la taille ou de la distance d’un nombre par rapport à zéro.

💡 À retenir

La valeur absolue |x| représente la distance de x à zéro sur la droite réelle, et possède des propriétés fondamentales qui en font une norme essentielle en analyse, notamment la positivité, la symétrie, la multiplicativité et l’inégalité triangulaire.

📖 12. Bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure (ou supremum) : AUTEUR (date) : le plus petit des bornes supérieures d’un ensemble A ⊂ ℝ. Formulé : si M est une borne supérieure de A, alors ∀x ∈ A, x ≤ M, et pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x > M - ε. Le supremum est noté sup(A) et est l’infimum de l’ensemble des bornes supérieures de A.

• Borne inférieure (ou infimum) : AUTEUR (date) : le plus grand des bornes inférieures d’un ensemble A ⊂ ℝ. Formulé : si m est une borne inférieure de A, alors ∀x ∈ A, x ≥ m, et pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x < m + ε. L’infimum est noté inf(A) et est le supremum de l’ensemble des bornes inférieures de A.

• Maximum : AUTEUR (date) : élément m ∈ A qui est une borne supérieure de A, c’est-à-dire que m ≥ x pour tout x ∈ A, et m ∈ A. Le maximum est donc le plus grand élément de l’ensemble.

• Minimum : AUTEUR (date) : élément m ∈ A qui est une borne inférieure de A, c’est-à-dire que m ≤ x pour tout x ∈ A, et m ∈ A. Le minimum est le plus petit élément de l’ensemble.

• Propriété de bornes et extrema : Tout sous-ensemble non vide de ℝ borné supérieur (resp. inférieur) possède un supremum (resp. infimum) dans ℝ. Si cet extremum appartient à l’ensemble, il s’agit du maximum (resp. minimum). La propriété du supremum (voir section 9) garantit l’existence et l’unicité du supremum pour tout ensemble non vide borné supérieur.

📝 Points essentiels

• La définition de sup(A) est : sup(A) = min{x ∈ ℝ | ∀x' ∈ A, x' ≤ x}. Elle indique que le supremum est le plus petit des bornes supérieures, ce qui garantit sa minimalité.

• La propriété du supremum affirme que tout sous-ensemble non vide de ℝ, si borné supérieur, possède un supremum dans ℝ. De même, tout ensemble non vide borné inférieur possède un infimum.

• Si sup(A) ∈ A, alors sup(A) est aussi le maximum de A. De même, si inf(A) ∈ A, alors c’est le minimum.

• La propriété d’existence du maximum ou minimum est essentielle pour analyser les extrema locaux ou globaux d’une fonction ou d’un ensemble.

• La preuve de l’existence du supremum repose sur la propriété du supremum (voir section 9), qui s’appuie sur la complétude de ℝ.

💡 À retenir

Le supremum (borne supérieure) et l’infimum (borne inférieure) sont des notions fondamentales pour caractériser la borne d’un ensemble dans ℝ. Si ces bornes appartiennent à l’ensemble, elles deviennent respectivement le maximum ou le minimum, assurant ainsi l’existence d’un extremum.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre ⊂ (inclusion stricte) et ⊆ (inclusion large) ; par exemple, ℕ ⊂ ℤ mais ℕ ⊆ ℤ.
2. Penser que ℚ est complet : il ne l’est pas, car il n’a pas de limite pour toutes ses suites convergentes dans ℝ.
3. Confusion entre nombres rationnels et décimaux : tous les rationnels ont une représentation décimale finie ou périodique, mais tous les décimaux périodiques sont rationnels.
4. Oublier que ℝ est un corps complet, contrairement à ℚ.
5. Confondre densité de ℚ dans ℝ avec la complétude : ℚ est dense mais pas complet.
6. Négliger la distinction entre nombres rationnels (p/q) et irrationnels (π, √2).
7. Confusion entre la construction historique de ℝ et sa définition moderne (via suites de Cauchy ou axiomes de Dedekind).

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de ℕ, ℤ, ℚ, D, ℝ, ℂ.
• Savoir que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ et que ℚ est dense dans ℝ.
• Maîtriser la différence entre ⊂ et ⊆.
• Comprendre la propriété de densité de ℚ dans ℝ et celle des irrationnels dans ℝ.
• Connaître la construction historique et moderne de ℝ, notamment la propriété du supremum.
• Identifier des exemples de nombres rationnels, décimaux, irrationnels.
• Savoir que ℝ est un corps totalement ordonné et complet.
• Reconnaître que ℚ n’est pas complet.
• Connaître la définition de D comme ensemble de nombres décimaux.
• Comprendre la différence entre nombres rationnels et non rationnels.
• Savoir que ℝ inclut des nombres non rationnels comme π, √2.
• Maîtriser la propriété de densité de ℝ \ ℚ dans ℝ.
• Se rappeler que la construction de ℝ a été un enjeu historique majeur, notamment au XIXe siècle.