Fiche de révision : Les vecteurs en seconde

📋 Plan du Cours

1. Translation et définition du vecteur
2. Représentants et égalité de vecteurs
3. Parallélogramme et vecteurs égaux
4. Milieu et vecteur nul
5. Vecteurs opposés
6. Somme et différence de vecteurs
7. Relation de Chasles
8. Produit par un réel
9. Colinéarité et alignement

📖 1. Translation et définition du vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Transformation assimilable à un glissement dans une direction, un sens et sur une longueur donnés, sans retournement.
• Vecteur : Caractérisé par une direction, un sens et une longueur, appelée plus rigoureusement sa norme.

📝 Points essentiels

• Une translation déplace tous les points selon des flèches parallèles, de même sens et de même longueur.

💡 Astuce mémo

Un glissement de téléphérique sans retournement

📖 2. Représentants et égalité de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs égaux : S’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, ou norme.

★ À maîtriser

• Un même vecteur possède plusieurs représentants, car il ne dépend pas de la position de la flèche sur la figure.

Compléments

• Un vecteur peut être noté par une lettre, comme le vecteur u, ou par deux points orientés, comme le vecteur AB.

📖 3. Parallélogramme et vecteurs égaux

★ À maîtriser

📌 Si les vecteurs AB et CD sont égaux, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Compléments

• Un parallélogramme peut être aplati lorsque ses côtés sont alignés dans un même prolongement.

💡 Astuce mémo

Même direction, même sens, même longueur : vecteurs égaux

📖 4. Milieu et vecteur nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Vecteur dont les deux extrémités sont confondues et dont la norme est nulle.

★ À maîtriser

📌 Si B est le milieu du segment AC, alors les vecteurs AB et BC sont égaux.

Compléments

• Pour tout point P, le vecteur PP est un vecteur nul.

💡 Astuce mémo

Milieu du segment → deux vecteurs égaux

📖 5. Vecteurs opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs opposés : S’ils ont la même direction et la même norme, mais des sens contraires.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

Même direction et longueur, mais sens contraire

📖 6. Somme et différence de vecteurs

★ À maîtriser

• La somme de deux vecteurs se construit en plaçant le deuxième vecteur à l’extrémité du premier, puis en reliant l’origine du premier à l’extrémité du second.

📐 Formule — Une différence de vecteurs se transforme en somme avec l’opposé : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.

Compléments

• Pour construire $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, on place les deux vecteurs bout à bout puis on relie le point de départ au point d’arrivée.

💡 Astuce mémo

Premier vecteur → deuxième vecteur → vecteur résultant

📖 7. Relation de Chasles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles est $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

📐 Formule — Dans un parallélogramme ABCD, la relation caractéristique est $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Compléments

📌 La relation de Chasles peut être appliquée avec n’importe quel point intermédiaire entre l’origine et l’extrémité du vecteur recherché.

💡 Astuce mémo

A vers B, puis B vers C, donne A vers C

📖 8. Produit par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel : Vecteur de même direction, de même sens si k est positif et de sens contraire si k est négatif.

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme du produit d’un vecteur par un réel vérifie $\|k\vec{u}\|=|k|\,\|\vec{u}\|$.

Compléments

• Répéter cinq fois un vecteur u dans le même sens donne $\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}=5\vec{u}$.

💡 Astuce mémo

Réel positif : même sens ; réel négatif : sens contraire

📖 9. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Lorsqu’il existe un réel k tel que l’un soit égal à k fois l’autre.

📝 Points essentiels

📌 Deux droites sont parallèles si et seulement si des vecteurs directeurs de ces droites sont colinéaires.

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Vecteurs colinéaires → droites parallèles ou points alignés

📊 Tableaux de synthèse

Relations géométriques et vectorielles