Fiche de révision : Nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles réels
3. Encadrement et valeurs approchées
4. Manipulation des inégalités
5. Valeur absolue et distance
6. Réunion et intersection
7. Équations avec valeur absolue

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite
• Nombres rationnels : les nombres de la forme $\frac{a}{b}$ avec a entier relatif et b entier naturel non nul
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont les nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 5,23 = 523/10² et −0,213 = −213/10³.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• √2 et π sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : un ensemble de nombres réels correspondant sur une droite graduée à un segment, une demi-droite ou toute la droite, sans trou

📝 Points essentiels

• L’intervalle [a ; b] représente les réels x tels que a ≤ x ≤ b, tandis que ]a ; b[ représente les réels tels que a < x < b.

💡 Astuce mémo

Une portion continue de la droite réelle, sans trou

📖 3. Encadrement et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : un encadrement a ≤ x ≤ b donne a comme borne inférieure, b comme borne supérieure et b − a comme amplitude
• Valeur approchée : Pour ε strictement positif, a est une valeur approchée de x à ε près lorsque a − ε ≤ x ≤ a + ε

📝 Points essentiels

• L’encadrement 0,28 ≤ 2/7 ≤ 0,29 a une amplitude de 0,01.

💡 Astuce mémo

Encadrement : deux bornes ; valeur approchée : une valeur centrale et une marge

📖 4. Manipulation des inégalités

📝 Points essentiels

📌 Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d ; si les quatre nombres sont positifs, alors ac ≤ bd.

💡 Astuce mémo

Bornes comparées → somme et produit encadrés

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel a est définie par |a| = a si a ≥ 0 et |a| = −a si a < 0 ; elle est toujours positive ou nulle.

📝 Points essentiels

• La distance entre deux réels a et b est $|b-a|$, qui est aussi égale à $|a-b|$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro

📖 6. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection I ∩ J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I et à J.
• Réunion : La réunion I ∪ J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I ou à J.

📝 Points essentiels

• Pour A = [−2 ; 1] et B = ]0 ; 5[, on a A ∩ B = ]0 ; 1] et A ∪ B = [−2 ; 5[.

💡 Astuce mémo

Intersection = dans les deux ; réunion = dans au moins un

📖 7. Équations avec valeur absolue

📝 Points essentiels

📌 L’équation |x| = 2 a pour solutions −2 et 2, tandis que |x| = −3 n’a aucune solution.

• L’équation |x − 7| = 3 a pour solutions 4 et 10, tandis que l’inéquation |x − 7| ≤ 3 a pour solution l’intervalle [4 ; 10].

💡 Astuce mémo

Distance exacte = deux points ; distance au plus égale = un intervalle

📊 Tableaux de synthèse

Réunion et intersection