QCM : Nombres réels — 15 questions

Question 1

1. Quelle propriété caractérise la valeur absolue d’un réel $a$ ?

Elle conserve toujours le signe de

a

après le calcul

Elle vaut

a

si

a>0

et reste négative si

a<0

Elle vaut

a

si

a\geq 0

et

-a

si

a<0

Elle vaut

-a

si

a\geq 0

et

a

si

a<0

Explication

La définition distingue les cas selon le signe de $a$ et produit une valeur positive ou nulle. L’affirmation selon laquelle la valeur absolue resterait négative pour un réel négatif confond $a$ avec $|a|$ .

Answer

Elle vaut $$a$$ si $$a\geq 0$$ et $$-a$$ si $$a<0$$

Question 2

2. Pour quelle condition un nombre $a$ est-il une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon$ près, avec $\varepsilon>0$ ?

Lorsque

a+\varepsilon\le x\le a+2\varepsilon

.

Lorsque

x-\varepsilon\le a\le x+\varepsilon

.

Lorsque

a-\varepsilon<x<a+\varepsilon

avec

\varepsilon<0

.

Lorsque

a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon

.

Explication

La définition impose que $x$ appartienne à l’intervalle centré en $a$ de rayon $\varepsilon$ , soit $a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon$ . La condition $\varepsilon>0$ est indispensable, et l’écriture proposée avec des bornes centrées en $x$ ne reprend pas la définition demandée.

Answer

Lorsque $$a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon$$.

Question 3

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Par exemple, tous les décimaux sont rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas décimaux.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Question 4

4. Lequel est un nombre rationnel selon sa définition ?

\sqrt{2}

-\frac{7}{3}

\pi

Un nombre dont l’écriture décimale est infinie et non périodique

Explication

Un rationnel s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ naturel non nul. Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels, et une écriture infinie non périodique caractérise un irrationnel.

Answer

$$-\frac{7}{3}$$

Question 5

5. Lequel décrit correctement l’ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$ ?

Il contient les entiers relatifs strictement négatifs.

Il contient les entiers positifs et le nombre zéro.

Il contient les nombres réels irrationnels comme

\sqrt{2}

.

Il contient les nombres rationnels écrits en quotient.

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ comprend $0,1,2,3,\ldots$ . L’ensemble $\mathbb{N}^*$ correspond aux naturels non nuls, tandis que les quotients et les irrationnels appartiennent à d’autres ensembles.

Answer

Il contient les entiers positifs et le nombre zéro.

Question 6

6. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=2$ ?

x=-2

ou

x=0

x=2

uniquement

x=0

ou

x=2

x=-2

ou

x=2

Explication

La valeur absolue de $x$ vaut $2$ lorsque $x$ est à une distance de $2$ de zéro, donc lorsque $x=-2$ ou $x=2$ . L’équation $|x|=-3$ , en revanche, n’admettrait aucune solution, car une valeur absolue ne peut pas être négative.

Answer

$$x=-2$$ ou $$x=2$$

Question 7

7. Si un élément appartient à la fois à $I$ et à $J$ , dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

À l’ensemble formé par les éléments de

I

seulement

À la réunion

I\cup J

sans appartenir à l’intersection

Au complémentaire de

I\cap J

À l’intersection

I\cap J

Explication

L’intersection regroupe les éléments communs aux deux ensembles, donc un élément appartenant à $I$ et à $J$ en fait partie. La réunion le contient également, mais elle accepte aussi les éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles.

Answer

À l’intersection $$I\cap J$$

Question 8

8. Pour $A=[-2\,;\,1]$ et $B=]0\,;\,5[$ , quelle est leur réunion ?

]1\,;\,5[

[-2\,;\,5[

[-2\,;\,0]

]0\,;\,1]

Explication

La réunion contient les éléments appartenant à au moins un des deux intervalles, ce qui donne $[-2\,;\,5[$ . L’intervalle $]0\,;\,1]$ correspond à leur intersection et non à leur réunion.

Answer

$$[-2\,;\,5[$$

Question 9

9. Quel ensemble de nombres est représenté par l’intervalle $[a\ ;\ b]$ ?

Les réels

x

tels que

x<a

ou

x>b

.

Les réels

x

tels que

a<x<b

.

Les réels

x

tels que

a\le x\le b

.

Les réels

x

tels que

a\le x<b

.

Explication

Les crochets indiquent que les deux bornes appartiennent à l’intervalle, donc $a\le x\le b$ . L’écriture $]a\ ;\ b[$ exclurait les deux bornes et correspondrait à $a<x<b$ .

Answer

Les réels $$x$$ tels que $$a\le x\le b$$.

Question 10

10. Dans l’encadrement $a\le x\le b$ , quelle expression représente l’amplitude ?

a

b-a

b

a+b

Explication

L’amplitude mesure la largeur de l’encadrement et vaut $b-a$ . La valeur $a$ est la borne inférieure, tandis que $b$ est la borne supérieure.

Answer

Lorsque les quatre nombres sont positifs

Answer

$$a+c \leq b+d$$

Answer

L’intervalle $$[4\,;\,10]$$

Answer

$$|b-a|$$, qui est égale à $$|a-b|$$

Answer

Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

Question 11

11. Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , dans quelle condition supplémentaire peut-on conclure que $ac \leq bd$ ?

Lorsque seuls

a

et

c

sont positifs

Lorsque les quatre nombres sont positifs

Lorsque les quatre nombres sont négatifs

Lorsque

b

et

d

ont des signes opposés

Explication

La multiplication conserve l’ordre dans cette règle lorsque les quatre nombres sont positifs. La simple présence de deux facteurs positifs ne suffit pas à garantir la comparaison des produits.

Question 12

12. Sachant que $a \leq b$ et $c \leq d$ , quelle inégalité est directement obtenue en additionnant membre à membre ?

a+c \leq b+d

a+b \leq c+d

a-c \leq b-d

a+d \leq b+c

Explication

L’addition membre à membre des deux inégalités donne $a+c \leq b+d$ . La comparaison entre $a+d$ et $b+c$ ne découle pas de ces seules hypothèses.

Question 13

13. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-7|\leq 3$ ?

Les points

x=4

et

x=10

Les valeurs

x\leq 4

ou

x\geq 10

L’intervalle

[3\,;\,7]

L’intervalle

[4\,;\,10]

Explication

L’inéquation $|x-7|\leq 3$ décrit les nombres situés à une distance d’au plus $3$ de $7$ , soit l’intervalle $[4\,;\,10]$ . Les valeurs $4$ et $10$ sont les solutions de l’équation $|x-7|=3$ , qui donne deux points plutôt que tous les nombres intermédiaires.

Question 14

14. La distance entre les réels $a$ et $b$ peut être calculée par quelle expression ?

|b-a|

, qui est égale à

|a-b|

|a+b|

, qui mesure leur écart

b-a

, qui est égale à

a-b

a-b

, en conservant son signe

Explication

La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence, et l’ordre de la soustraction ne change pas cette valeur absolue. En revanche, $b-a$ et $a-b$ peuvent avoir des signes opposés.

Question 15

15. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

Il est nécessairement un entier naturel.

Il possède une écriture infinie non périodique.

Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

Il ne peut pas être exprimé comme un quotient d’entiers.

Explication

Un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres après la virgule, comme $5,23=\frac{523}{10^2}$ . Il peut aussi être rationnel et n’est pas forcément un entier naturel.

QCM : Nombres réels — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise la valeur absolue d’un réel $a$ ?

2. Pour quelle condition un nombre $a$ est-il une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon$ près, avec $\varepsilon>0$ ?

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

4. Lequel est un nombre rationnel selon sa définition ?

5. Lequel décrit correctement l’ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$ ?

6. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=2$ ?

7. Si un élément appartient à la fois à $I$ et à $J$ , dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

8. Pour $A=[-2\,;\,1]$ et $B=]0\,;\,5[$ , quelle est leur réunion ?

9. Quel ensemble de nombres est représenté par l’intervalle $[a\ ;\ b]$ ?

10. Dans l’encadrement $a\le x\le b$ , quelle expression représente l’amplitude ?

11. Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , dans quelle condition supplémentaire peut-on conclure que $ac \leq bd$ ?

12. Sachant que $a \leq b$ et $c \leq d$ , quelle inégalité est directement obtenue en additionnant membre à membre ?

13. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-7|\leq 3$ ?

14. La distance entre les réels $a$ et $b$ peut être calculée par quelle expression ?

15. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

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QCM : Nombres réels — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise la valeur absolue d’un réel aaa ?

2. Pour quelle condition un nombre aaa est-il une valeur approchée de xxx à ε\varepsilonε près, avec ε>0\varepsilon>0ε>0 ?

3. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

4. Lequel est un nombre rationnel selon sa définition ?

5. Lequel décrit correctement l’ensemble des nombres naturels N\mathbb{N}N ?

6. Quelles sont les solutions de l’équation ∣x∣=2|x|=2∣x∣=2 ?

7. Si un élément appartient à la fois à III et à JJJ, dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

8. Pour A=[−2 ; 1]A=[-2\,;\,1]A=[−2;1] et B=]0 ; 5[B=]0\,;\,5[B=]0;5[, quelle est leur réunion ?

9. Quel ensemble de nombres est représenté par l’intervalle [a ; b][a\ ;\ b][a ; b] ?

10. Dans l’encadrement a≤x≤ba\le x\le ba≤x≤b, quelle expression représente l’amplitude ?

11. Si a≤ba \leq ba≤b et c≤dc \leq dc≤d, dans quelle condition supplémentaire peut-on conclure que ac≤bdac \leq bdac≤bd ?

12. Sachant que a≤ba \leq ba≤b et c≤dc \leq dc≤d, quelle inégalité est directement obtenue en additionnant membre à membre ?

13. Quelle est la solution de l’inéquation ∣x−7∣≤3|x-7|\leq 3∣x−7∣≤3 ?

14. La distance entre les réels aaa et bbb peut être calculée par quelle expression ?

15. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

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1. Quelle propriété caractérise la valeur absolue d’un réel $a$ ?

2. Pour quelle condition un nombre $a$ est-il une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon$ près, avec $\varepsilon>0$ ?

5. Lequel décrit correctement l’ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$ ?

6. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=2$ ?

7. Si un élément appartient à la fois à $I$ et à $J$ , dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

8. Pour $A=[-2\,;\,1]$ et $B=]0\,;\,5[$ , quelle est leur réunion ?

9. Quel ensemble de nombres est représenté par l’intervalle $[a\ ;\ b]$ ?

10. Dans l’encadrement $a\le x\le b$ , quelle expression représente l’amplitude ?

11. Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , dans quelle condition supplémentaire peut-on conclure que $ac \leq bd$ ?

12. Sachant que $a \leq b$ et $c \leq d$ , quelle inégalité est directement obtenue en additionnant membre à membre ?

13. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-7|\leq 3$ ?

14. La distance entre les réels $a$ et $b$ peut être calculée par quelle expression ?