Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Voisinages et points adhérents
2. Définition générale des limites
3. Traductions ε-δ et limites infinies
4. Restrictions et fonctions monotones
5. Limites usuelles et propriétés
6. Opérations et théorèmes de comparaison
7. Croissances comparées et gendarmes

📖 1. Voisinages et points adhérents

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage d’un point : Sous-ensemble de R contenant un intervalle de la forme ]x_0-δ;x_0+δ[ avec δ>0.
• Voisinage de l’infini : Un voisinage de +∞ contient une demi-droite ]a;+∞[, tandis qu’un voisinage de −∞ contient une demi-droite ]−∞;b[.
• Point adhérent : Un point x_0 réel adhère à X si tout voisinage de x_0 rencontre X, et +∞ ou −∞ adhère à X si tout voisinage correspondant rencontre X.

📝 Points essentiels

• Tous les réels adhèrent à Q, car Q est dense dans R, tandis que le seul point non entier adhérent à N est +∞.

💡 Astuce mémo

Imagine un point entouré d’un intervalle qui vient toucher l’ensemble.

📖 2. Définition générale des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : La fonction f:X→R admet la limite ℓ en x_0 si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage U de x_0 tel que tout x∈U∩X vérifie f(x)∈V.
• Limite d’une suite : Pour une suite (u_n), on a lim u_n=ℓ si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe N tel que n>N entraîne u_n∈V.

★ À maîtriser

• Lorsqu’elle existe, la limite d’une fonction en un point est unique.

Compléments

• Pour la fonction partie entière, une discontinuité en un entier peut empêcher l’existence d’une limite en ce point.

💡 Astuce mémo

Voisinage de l’entrée contrôlé → voisinage de la sortie obtenu.

📖 3. Traductions ε-δ et limites infinies

★ À maîtriser

📐 Formule — Si x_0 et ℓ sont réels, $\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X,\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon.$

📐 Formule — La limite $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ signifie que pour tout A∈R, il existe δ>0 tel que |x−x_0|<δ entraîne f(x)>A.

📐 Formule — Si x_0=+∞ et ℓ est réel, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\iff\forall\varepsilon>0,\exists A\in R,\ x>A\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon.$

Compléments

• Si x_0=+∞ et la limite vaut +∞, alors pour tout B∈R il existe A∈R tel que x>A entraîne f(x)>B.

💡 Astuce mémo

ε contrôle une sortie réelle, tandis que A ou B contrôle une sortie infinie.

📖 4. Restrictions et fonctions monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite restreinte : La limite de f lorsque x tend vers x_0 dans A est la limite de la restriction f|A, où A⊂X et x_0 adhère à A.

★ À maîtriser

• Les limites à gauche et à droite sont des limites restreintes respectivement à x<x_0 et à x>x_0.

• Pour une fonction monotone sur ]a,b[, les limites latérales intérieures existent et les limites aux bornes existent dans R∪{±∞}.

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction croissante, $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\sup\{f(x)\mid x<x_0\}.$

💡 Astuce mémo

Une limite sur tout X implique celle sur A, mais une limite sur A n’implique pas celle sur X.

📖 5. Limites usuelles et propriétés

★ À maîtriser

• Les familles de fonctions usuelles citées sont:
  • les polynômes
  • l’exponentielle
  • le logarithme
  • les fonctions puissances
  • les fonctions trigonométriques
  • les fonctions trigonométriques inverses

📐 Formule — La limite classique vérifie $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.$

📌 Si une fonction admet une limite réelle ℓ en x_0, elle est bornée sur un voisinage de x_0.

Compléments

📌 Si une fonction tend vers une limite ℓ>0 en x_0, elle est strictement positive sur un voisinage de x_0.

📖 6. Opérations et théorèmes de comparaison

★ À maîtriser

• Les limites d’une somme, d’un produit et d’un quotient sont obtenues par les opérations correspondantes lorsque les formes indéterminées sont exclues.

• Si lim f(x)=y_0 et lim g(y)=ℓ lorsque y tend vers y_0, alors lim g(f(x))=ℓ lorsque x tend vers x_0.

• Si f≤g et si leurs limites sont réelles, alors la limite de f est inférieure ou égale à celle de g.

Compléments

📌 Si f≤g et lim f=+∞, alors lim g=+∞; si lim g=−∞, alors lim f=−∞.

💡 Astuce mémo

Somme → produit → quotient → composition → inégalités.

📖 7. Croissances comparées et gendarmes

★ À maîtriser

• À +∞, pour des coefficients positifs, la hiérarchie des croissances est $\exp(\varepsilon x)^\alpha\gg x^\beta\gg(\ln x)^\gamma\gg(\ln x)^{-\gamma'}\gg x^{-\beta'}\gg\exp(-\varepsilon' x)^{-\alpha'}.$

📌 Si f≤g≤h et si f et h tendent vers la même limite ℓ en x_0, alors g tend aussi vers ℓ en x_0.

Compléments

• Pour comparer des croissances en −∞ ou en un autre point, il faut toujours se ramener à +∞ par un changement de variable.

• On a $\lim_{x\to0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0$ par le théorème des gendarmes.

💡 Astuce mémo

Les bornes convergent vers la même valeur → la fonction encadrée converge aussi.