QCM : Limites de fonctions — 20 questions

Explication

La formulation $\varepsilon$-$\delta$ exige de pouvoir rendre $|f(x)-\ell|$ inférieur à toute précision prescrite en imposant une proximité suffisante de $x$ avec $x_0$. Les autres formulations inversent les quantificateurs ou imposent un contrôle trop général.

Explication

La limite à gauche est la limite de la restriction aux points vérifiant $x<x_0$. La condition $x>x_0$ correspond à la limite à droite.

Explication

Un réel est adhérent à $X$ lorsque tout voisinage de ce réel contient au moins un point de $X$. L’adhérence ne demande ni l’appartenance à l’intérieur ni l’inclusion d’un voisinage dans l’ensemble.

Explication

Le théorème des gendarmes impose un encadrement $f\le g\le h$ où les deux bornes ont la même limite $\ell$. Une seule borne ou deux limites différentes ne permet pas de conclure à la convergence de $g$ vers cette valeur.

Explication

Pour la partie entière, les valeurs approchées à gauche et à droite d’un entier peuvent être différentes, ce qui empêche l’existence d’une limite en ce point. Une modification de la valeur isolée en $k$ ne suffit pas à changer une limite.

Explication

Le théorème de composition transmet la limite de $f(x)$ vers l’entrée $y_0$ de $g$, puis celle de $g$ vers $\ell$. Ainsi, la composée tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$.

Explication

Un voisinage de $+\infty$ contient une demi-droite $]a;+\infty[$ pour un réel $a$. Une demi-droite orientée vers $-\infty$ caractérise plutôt un voisinage de $-\infty$.

Explication

Lorsqu’elle existe, la limite d’une fonction en un point est unique. Le recouvrement de voisinages ou l’appartenance du point au domaine ne permet pas d’obtenir deux limites distinctes.

Explication

Les fonctions usuelles citées sont continues sur leurs domaines respectifs. Cette propriété ne leur attribue pas un domaine commun, et certaines ne sont pas définies sur tout $\mathbb{R}$.

Explication

Le théorème de comparaison conserve l’ordre lorsque les limites sont réelles : la limite de la fonction minorée ne dépasse pas celle de la fonction majorante. L’égalité n’est obtenue que sous une information supplémentaire.

Explication

La densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ fait de chaque réel un point adhérent à $\mathbb{Q}$, tandis que pour $\mathbb{N}$ le point non entier adhérent mentionné est $+\infty$. La densité de $\mathbb{Q}$ ne s’étend donc pas à $\mathbb{N}$.

Explication

À l’infini, la définition demande qu’au-delà d’un seuil $A$ dépendant de $\varepsilon$, les valeurs de $f(x)$ restent à moins de $\varepsilon$ de $\ell$. Une égalité exacte avec $\ell$ n’est pas nécessaire pour avoir cette limite.

Explication

La limite $+\infty$ signifie que la fonction dépasse tout seuil réel $A$ dès que $x$ est suffisamment proche de $x_0$. Il ne s’agit pas d’une valeur infinie prise en $x_0$ ni d’un simple dépassement d’un seuil fixé.

Explication

La limite classique vérifie $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$. Il ne faut pas confondre ce quotient avec $\sin(x)$, qui tend vers $0$ lorsque $x\to0$.

Explication

L’existence d’une limite réelle impose que les valeurs de la fonction restent bornées suffisamment près de $x_0$. Elle n’implique pas à elle seule la monotonie, la nullité ou la continuité globale.

Explication

Les règles d’opérations sur les limites s’appliquent lorsque les formes indéterminées sont exclues. Une expression comme $\frac{0}{0}$ ou $+\infty-\infty$ nécessite une étude supplémentaire.

Explication

La définition exige que pour chaque voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ tel que $f(x)\in V$ pour tout $x\in U\cap X$. Elle ne demande pas de contrôler les images de tous les points de $X$.

Explication

Une limite sur l’ensemble de départ reste valable lorsqu’on restreint la fonction à un sous-ensemble pertinent. La réciproque n’est pas garantie : une limite observée sur $A$ peut ne pas exister sur $X$.

Explication

La monotonie garantit l’existence des limites latérales intérieures, avec des valeurs dans $\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, ainsi que des limites aux bornes. Ces limites ne sont donc pas forcément finies.

Explication

À l’infini positif, les exponentielles positives croissent plus vite que les puissances, elles-mêmes plus rapides que les logarithmes. La confusion fréquente consiste à inverser l’ordre entre ces trois familles de fonctions.