Fiche de révision : Limites et composition de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites aux infinis et asymptotes
2. Limites en un réel
3. Limites des polynômes et quotients
4. Opérations sur les limites
5. Composition et dérivation
6. Comparaison et encadrement
7. Exponentielle et croissance comparée

📖 1. Limites aux infinis et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en +∞ : La fonction f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si, pour tout réel A, il existe un réel m tel que x>m entraîne f(x)>A.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=l est une asymptote horizontale à la courbe de f lorsque f tend vers l en +∞ ou en −∞.

📝 Points essentiels

• La définition d’une limite en −∞ se formule comme celle en +∞, en considérant x négatif et f définie sur un intervalle de la forme ]−∞;b[.

📖 2. Limites en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en a : La fonction f tend vers +∞ quand x tend vers a si, pour tout réel A, f(x)>A dès que x est suffisamment proche de a.
• Limite finie en a : La fonction f admet la limite l quand x tend vers a si f(x) peut être rendu aussi proche de l que voulu en prenant x suffisamment proche de a.
• Asymptote verticale : Une asymptote verticale est une droite verticale associée à une limite infinie de la fonction en un réel.

📝 Points essentiels

📌 Une limite à gauche ou à droite décrit la limite lorsque x approche a depuis un seul côté.

• Pour la fonction exponentielle, la limite de e^x lorsque x tend vers 0 vaut 1.

💡 Astuce mémo

À l’infini, x s’éloigne ; en a, x se rapproche.

📖 3. Limites des polynômes et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est une expression pour laquelle les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer immédiatement la limite.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer la limite d’un polynôme en +∞ ou en −∞, on peut le comparer à son monôme de plus haut degré, qui a la même limite.

Compléments

• Si deux fonctions tendent vers +∞, la limite de leur quotient ne peut pas être déterminée par cette seule information.

• Pour lever une indétermination sur un polynôme, on met en facteur son monôme de plus haut degré.

📌 La limite d’une fonction rationnelle est déterminée à partir des monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

📖 4. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• Les théorèmes d’opérations donnent des règles pour déterminer les limites d’une somme, d’un produit et d’un quotient.

📌 Une forme indéterminée signifie que les opérations ne suffisent pas à conclure, et non que la fonction n’a pas de limite.

📖 5. Composition et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : Si u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J, la composée v∘u est définie sur I par (v∘u)(x)=v(u(x)).

★ À maîtriser

📌 Si f tend vers b lorsque x tend vers a et si g tend vers c lorsque son argument tend vers b, alors g∘f tend vers c lorsque x tend vers a.

• Si u est dérivable sur I et v est dérivable sur J, alors (v∘u)'(x)=u'(x)×v'(u(x)).

Compléments

• Dire que u est définie sur I à valeurs dans J signifie que u(x) appartient à J pour tout x appartenant à I.

📌 La composition des fonctions est associative : w∘v∘u=(w∘v)∘u=w∘(v∘u), lorsque les compositions sont définies.

📖 6. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si f(x)≥g(x) sur un intervalle allant vers +∞ et si g tend vers +∞, alors f tend vers +∞.

📌 Si f(x)≤g(x)≤h(x) et si f et h tendent toutes deux vers l lorsque x tend vers α, alors g tend vers l lorsque x tend vers α.

Compléments

📌 Le théorème de comparaison établit une limite infinie à partir d’une borne, tandis que le théorème des gendarmes établit une limite finie à partir d’un encadrement.

💡 Astuce mémo

La comparaison pousse vers l’infini ; les gendarmes encadrent vers une limite finie.

📖 7. Exponentielle et croissance comparée

★ À maîtriser

📐 Formule - $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

Compléments

📌 Pour tout réel x, e^x≥x+1.