QCM : Limites et composition de fonctions (15 questions)

Question 1

1. Une fonction est définie pour les grandes valeurs de x. Quelle condition traduit le fait qu’elle tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ ?

Pour tout réel A, il existe m tel que x < m entraîne f(x) > A.

Il existe un réel A tel que, pour tout m, x > m entraîne f(x) > A.

Pour tout réel A, il existe m tel que x > m entraîne f(x) > A.

Pour tout réel A, il existe m tel que x > m entraîne f(x) < A.

Explication

La limite vaut +∞ si toute borne réelle A est dépassée par f(x) dès que x est assez grand, c’est-à-dire après un seuil m dépendant de A. L’existence d’un A fixe confond les quantificateurs, f(x) < A inverse la borne et x < m vise les petites valeurs de x.

Answer

Pour tout réel A, il existe m tel que x > m entraîne f(x) > A.

Question 2

2. Une courbe vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à cette courbe ?

La droite d’équation y = -4.

La droite d’équation y = 4.

La droite d’équation x = 4.

La droite d’équation y = 0.

Explication

Si f tend vers une limite finie l lorsque x tend vers +∞ ou −∞, la droite y = l est une asymptote horizontale ; ici l vaut 4. x = 4 est verticale, y = −4 prend l’opposé de la limite et y = 0 ne correspond pas à la limite indiquée.

Answer

La droite d’équation y = 4.

Question 3

3. Près d’un réel a, une fonction prend des valeurs supérieures à toute borne réelle A dès que x est assez proche de a. Quelle limite cela décrit-il ?

f(x) tend vers +∞ lorsque f(x) tend vers a.

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a.

f(x) tend vers une limite réelle lorsque x tend vers a.

f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers a.

Explication

Une limite égale à +∞ en a signifie que, pour toute borne A, f(x) dépasse A lorsque x est suffisamment proche de a. Une limite réelle est finie, −∞ correspond à une divergence dans le sens opposé et la dernière formulation place la proximité sur la mauvaise variable.

Answer

f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a.

Question 4

4. En choisissant x suffisamment proche de a, on peut rendre f(x) aussi proche de 3 que souhaité. Quelle conclusion peut-on tirer ?

f admet la limite a lorsque x tend vers 3.

f(a) est nécessairement égal à 3.

f tend vers +∞ lorsque x tend vers a.

f admet la limite 3 lorsque x tend vers a.

Explication

Une fonction admet la limite l en a si ses valeurs peuvent être rendues aussi proches de l que voulu en prenant x suffisamment proche de a ; ici l vaut 3. Cela n’implique pas nécessairement que f(a)=3, et les autres formulations confondent limite finie, limite infinie et rôle de a.

Answer

f admet la limite 3 lorsque x tend vers a.

Question 5

5. Pour déterminer la limite en $+\infty$ de $P(x)=4x^5-3x^2+7$ , quel terme suffit-il d’étudier ?

Le monôme

4x^5

Le monôme

7

Le monôme

-3x^2

Le coefficient

4

Explication

Un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré, ici $4x^5$ . Le terme constant et le terme en $x^2$ ne sont pas dominants, tandis que $4$ seul est un coefficient et non le monôme.

Answer

Le monôme $$4x^5$$

Question 6

6. Une substitution directe dans une expression donne une forme indéterminée. Que signifie ce résultat ?

La limite est nécessairement infinie

Les règles d’opérations ne permettent pas de conclure immédiatement

La fonction ne possède pas de limite en ce point

Les règles d’opérations fournissent déjà une limite déterminée

Explication

Une forme indéterminée indique que les théorèmes d’opérations ne déterminent pas immédiatement la limite; une étude plus poussée peut encore établir qu’elle existe. Conclure à l’absence de limite ou à une limite infinie confond indétermination et résultat.

Answer

Les règles d’opérations ne permettent pas de conclure immédiatement

Question 7

7. Dans une étude, les limites de $f$ et $g$ sont connues. Quel usage des théorèmes d’opérations permet de traiter $f+g$ , $fg$ ou $\frac{f}{g}$ ?

Appliquer la règle du produit aux trois expressions

Appliquer des règles d’opérations aux sommes, mais pas aux produits ni aux quotients

Reprendre les limites de

f

et

g

comme limites des expressions composées

Appliquer les règles adaptées à la somme, au produit ou au quotient

Explication

Les théorèmes d’opérations fournissent des règles pour déterminer les limites d’une somme, d’un produit et d’un quotient, selon les limites en jeu. Confondre quotient et produit, ou exclure deux de ces opérations, ne respecte pas cette portée.

Answer

Appliquer les règles adaptées à la somme, au produit ou au quotient

Question 8

8. Deux fonctions tendent vers $+\infty$ et leur quotient donne une forme indéterminée. Quelle conclusion est justifiée ?

Les informations données ne suffisent pas à déterminer la limite du quotient

Le quotient tend vers la limite du numérateur

Le quotient tend vers

+\infty

Le quotient n’a pas de limite

Explication

Une forme indéterminée signifie que les opérations disponibles ne suffisent pas à conclure, pas que le quotient n’a pas de limite. Le fait que les deux fonctions tendent vers $+\infty$ ne détermine pas à lui seul la limite de leur quotient.

Answer

Les informations données ne suffisent pas à déterminer la limite du quotient

Question 9

9. Pour $u(x)=x^2+1$ , définie sur $I=[0,2]$ , et $v(t)=\sqrt{t}$ , définie sur $J=[1,5]$ , quelle expression donne la composée de $v$ par $u$ sur $I$ ?

x^2+1+\sqrt{x}

\sqrt{x}+1

(\sqrt{x})^2+1

\sqrt{x^2+1}

Explication

Par définition, $(v\circ u)(x)=v(u(x))$ : on remplace l’argument de $v$ par $u(x)$ . L’expression $u(v(x))$ inverse l’ordre, la somme ne constitue pas une composition et $\sqrt{x}+1$ omet une partie de $u(x)$ .

Answer

$$\sqrt{x^2+1}$$

Question 10

10. Soient $u(x)=3x-2$ et $v(t)=t^2$ . Quelle est la dérivée de $v\circ u$ en $x=2$ ?

12

24

36

144

Explication

La règle de dérivation donne $(v\circ u)'(x)=u'(x)v'(u(x))$ . Ici, $u'(2)=3$ , $u(2)=4$ et $v'(4)=8$ , donc la dérivée vaut $3\times8=24$ ; $12$ omet le facteur extérieur, tandis que $36$ évalue mal la dérivée intérieure et $144$ utilise la valeur de la composée.

Answer

$$F(x)$$ tend vers $$+\infty$$

Answer

$$+\infty$$

Answer

$$+\infty$$

Question 11

11. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $2$ , et que $g(t)$ tend vers $-1$ lorsque $t$ tend vers $2$ . Vers quelle valeur tend $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $a$ ?

-1

1

2

La limite ne peut pas être déduite

Explication

La limite de la composée est la limite de $g$ lorsque son argument tend vers la limite de $f$ : elle vaut donc $-1$ . $2$ est la limite de la fonction intérieure, $1$ résulte d’une addition injustifiée et les deux limites données suffisent à conclure.

Question 12

12. Sur un intervalle s’étendant vers $+\infty$ , une fonction $F$ vérifie $F(x)\geq 5x-3$ . Que peut-on conclure lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

F(x)

tend vers

+\infty

F(x)

tend vers

-\infty

F(x)

tend vers

5

Aucune conclusion sur la limite n’est possible

Explication

Comme $5x-3$ tend vers $+\infty$ et que $F$ lui est supérieure, le théorème de comparaison impose que $F(x)$ tende aussi vers $+\infty$ . Une borne inférieure divergente ne donne pas une limite égale à $5$ , et le sens donné permet bien de conclure.

Question 13

13. Pour tout $x$ assez grand, on a $2-\frac{1}{x}\leq G(x)\leq 2+\frac{1}{x}$ . Quelle limite le théorème des gendarmes permet-il d’établir quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

La limite ne peut pas être déterminée

+\infty

2

0

Explication

Les deux bornes tendent vers $2$ , donc l’encadrement impose, par le théorème des gendarmes, que $G(x)$ tende vers $2$ . La borne supérieure n’a pas pour limite $+\infty$ , et ce n’est pas l’écart à la limite qui définit la limite de $G$ .

Question 14

14. Une quantité est modélisée par $f(t)=e^t$ pour les grandes valeurs de $t$ . Vers quelle valeur tend-elle lorsque $t$ tend vers $+$ ?

+\infty

-\infty

0

1

Explication

Quand $t$ tend vers $+\infty$ , $e^t$ tend vers $+\infty$ . La valeur $0$ correspond à la limite en $-\infty$ , $1$ est la valeur en $0$ , et $-\infty$ ne décrit pas la limite de l’exponentielle en $+\infty$ .

Question 15

15. Pour un entier naturel non nul $n$ , on étudie $g(x)=\frac{e^x}{x^n}$ lorsque $x$ devient très grand. Quelle est sa limite en $+\infty$ ?

1

+\infty

0

Une limite finie dépendant de

n

Explication

La croissance comparée établit que, pour tout entier naturel non nul $n$ , l’exponentielle croît plus vite que $x^n$ : le quotient tend donc vers $+\infty$ . La limite $0$ correspond à une comparaison inversée, tandis que $1$ ou une autre constante finie ne traduit pas cette croissance.

QCM : Limites et composition de fonctions (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction est définie pour les grandes valeurs de x. Quelle condition traduit le fait qu’elle tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ ?

2. Une courbe vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à cette courbe ?

3. Près d’un réel a, une fonction prend des valeurs supérieures à toute borne réelle A dès que x est assez proche de a. Quelle limite cela décrit-il ?

4. En choisissant x suffisamment proche de a, on peut rendre f(x) aussi proche de 3 que souhaité. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Pour déterminer la limite en $+\infty$ de $P(x)=4x^5-3x^2+7$ , quel terme suffit-il d’étudier ?

6. Une substitution directe dans une expression donne une forme indéterminée. Que signifie ce résultat ?

7. Dans une étude, les limites de $f$ et $g$ sont connues. Quel usage des théorèmes d’opérations permet de traiter $f+g$ , $fg$ ou $\frac{f}{g}$ ?

8. Deux fonctions tendent vers $+\infty$ et leur quotient donne une forme indéterminée. Quelle conclusion est justifiée ?

9. Pour $u(x)=x^2+1$ , définie sur $I=[0,2]$ , et $v(t)=\sqrt{t}$ , définie sur $J=[1,5]$ , quelle expression donne la composée de $v$ par $u$ sur $I$ ?

10. Soient $u(x)=3x-2$ et $v(t)=t^2$ . Quelle est la dérivée de $v\circ u$ en $x=2$ ?

11. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $2$ , et que $g(t)$ tend vers $-1$ lorsque $t$ tend vers $2$ . Vers quelle valeur tend $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $a$ ?

12. Sur un intervalle s’étendant vers $+\infty$ , une fonction $F$ vérifie $F(x)\geq 5x-3$ . Que peut-on conclure lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

13. Pour tout $x$ assez grand, on a $2-\frac{1}{x}\leq G(x)\leq 2+\frac{1}{x}$ . Quelle limite le théorème des gendarmes permet-il d’établir quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

14. Une quantité est modélisée par $f(t)=e^t$ pour les grandes valeurs de $t$ . Vers quelle valeur tend-elle lorsque $t$ tend vers $+$ ?

15. Pour un entier naturel non nul $n$ , on étudie $g(x)=\frac{e^x}{x^n}$ lorsque $x$ devient très grand. Quelle est sa limite en $+\infty$ ?

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QCM : Limites et composition de fonctions (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction est définie pour les grandes valeurs de x. Quelle condition traduit le fait qu’elle tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ ?

2. Une courbe vérifie lim⁡x→−∞f(x)=4\lim_{x\to-\infty} f(x)=4limx→−∞​f(x)=4. Quelle droite est une asymptote horizontale à cette courbe ?

3. Près d’un réel a, une fonction prend des valeurs supérieures à toute borne réelle A dès que x est assez proche de a. Quelle limite cela décrit-il ?

4. En choisissant x suffisamment proche de a, on peut rendre f(x) aussi proche de 3 que souhaité. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Pour déterminer la limite en +∞+\infty+∞ de P(x)=4x5−3x2+7P(x)=4x^5-3x^2+7P(x)=4x5−3x2+7, quel terme suffit-il d’étudier ?

6. Une substitution directe dans une expression donne une forme indéterminée. Que signifie ce résultat ?

7. Dans une étude, les limites de fff et ggg sont connues. Quel usage des théorèmes d’opérations permet de traiter f+gf+gf+g, fgfgfg ou fg\frac{f}{g}gf​ ?

8. Deux fonctions tendent vers +∞+\infty+∞ et leur quotient donne une forme indéterminée. Quelle conclusion est justifiée ?

9. Pour u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1, définie sur I=[0,2]I=[0,2]I=[0,2], et v(t)=tv(t)=\sqrt{t}v(t)=t​, définie sur J=[1,5]J=[1,5]J=[1,5], quelle expression donne la composée de vvv par uuu sur III ?

10. Soient u(x)=3x−2u(x)=3x-2u(x)=3x−2 et v(t)=t2v(t)=t^2v(t)=t2. Quelle est la dérivée de v∘uv\circ uv∘u en x=2x=2x=2 ?

11. Lorsque xxx tend vers aaa, on sait que f(x)f(x)f(x) tend vers 222, et que g(t)g(t)g(t) tend vers −1-1−1 lorsque ttt tend vers 222. Vers quelle valeur tend g(f(x))g(f(x))g(f(x)) lorsque xxx tend vers aaa ?

12. Sur un intervalle s’étendant vers +∞+\infty+∞, une fonction FFF vérifie F(x)≥5x−3F(x)\geq 5x-3F(x)≥5x−3. Que peut-on conclure lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

13. Pour tout xxx assez grand, on a 2−1x≤G(x)≤2+1x2-\frac{1}{x}\leq G(x)\leq 2+\frac{1}{x}2−x1​≤G(x)≤2+x1​. Quelle limite le théorème des gendarmes permet-il d’établir quand xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

14. Une quantité est modélisée par f(t)=etf(t)=e^tf(t)=et pour les grandes valeurs de ttt. Vers quelle valeur tend-elle lorsque ttt tend vers +++ ?

15. Pour un entier naturel non nul nnn, on étudie g(x)=exxng(x)=\frac{e^x}{x^n}g(x)=xnex​ lorsque xxx devient très grand. Quelle est sa limite en +∞+\infty+∞ ?

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2. Une courbe vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale à cette courbe ?

5. Pour déterminer la limite en $+\infty$ de $P(x)=4x^5-3x^2+7$ , quel terme suffit-il d’étudier ?

7. Dans une étude, les limites de $f$ et $g$ sont connues. Quel usage des théorèmes d’opérations permet de traiter $f+g$ , $fg$ ou $\frac{f}{g}$ ?

8. Deux fonctions tendent vers $+\infty$ et leur quotient donne une forme indéterminée. Quelle conclusion est justifiée ?

9. Pour $u(x)=x^2+1$ , définie sur $I=[0,2]$ , et $v(t)=\sqrt{t}$ , définie sur $J=[1,5]$ , quelle expression donne la composée de $v$ par $u$ sur $I$ ?

10. Soient $u(x)=3x-2$ et $v(t)=t^2$ . Quelle est la dérivée de $v\circ u$ en $x=2$ ?

11. Lorsque $x$ tend vers $a$ , on sait que $f(x)$ tend vers $2$ , et que $g(t)$ tend vers $-1$ lorsque $t$ tend vers $2$ . Vers quelle valeur tend $g(f(x))$ lorsque $x$ tend vers $a$ ?

12. Sur un intervalle s’étendant vers $+\infty$ , une fonction $F$ vérifie $F(x)\geq 5x-3$ . Que peut-on conclure lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

13. Pour tout $x$ assez grand, on a $2-\frac{1}{x}\leq G(x)\leq 2+\frac{1}{x}$ . Quelle limite le théorème des gendarmes permet-il d’établir quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

14. Une quantité est modélisée par $f(t)=e^t$ pour les grandes valeurs de $t$ . Vers quelle valeur tend-elle lorsque $t$ tend vers $+$ ?

15. Pour un entier naturel non nul $n$ , on étudie $g(x)=\frac{e^x}{x^n}$ lorsque $x$ devient très grand. Quelle est sa limite en $+\infty$ ?