QCM : Limites et continuité — 11 questions

Question 1

1. Quelle est la limite de la fonction constante $f(x)=7$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

7

Elle n’existe pas

-\infty

+\infty

Explication

La limite d’une constante reste égale à cette constante, quelle que soit la direction dans laquelle $x$ tend. Une fonction constante ne devient donc pas infinie lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

Answer

Lorsque $$n$$ est pair

Answer

Le terme de plus haut degré

Answer

$$\frac{3x^4}{5x^2}$$

Answer

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Answer

Sur son ensemble de définition

Answer

La limite de la restriction de la fonction aux valeurs $$x<a$$

Answer

Dans les valeurs strictement supérieures à $$a$$

Answer

Les limites à gauche et à droite existent et ont la même valeur

Question 2

2. Quelle valeur obtient-on pour $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}$ ?

La limite n’existe pas

1

-1

0

Explication

La limite usuelle de $\frac{\cos x-1}{x}$ en zéro vaut $0$ . Il ne faut pas la confondre avec $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ .

Question 3

3. Pour quel comportement de $n$ la limite $\lim_{x\to -\infty}x^n$ vaut-elle $+\infty$ ?

Lorsque

n

est impair

Lorsque

n

est négatif

Lorsque

n

est pair

Lorsque

n=0

Explication

À gauche de l’axe, une puissance d’exposant pair devient positive et croît sans borne, donc sa limite vaut $+\infty$ . Avec un exposant impair, le signe reste négatif et la limite vaut $-\infty$ .

Question 4

4. Que vaut $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^n}$ pour tout entier naturel non nul $n$ ?

La limite dépend de la parité de

n

1

+\infty

0

Explication

Lorsque $x$ devient très grand, $x^n$ croît sans borne pour $n>0$ , donc son inverse tend vers $0$ . La parité de $n$ ne modifie pas cette limite à $+\infty$ .

Question 5

5. Pour déterminer la limite d’un polynôme à l’infini, quel terme faut-il retenir en priorité ?

Le terme dont le coefficient est le plus grand

Le terme de degré intermédiaire

Le terme constant

Le terme de plus haut degré

Explication

À l’infini, le terme de plus haut degré domine les autres termes du polynôme et détermine sa limite. Le terme constant ne contrôle donc pas le comportement à l’infini.

Question 6

6. Quelle expression permet de déterminer la limite à l’infini de $\frac{3x^4-2x+1}{5x^2+x-7}$ ?

\frac{3x^4}{5x^2}

\frac{-2x}{x}

\frac{1}{-7}

\frac{3x^4-2x+1}{5x^2+x-7}

Explication

Pour une fonction rationnelle, les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur déterminent la limite. Ici, on compare donc $3x^4$ et $5x^2$ , ce qui donne $\frac{3x^4}{5x^2}$ .

Question 7

7. Quelle condition caractérise la continuité de $f$ en un point $a$ ?

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

\lim_{x\to a}f(x)=0

f(a)=0

\lim_{x\to a}f(x)=a

Explication

Une fonction est continue en $a$ lorsque sa limite en ce point coïncide avec sa valeur en ce point. La continuité n’impose pas que cette valeur soit nulle ou égale à $a$ .

Question 8

8. Sur quel ensemble une fonction quotient de fonctions élémentaires est-elle continue ?

Sur l’ensemble des nombres réels

Sur les points où son numérateur s’annule

Sur les points où son dénominateur s’annule

Sur son ensemble de définition

Explication

Un quotient de fonctions élémentaires est continu en chaque point où il est défini, c’est-à-dire lorsque son dénominateur ne s’annule pas. Les points d’annulation du dénominateur sont exclus de son ensemble de définition.

Question 9

9. Que désigne la limite à gauche d’une fonction en $a$ ?

La limite de la fonction lorsque

x

devient infiniment grand

La limite de la restriction de la fonction aux valeurs

x<a

La valeur de la fonction lorsque

x=a

La limite de la restriction de la fonction aux valeurs

x>a

Explication

La limite à gauche examine le comportement de la fonction lorsque $x$ s’approche de $a$ par des valeurs strictement inférieures. La limite à droite correspond, elle, aux valeurs vérifiant $x>a$ .

Question 10

10. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a$ , dans quelle région du domaine faut-il prendre les valeurs de $x$ ?

Dans les valeurs égales à

a

Dans les valeurs strictement supérieures à

a

Dans les valeurs éloignées de

a

dans les deux directions

Dans les valeurs strictement inférieures à

a

Explication

La limite à droite, notée $\lim_{x\to a^+}f(x)$ , utilise les valeurs du domaine telles que $x>a$ . Les valeurs $x<a$ servent à déterminer la limite à gauche.

Question 11

11. Si une fonction n’est pas définie en $a$ , quelle condition assure-t-elle l’existence d’une limite en $a$ ?

Les limites à gauche et à droite existent, même avec des valeurs différentes

La limite à gauche existe et la fonction est croissante près de

a

La fonction possède une valeur finie en

a

et sa limite à gauche existe

Les limites à gauche et à droite existent et ont la même valeur

Explication

Une limite en $a$ existe lorsque les limites latérales existent et coïncident avec une même valeur $l$ . Des limites latérales différentes signalent une discontinuité et ne définissent pas une limite commune.

QCM : Limites et continuité — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la limite de la fonction constante $f(x)=7$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

2. Quelle valeur obtient-on pour $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}$ ?

3. Pour quel comportement de $n$ la limite $\lim_{x\to -\infty}x^n$ vaut-elle $+\infty$ ?

4. Que vaut $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^n}$ pour tout entier naturel non nul $n$ ?

5. Pour déterminer la limite d’un polynôme à l’infini, quel terme faut-il retenir en priorité ?

6. Quelle expression permet de déterminer la limite à l’infini de $\frac{3x^4-2x+1}{5x^2+x-7}$ ?

7. Quelle condition caractérise la continuité de $f$ en un point $a$ ?

8. Sur quel ensemble une fonction quotient de fonctions élémentaires est-elle continue ?

9. Que désigne la limite à gauche d’une fonction en $a$ ?

10. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a$ , dans quelle région du domaine faut-il prendre les valeurs de $x$ ?

11. Si une fonction n’est pas définie en $a$ , quelle condition assure-t-elle l’existence d’une limite en $a$ ?

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QCM : Limites et continuité — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la limite de la fonction constante f(x)=7f(x)=7f(x)=7 lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞ ?

2. Quelle valeur obtient-on pour lim⁡x→0cos⁡x−1x\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}limx→0​xcosx−1​ ?

3. Pour quel comportement de nnn la limite lim⁡x→−∞xn\lim_{x\to -\infty}x^nlimx→−∞​xn vaut-elle +∞+\infty+∞ ?

4. Que vaut lim⁡x→+∞1xn\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^n}limx→+∞​xn1​ pour tout entier naturel non nul nnn ?

5. Pour déterminer la limite d’un polynôme à l’infini, quel terme faut-il retenir en priorité ?

6. Quelle expression permet de déterminer la limite à l’infini de 3x4−2x+15x2+x−7\frac{3x^4-2x+1}{5x^2+x-7}5x2+x−73x4−2x+1​ ?

7. Quelle condition caractérise la continuité de fff en un point aaa ?

8. Sur quel ensemble une fonction quotient de fonctions élémentaires est-elle continue ?

9. Que désigne la limite à gauche d’une fonction en aaa ?

10. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en aaa, dans quelle région du domaine faut-il prendre les valeurs de xxx ?

11. Si une fonction n’est pas définie en aaa, quelle condition assure-t-elle l’existence d’une limite en aaa ?

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1. Quelle est la limite de la fonction constante $f(x)=7$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

2. Quelle valeur obtient-on pour $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}$ ?

3. Pour quel comportement de $n$ la limite $\lim_{x\to -\infty}x^n$ vaut-elle $+\infty$ ?

4. Que vaut $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^n}$ pour tout entier naturel non nul $n$ ?

6. Quelle expression permet de déterminer la limite à l’infini de $\frac{3x^4-2x+1}{5x^2+x-7}$ ?

7. Quelle condition caractérise la continuité de $f$ en un point $a$ ?

9. Que désigne la limite à gauche d’une fonction en $a$ ?

10. Pour étudier la limite à droite d’une fonction en $a$ , dans quelle région du domaine faut-il prendre les valeurs de $x$ ?

11. Si une fonction n’est pas définie en $a$ , quelle condition assure-t-elle l’existence d’une limite en $a$ ?