Fiche de révision : Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Limites de référence
2. Limites à l’infini
3. Continuité en un point
4. Limites à gauche et à droite

📖 1. Limites de référence

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour toute constante réelle c, $\lim_{x\to a}c=\lim_{x\to +\infty}c=\lim_{x\to -\infty}c=c$.

📐 Formule — Les limites usuelles en zéro sont $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}=0$ et $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty}x^n=+\infty$ si n est pair, tandis qu’elle vaut $-\infty$ si n est impair.

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^n}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to 0}x^n=0$.

Compléments

📐 Formule — On a $\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

📖 2. Limites à l’infini

📝 Points essentiels

📌 À l’infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : $\lim_{x\to\pm\infty}(a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0)=\lim_{x\to\pm\infty}a_nx^n$.

📌 À l’infini, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_px^p+\cdots+a_0}{b_qx^q+\cdots+b_0}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_px^p}{b_qx^q}$.

💡 Astuce mémo

Le terme dominant impose le comportement à l’infini.

📖 3. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en a : continue en a si et seulement si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

📝 Points essentiels

📌 Toute somme, tout produit ou tout quotient de fonctions élémentaires est continu en chaque point de son ensemble de définition.

💡 Astuce mémo

Continuité en a : limite égale à f(a), contrairement à une simple limite.

📖 4. Limites à gauche et à droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à gauche : La limite à gauche en a est la limite de la restriction de f aux valeurs de son domaine strictement inférieures à a, notée $\lim_{x\to a^-}f(x)$.
• Limite à droite : La limite à droite en a est la limite de la restriction de f aux valeurs de son domaine strictement supérieures à a, notée $\lim_{x\to a^+}f(x)$.

★ À maîtriser

📌 Si f n’est pas définie en a, elle admet une limite l en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à l.

Compléments

• Pour la fonction définie par morceaux avec f(x)=x²−x+2 si x<1, f(x)=x+1 si x>1 et f(1)=2, les limites à gauche et à droite en 1 valent toutes deux 2 ; ainsi f est continue en 1.

💡 Astuce mémo

À gauche x<a, à droite x>a : les deux limites doivent coïncider.