Fiche de révision : Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Limites de référence
2. Limites des polynômes et rationnelles
3. Limites unilatérales et continuité
4. Prolongement par continuité
5. Opérations et composition des limites
6. Limites et inégalités
7. Méthodes face aux formes indéterminées

📖 1. Limites de référence

★ À maîtriser

• La limite d’une constante c, lorsque x tend vers un réel a, vers +∞ ou vers −∞, vaut c.

📐 Formule — Les limites usuelles vérifient $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}=0$.

📐 Formule — Pour un entier naturel non nul n, $\lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty$ si n est pair et $\lim_{x\to +\infty}x^n=-\infty$ si n est impair.

📐 Formule — Pour n pair, $\lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^n}=+\infty$, tandis que pour n impair, $\lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^n}=-\infty$.

Compléments

📐 Formule — On a $\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

📖 2. Limites des polynômes et rationnelles

📝 Points essentiels

📌 À +∞ comme à −∞, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, $a_nx^n$.

📌 À +∞ comme à −∞, la limite d’une fonction rationnelle se ramène à celle du quotient de ses termes de plus haut degré, $\frac{a_px^p}{b_qx^q}$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, le terme dominant prend le dessus ; pour une fraction, les degrés et coefficients dominants décident.

📖 3. Limites unilatérales et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à gauche : La limite de la restriction de f aux points de son domaine situés dans ]−∞ ; a[
• Limite à droite : La limite de la restriction de f aux points de son domaine situés dans ]a ; +∞[
• Continuité en a : Une fonction f définie sur un intervalle ouvert contenant a est continue en a si et seulement si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

📝 Points essentiels

📌 Une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent et sont égales.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite doivent coïncider pour obtenir une limite ; la continuité ajoute la valeur f(a).

📖 4. Prolongement par continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : La fonction qui coïncide avec f hors de a et qui prend en a la limite finie de f lorsque x tend vers a

★ À maîtriser

• Pour $f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-1}$ définie sur ℝ{1}, on a f(x)=x+2 hors de 1, donc sa limite en 1 vaut 3 et son prolongement par continuité vérifie g(1)=3.

Compléments

• La fonction $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ définie sur ℝ{0} admet un prolongement par continuité en 0 en posant g(0)=1.

💡 Astuce mémo

Limite finie en un point exclu → attribution de cette limite → fonction prolongée continue.

📖 5. Opérations et composition des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite composée : Si $\lim_{x\to a}g(x)=l$ et $\lim_{x\to l}f(x)=l'$, alors $\lim_{x\to a}(f\circ g)(x)=l'$.

★ À maîtriser

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque ces opérations sont déterminées ; le cas ∞−∞ est une forme indéterminée.

• La limite d’un produit est le produit des limites lorsque l’opération est déterminée ; le cas 0×∞ est une forme indéterminée.

• La limite d’un quotient se calcule par le quotient des limites lorsque le dénominateur a une limite non nulle ; les cas 0/0 et ∞/∞ sont indéterminés.

Compléments

📌 Si $\lim_{x\to a}f(x)=l$, alors $\lim_{x\to a}|f(x)|=|l|$ lorsque l est réel, et une limite infinie de f donne une limite +∞ pour |f|.

📖 6. Limites et inégalités

★ À maîtriser

📌 Si f(x)≥g(x) et si les deux fonctions admettent une limite en a, alors $\lim_{x\to a}f(x)\geq\lim_{x\to a}g(x)$.

📌 Si g(x)≤f(x)≤h(x) et si g et h tendent vers la même limite l, alors $\lim_{x\to a}f(x)=l$.

Compléments

• Pour x>0, $-\frac1x<\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x$, donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ par encadrement.

💡 Astuce mémo

La fonction est prise en sandwich entre deux courbes qui convergent vers la même limite.

📖 7. Méthodes face aux formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une expression dont les limites séparées des termes d’une somme, d’un produit ou d’un quotient ne permettent pas de déterminer la limite

★ À maîtriser

• Les quatre formes indéterminées étudiées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac00$ et $\frac{\infty}{\infty}$.

• Pour lever une forme indéterminée, on transforme l’expression par une factorisation ou par multiplication par l’expression conjuguée, puis on applique les limites usuelles.

Compléments

• Pour rationaliser une différence de racines, on multiplie et on divise par l’expression conjuguée afin de transformer l’expression en quotient exploitable.

💡 Astuce mémo

Identifier la forme → transformer l’expression → appliquer les limites connues.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des formes indéterminées