Fiche de révision : Fonctions et fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des fonctions
2. Variations et extrema
3. Signe et parité des fonctions
4. Fonctions affine et carré
5. Racine carrée et comparaisons
6. Fonction inverse et valeur absolue
7. Équations et inéquations avec valeur absolue
8. Fonctions polynômes du second degré

📖 1. Définition et représentation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque réel x de D un unique réel y, noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des réels x pour lesquels f(x) est définie.
• Courbe représentative : Ensemble des points M(x;y) tels que x appartient à Df et y=f(x).

📝 Points essentiels

📌 Si b=f(a), alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.

💡 Astuce mémo

À chaque x de D correspond un unique y=f(x), puis un point de la courbe.

📖 2. Variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Pour tous a et b de I, a<b implique f(a)<f(b).
• Fonction décroissante : Pour tous a et b de I, a<b implique f(a)>f(b).
• Maximum : f(a) est le maximum de f sur D si, pour tout x de D, f(x)≤f(a).
• Minimum : f(a) est le minimum de f sur D si, pour tout x de D, f(x)≥f(a).

💡 Astuce mémo

Croissante : l’ordre est conservé ; décroissante : l’ordre est inversé.

📖 3. Signe et parité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : D est centré en 0 et, pour tout x de D, f(-x)=f(x).
• Fonction impaire : D est centré en 0 et, pour tout x de D, f(-x)=-f(x).

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine.

📖 4. Fonctions affine et carré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction affine s’écrit $f(x)=mx+p$ avec m et p réels.

📌 Pour une fonction affine, m>0 donne une fonction strictement croissante, m<0 une fonction strictement décroissante et m=0 une fonction constante sur ℝ.

📐 Formule — La fonction carré est définie sur ℝ par $f(x)=x^2$ et sa courbe est une parabole de sommet O, l’origine du repère.

• La fonction carré est strictement décroissante sur ]-∞;0] puis strictement croissante sur [0;+∞[.

💡 Astuce mémo

Pour une affine, le signe de m décide du sens de variation ; pour le carré, le sommet est en 0.

📖 5. Racine carrée et comparaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : Définie sur ℝ+ par f(x)=√x et strictement croissante sur ℝ+.

★ À maîtriser

📌 Sur [0;1], x²<x<√x, tandis que sur ]1;+∞[, √x<x<x².

Compléments

📌 Sur ℝ+, les courbes de la fonction carré et de la fonction racine carrée sont symétriques par rapport à la droite y=x, appelée première bissectrice.

💡 Astuce mémo

La courbe de la racine carrée est le reflet de celle du carré dans la première bissectrice.

📖 6. Fonction inverse et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre x et 0 sur la droite des réels.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction inverse est définie sur ℝ* par $f(x)=\frac{1}{x}$, où 0 est exclu.

📌 La fonction inverse est impaire, sa courbe est une hyperbole et elle est strictement décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[.

📌 Pour x≥0, |x|=x, et pour x<0, |x|=-x; ainsi |x|≥0 pour tout réel x.

• La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]-∞;0] puis strictement croissante sur [0;+∞[.

💡 Astuce mémo

L’inverse sépare les deux côtés de 0 ; la valeur absolue replie les nombres négatifs sur les positifs.

📖 7. Équations et inéquations avec valeur absolue

📝 Points essentiels

📌 Si a<0, l’équation |x|=a n’a aucune solution réelle; si a≥0, ses solutions sont x=a et x=-a.

• Pour résoudre |1-2x|=5, on résout 1-2x=5 ou 1-2x=-5, ce qui donne S={-2,3}.

📌 L’inéquation |1-2x|<5 équivaut à -5<1-2x<5 et a pour ensemble solution ]-2;3[.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue : égalité en deux cas, inégalité par encadrement.

📖 8. Fonctions polynômes du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a≠0.

📌 Pour une fonction du second degré, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si a>0, la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum; si a<0, elle est tournée vers le bas et possède un maximum.

• Si a>0, la fonction est strictement décroissante sur ]-∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[; si a<0, les variations sont inversées.

Compléments

• Pour f(x)=-x²+3x-4, le sommet a pour abscisse 3/2 et son ordonnée vaut -7/4; f est croissante sur ]-∞;3/2] puis décroissante sur [3/2;+∞[.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’orientation de la parabole, donc le maximum ou le minimum.

📊 Tableaux de synthèse

Types de symétrie des fonctions