QCM : Fonctions et fonctions de référence — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une fonction définie sur un ensemble DD ?

Elle associe à chaque réel de DD plusieurs réels possibles notés f(x)f(x).
Elle associe à chaque réel obtenu un unique antécédent appartenant à DD.
Elle associe aux seuls nombres positifs de DD un réel noté f(x)f(x).
Elle associe à chaque réel de DD un unique réel noté f(x)f(x).

Elle associe à chaque réel de $$D$$ un unique réel noté $$f(x)$$.

Explication

Une fonction attribue à chaque élément de son ensemble de définition une seule valeur réelle. L’existence de plusieurs valeurs pour un même antécédent ne respecte pas cette définition.

2. Que représente l’ensemble de définition DfD_f d’une fonction ff ?

L’ensemble des réels xx pour lesquels f(x)f(x) est définie.
L’ensemble des réels ayant plusieurs antécédents par ff.
L’ensemble des réels obtenus comme valeurs de f(x)f(x).
L’ensemble des points appartenant à la courbe représentative de ff.

L’ensemble des réels $$x$$ pour lesquels $$f(x)$$ est définie.

Explication

L’ensemble DfD_f regroupe les réels qui peuvent être utilisés comme antécédents dans la fonction. Les valeurs obtenues constituent l’ensemble des images, qui est une notion différente.

3. Si f(a)=bf(a)=b, quelle relation entre aa et bb est correcte ?

aa et bb sont deux images obtenues par la même fonction.
aa et bb sont deux antécédents associés à des valeurs distinctes.
aa est l’image de bb et bb est un antécédent de aa.
bb est l’image de aa et aa est un antécédent de bb.

$$b$$ est l’image de $$a$$ et $$a$$ est un antécédent de $$b$$.

Explication

L’écriture f(a)=bf(a)=b signifie que la fonction transforme l’antécédent aa en l’image bb. Inverser ces rôles conduit à une interprétation incorrecte de l’égalité.

4. Quel point appartient à la courbe représentative CfC_f d’une fonction ff ?

Le point M(x;y)M(x;y) avec y∈Dfy\in D_f et x=f(y)x=f(y).
Le point M(x;y)M(x;y) avec x∈Dfx\in D_f et y=f(x)y=f(x).
Le point M(x;y)M(x;y) lorsque xx et yy sont deux images de ff.
Le point M(x;y)M(x;y) lorsque xx et yy sont deux antécédents.

Le point $$M(x;y)$$ avec $$x\in D_f$$ et $$y=f(x)$$.

Explication

La courbe représentative contient les points dont l’abscisse appartient à l’ensemble de définition et dont l’ordonnée est la valeur correspondante de la fonction. Les coordonnées doivent donc vérifier y=f(x)y=f(x).

5. Pour quels réels aa et bb une fonction est-elle strictement croissante sur un intervalle II ?

Pour tous a,b∈Ia,b\in I, si a<ba<b alors f(a)>f(b)f(a)>f(b).
Pour tous a,b∈Ia,b\in I, si a<ba<b alors f(a)<f(b)f(a)<f(b).
Pour certains a,b∈Ia,b\in I, si a<ba<b alors f(a)<f(b)f(a)<f(b).
Pour tous a,b∈Ia,b\in I, si a<ba<b alors f(a)=f(b)f(a)=f(b).

Pour tous $$a,b\in I$$, si $$a<b$$ alors $$f(a)<f(b)$$.

Explication

La croissance stricte impose que l’ordre des arguments soit conservé avec une inégalité stricte entre les images. La relation f(a)>f(b)f(a)>f(b) décrit au contraire une décroissance stricte.

6. Une fonction strictement décroissante vérifie quelle propriété sur un intervalle II ?

Si a>ba>b dans II, alors f(a)>f(b)f(a)>f(b).
Si a<ba<b dans II, alors f(a)=f(b)f(a)=f(b).
Si a<ba<b dans II, alors f(a)<f(b)f(a)<f(b).
Si a<ba<b dans II, alors f(a)>f(b)f(a)>f(b).

Si $$a<b$$ dans $$I$$, alors $$f(a)>f(b)$$.

Explication

Dans une fonction strictement décroissante, une augmentation de l’argument entraîne une diminution de la valeur. La relation f(a)<f(b)f(a)<f(b) correspond à la croissance stricte.

7. Quelle condition permet d’affirmer que f(a)f(a) est le maximum de ff sur DD ?

Pour tout x∈Dx\in D, f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a).
Pour tout x∈Dx\in D, x≤f(a)x\leq f(a).
Pour tout x∈Dx\in D, f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a).
Il existe un x∈Dx\in D tel que f(x)<f(a)f(x)<f(a).

Pour tout $$x\in D$$, $$f(x)\leq f(a)$$.

Explication

Une valeur est un maximum lorsqu’elle est supérieure ou égale à toutes les valeurs prises par la fonction sur son domaine. La condition inverse caractérise un minimum.

8. Quelle inégalité caractérise un minimum f(a)f(a) de la fonction sur DD ?

Pour tout x∈Dx\in D, x≥f(a)x\geq f(a).
Pour tout x∈Dx\in D, f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a).
Pour tout x∈Dx\in D, f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a).
Il existe un x∈Dx\in D tel que f(x)>f(a)f(x)>f(a).

Pour tout $$x\in D$$, $$f(x)\geq f(a)$$.

Explication

Le minimum est une valeur qui reste inférieure ou égale à toutes les autres valeurs de la fonction sur DD. L’inégalité f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a) correspond plutôt à la définition d’un maximum.

9. Quelle condition caractérise une fonction paire définie sur DD ?

DD est centré en 00 et la courbe est symétrique par rapport à l’origine.
DD est centré en 00 et, pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
DD est centré en 00 et, pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
Pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), sans condition sur DD.

$$D$$ est centré en $$0$$ et, pour tout $$x\in D$$, $$f(-x)=f(x)$$.

Explication

La parité exige à la fois un domaine symétrique par rapport à zéro et l’égalité des valeurs opposées. La relation avec un signe moins caractérise une fonction impaire.

10. Quelle relation définit une fonction impaire sur un domaine DD centré en 00 ?

Pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Pour tout x∈Dx\in D, f(x)=−f(x)f(x)=-f(x).
Pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=f(0)f(-x)=f(0).
Pour tout x∈Dx\in D, f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).

Pour tout $$x\in D$$, $$f(-x)=-f(x)$$.

Explication

Une fonction impaire associe à des arguments opposés des images opposées, ce qui s’écrit f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). L’égalité sans signe moins est la propriété d’une fonction paire.

11. Pour quelle valeur du coefficient directeur la fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+p est-elle constante sur R\mathbb{R} ?

m=0m=0
p=1p=1
p=0p=0
m=1m=1

$$m=0$$

Explication

Lorsque m=0m=0, la fonction devient f(x)=pf(x)=p et garde la même valeur pour tout réel. La valeur de pp modifie cette constante, mais ne détermine pas la variation de la fonction.

12. Quelle propriété caractérise la courbe de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 ?

C’est un cercle dont le centre est l’origine du repère
C’est une parabole dont le sommet est l’origine du repère
C’est une droite dont l’ordonnée à l’origine est l’origine du repère
C’est une hyperbole dont le centre est l’origine du repère

C’est une parabole dont le sommet est l’origine du repère

Explication

La fonction carré est définie par f(x)=x2f(x)=x^2 et sa courbe est une parabole de sommet OO, l’origine du repère. Une hyperbole correspond notamment à la courbe de la fonction inverse.

13. Sur quels intervalles la fonction carré présente-t-elle les variations suivantes : décroissance puis croissance ?

Elle décroît sur ]−∞;0]]-\infty;0] puis croît sur [0;+∞[[0;+\infty[
Elle décroît sur [0;+∞[[0;+\infty[ puis croît sur ]−∞;0]]-\infty;0]
Elle croît sur R\mathbb{R} avec un changement de rythme en 00
Elle croît sur ]−∞;0]]-\infty;0] puis décroît sur [0;+∞[[0;+\infty[

Elle décroît sur $$]-\infty;0]$$ puis croît sur $$[0;+\infty[$$

Explication

Quand xx se rapproche de zéro par les valeurs négatives, x2x^2 diminue, puis il augmente pour les valeurs positives. La fonction carré n’est donc pas croissante sur tout son domaine réel.

14. Quelle affirmation décrit correctement la fonction racine carrée ?

Elle est définie sur R\mathbb{R} et strictement décroissante sur cet ensemble
Elle est définie sur R\mathbb{R} et strictement croissante sur cet ensemble
Elle est définie sur R+\mathbb{R}_+ et strictement décroissante sur cet ensemble
Elle est définie sur R+\mathbb{R}_+ et strictement croissante sur cet ensemble

Elle est définie sur $$\mathbb{R}_+$$ et strictement croissante sur cet ensemble

Explication

La fonction racine carrée associe x\sqrt{x} aux réels positifs ou nuls et elle est strictement croissante sur R+\mathbb{R}_+. La fonction carré, en revanche, est définie sur R\mathbb{R}.

15. Pour un nombre xx appartenant à l’intervalle [0;1][0;1], quel ordre est correct ?

x<x<x2x<\sqrt{x}<x^2
x<x<x2\sqrt{x}<x<x^2
x2<x<xx^2<x<\sqrt{x}
x2<x<xx^2<\sqrt{x}<x

$$x^2<x<\sqrt{x}$$

Explication

Sur [0;1][0;1], élever un nombre au carré le rapproche de zéro, tandis que prendre sa racine carrée l’éloigne de zéro, d’où x2<x<xx^2<x<\sqrt{x}. L’ordre inverse apparaît sur ]1;+∞[]1;+\infty[.

16. Quel est le domaine de définition de la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ?

R\mathbb{R}, y compris le nombre 00
R∗=R∖{0}\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}
R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\}
R+={x∈R∣x≥0}\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 0\}

$$\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Explication

La division par xx est possible lorsque x≠0x\neq0, donc la fonction inverse est définie sur R∗\mathbb{R}^*. Le nombre zéro est exclu, contrairement au domaine de la fonction carré.

17. Quelle description correspond à la fonction inverse sur chacun de ses deux intervalles de définition ?

Elle est paire et strictement décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ ainsi que sur ]0;+∞[]0;+\infty[
Elle est impaire et strictement croissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ ainsi que sur ]0;+∞[]0;+\infty[
Elle est impaire et strictement décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ ainsi que sur ]0;+∞[]0;+\infty[
Elle est paire et strictement croissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ ainsi que sur ]0;+∞[]0;+\infty[

Elle est impaire et strictement décroissante sur $$]-\infty;0[$$ ainsi que sur $$]0;+\infty[$$

Explication

La fonction x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} est impaire et sa courbe est une hyperbole, avec une décroissance sur chacun des deux intervalles séparés par zéro. Elle n’est donc pas paire ni croissante sur ces intervalles.

18. Une personne se déplace de la position −3-3 à la position 00 sur une droite graduée : quelle distance a-t-elle parcourue ?

00 unité, car la position finale est l’origine
−3-3 unités, car la position initiale est négative
3−0=33-0=3 unités, sans utiliser de valeur absolue
∣−3∣=3|-3|=3 unités

$$|-3|=3$$ unités

Explication

La valeur absolue d’un réel représente sa distance à zéro ; ainsi ∣−3∣=3|-3|=3. Le signe négatif indique une position située à gauche de zéro, et non une distance négative.

19. Pour quelles valeurs réelles de aa l’équation ∣x∣=a|x|=a possède-t-elle des solutions ?

Pour a≥0a\ge 0, avec les solutions x=ax=a et x=−ax=-a
Pour a≤0a\le 0, avec les solutions x=ax=a et x=−ax=-a
Pour toute valeur de aa, avec les solutions x=ax=a et x=−ax=-a
Pour a>0a>0, avec la seule solution x=ax=a

Pour $$a\ge 0$$, avec les solutions $$x=a$$ et $$x=-a$$

Explication

Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc l’équation admet des solutions lorsque a≥0a\ge 0, qui sont alors aa et −a-a. L’affirmation selon laquelle a≤0a\le 0 convient inverse la condition et inclut des valeurs négatives impossibles.

20. Quelles sont les solutions de l’équation ∣1−2x∣=5|1-2x|=5 ?

S={−2,3}S=\{-2,3\}
S={2,3}S=\{2,3\}
S={−2,−3}S=\{-2,-3\}
S={−3,2}S=\{-3,2\}

$$S=\{-2,3\}$$

Explication

Il faut résoudre les deux équations 1−2x=51-2x=5 et 1−2x=−51-2x=-5, qui donnent respectivement x=−2x=-2 et x=3x=3. L’ensemble {−3,2}\{-3,2\} résulte d’une résolution incorrecte des signes et des constantes.

21. Quel ensemble décrit les solutions de l’inéquation ∣1−2x∣<5|1-2x|<5 ?

]−3;2[]-3;2[
]−2;3[]-2;3[
]−∞;−2[∪]3;+∞[]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[
[−2;3][-2;3]

$$]-2;3[$$

Explication

L’inéquation équivaut à −5<1−2x<5-5<1-2x<5, ce qui conduit à −2<x<3-2<x<3. L’intervalle fermé inclut à tort les valeurs où la valeur absolue vaut 55, alors que l’inégalité est stricte.

22. Quelle forme caractérise une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a\ne0
f(x)=ax2+cf(x)=ax^2+c avec a=0a=0
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0
f(x)=ax2+bx+cf(x)=\frac{a}{x^2}+bx+c avec a≠0a\ne0

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Explication

Une fonction du second degré comporte un terme en x2x^2 et s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0. Une expression de la forme ax+bax+b est affine et ne contient pas de terme quadratique.

23. Pour la fonction f(x)=2x2−8x+1f(x)=2x^2-8x+1, quelle est l’abscisse du sommet ?

−4-4
−2-2
22
44

$$2$$

Explication

La formule donne α=−b2a=−−82×2=2\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2. Utiliser b2a\frac{b}{2a} sans le signe moins conduirait à −2-2, qui n’est pas l’abscisse correcte.

24. Quel énoncé décrit correctement l’effet du signe de aa sur une parabole de second degré ?

Si a<0a<0, elle est tournée vers le bas et possède un minimum.
Si a<0a<0, elle est tournée vers le haut et possède un minimum.
Si a>0a>0, elle est tournée vers le haut et possède un minimum.
Si a>0a>0, elle est tournée vers le bas et possède un maximum.

Si $$a>0$$, elle est tournée vers le haut et possède un minimum.

Explication

Lorsque a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et son sommet correspond à un minimum. Le cas a<0a<0 produit au contraire une parabole tournée vers le bas avec un maximum.

25. Pour une fonction du second degré dont le coefficient aa est positif et dont le sommet a pour abscisse α\alpha, quelles sont ses variations ?

Elle décroît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[ puis croît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha].
Elle décroît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis croît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[.
Elle croît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis décroît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[.
Elle croît sur ]−∞;α[]-\infty;\alpha[ puis reste constante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[.

Elle décroît sur $$]-\infty;\alpha]$$ puis croît sur $$[\alpha;+\infty[$$.

Explication

Avec a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction diminue jusqu’au sommet, puis augmente après celui-ci. La deuxième description correspond au cas a<0a<0, où les variations sont inversées.

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Mémorisez les réponses avec 44 flashcards sur Fonctions et fonctions de référence.

Qu'est-ce qu'une fonction f définie sur un ensemble D ?

Une fonction associe à chaque réel x de D un unique réel y noté f(x).

Qu'est-ce que l'ensemble de définition Df d'une fonction f ?

C'est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) est définie.

Que signifie b = f(a) pour une fonction f ?

b est l'image de a par f et a est un antécédent de b.

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