QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Question 1

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelles sont les relations définissant sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=-\frac{2a}{b}

et

\beta=f(b)

\alpha=\frac{c}{a}

et

\beta=f(c)

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=f(-\alpha)

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

Explication

La forme canonique utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ comme abscisse du sommet, puis $\beta=f(\alpha)$ comme son ordonnée. L’expression $\frac{b}{2a}$ sans signe opposé ne donne pas l’abscisse correcte en général.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$

Question 2

2. Dans l’expression $f(x)=ax^2+bx+c$ , que représentent les nombres $a$ , $b$ et $c$ ?

Les coordonnées de son sommet

Les points de son axe de symétrie

Les racines de la fonction

Les coefficients du trinôme

Explication

Dans la forme développée, $a$ , $b$ et $c$ sont les coefficients du trinôme. Les coordonnées du sommet sont directement associées à la forme canonique, et non à ces trois coefficients pris séparément.

Answer

Les coefficients du trinôme

Question 3

3. Quelle forme factorisée correspond à une fonction trinôme de coefficient directeur $a$ et de racines $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x-x_1+x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x^2-x_1x_2)

Explication

La forme factorisée s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et fait apparaître directement les deux racines. La forme développée regroupe les termes en puissances de $x$ et ne les met pas aussi explicitement en évidence.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 4

4. Pour la fonction $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle largeur obtient-on entre les deux positions correspondant aux racines ?

1

mètre

40

mètres

38

mètres

39

mètres

Explication

Les racines sont les positions $x=1$ et $x=39$ , donc la largeur considérée est leur distance, soit $39+1=40$ mètres dans cette modélisation. Les valeurs $1$ et $39$ sont des positions et ne constituent pas directement la largeur.

Answer

$$40$$ mètres

Question 5

5. Dans le modèle des haies associé à $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle grandeur représente la valeur $18,05$ mètres ?

La hauteur maximale des haies

La profondeur du point d’ancrage

La largeur totale entre les deux racines

La durée correspondant au sommet de la trajectoire

Explication

La forme canonique permet d’identifier une hauteur maximale de $18,05$ mètres. La largeur entre les racines vaut $40$ mètres, ce qui correspond à une autre grandeur du modèle.

Answer

La hauteur maximale des haies

Question 6

6. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sous forme développée ?

f(x)=mx+p

avec

m\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

avec

a=0

f(x)=\frac{a}{x}+b

avec

a\ne0

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ , où les coefficients sont réels et où $a\ne0$ . La condition $a\ne0$ garantit que le terme de degré 2 est présent.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Question 7

7. Quelle description associe correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

Le sommet est

S(\beta;\alpha)

et l’axe est

y=\alpha

Le sommet est

S(\alpha;\beta)

et l’axe est

y=\beta

Le sommet est

S(\beta;\alpha)

et l’axe est

x=\beta

Le sommet est

S(\alpha;\beta)

et l’axe est

x=\alpha

Explication

Dans la forme canonique, $\alpha$ est l’abscisse et $\beta$ l’ordonnée du sommet, qui est donc $S(\alpha;\beta)$ . L’axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x=\alpha$ , et non une droite horizontale.

Answer

Le sommet est $$S(\alpha;\beta)$$ et l’axe est $$x=\alpha$$

Question 8

8. Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient $a<0$ dans sa forme développée. Comment évolue-t-elle lorsque $x$ augmente ?

Elle croît puis décroît

Elle décroît puis croît

Elle croît à vitesse constante

Elle reste constante puis croît

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas : la fonction croît jusqu’à son sommet, puis décroît. Le comportement décroissant puis croissant correspond au cas $a>0$ .

Answer

Elle croît puis décroît

Question 9

9. Que représentent les racines d’une fonction trinôme sur sa courbe représentative ?

Les coefficients qui déterminent l’ouverture de la parabole

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

Les ordonnées du sommet où la fonction atteint sa valeur extrême

Les coordonnées du point où la courbe rencontre l’axe des ordonnées

Explication

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$ , ce qui correspond à une intersection avec l’axe des abscisses. Le sommet indique quant à lui une valeur extrême de la fonction, et non une racine en général.

Answer

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

Question 10

10. Quelle écriture d’un trinôme met directement en évidence ses racines ?

La forme réduite

La forme développée

La forme factorisée

La forme canonique

Explication

La forme factorisée présente le trinôme comme un produit de facteurs, ce qui permet d’identifier directement les valeurs qui annulent la fonction. La forme développée fait apparaître les coefficients, mais pas directement les racines.

Answer

La forme factorisée

Question 11

11. Qu’observe-t-on en comparant les fonctions $f(x)=x^2+2x-8$ , $g(x)=(x-4)(x+2)$ et $h(x)=(x-1)^2-9$ ?

Elles ont des sommets tous différents

Elles ont des degrés de polynôme différents

Elles représentent la même parabole

Elles représentent trois droites distinctes

Explication

Ces trois expressions sont trois écritures différentes d’une même fonction polynôme de degré 2, donc elles représentent la même parabole. Leurs formes développée, factorisée et canonique fournissent des informations différentes sur cette courbe.

Answer

Elles représentent la même parabole

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelles sont les relations définissant sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

2. Dans l’expression $f(x)=ax^2+bx+c$ , que représentent les nombres $a$ , $b$ et $c$ ?

3. Quelle forme factorisée correspond à une fonction trinôme de coefficient directeur $a$ et de racines $x_1$ et $x_2$ ?

4. Pour la fonction $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle largeur obtient-on entre les deux positions correspondant aux racines ?

5. Dans le modèle des haies associé à $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle grandeur représente la valeur $18,05$ mètres ?

6. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sous forme développée ?

7. Quelle description associe correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

8. Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient $a<0$ dans sa forme développée. Comment évolue-t-elle lorsque $x$ augmente ?

9. Que représentent les racines d’une fonction trinôme sur sa courbe représentative ?

10. Quelle écriture d’un trinôme met directement en évidence ses racines ?

11. Qu’observe-t-on en comparant les fonctions $f(x)=x^2+2x-8$ , $g(x)=(x-4)(x+2)$ et $h(x)=(x-1)^2-9$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0, quelles sont les relations définissant sa forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

2. Dans l’expression f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, que représentent les nombres aaa, bbb et ccc ?

3. Quelle forme factorisée correspond à une fonction trinôme de coefficient directeur aaa et de racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

4. Pour la fonction f(x)=−0,05(x−1)(x−39)f(x)=-0,05(x-1)(x-39)f(x)=−0,05(x−1)(x−39), quelle largeur obtient-on entre les deux positions correspondant aux racines ?

5. Dans le modèle des haies associé à f(x)=−0,05(x−1)(x−39)f(x)=-0,05(x-1)(x-39)f(x)=−0,05(x−1)(x−39), quelle grandeur représente la valeur 18,0518,0518,05 mètres ?

6. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sous forme développée ?

7. Quelle description associe correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

8. Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient a<0a<0a<0 dans sa forme développée. Comment évolue-t-elle lorsque xxx augmente ?

9. Que représentent les racines d’une fonction trinôme sur sa courbe représentative ?

10. Quelle écriture d’un trinôme met directement en évidence ses racines ?

11. Qu’observe-t-on en comparant les fonctions f(x)=x2+2x−8f(x)=x^2+2x-8f(x)=x2+2x−8, g(x)=(x−4)(x+2)g(x)=(x-4)(x+2)g(x)=(x−4)(x+2) et h(x)=(x−1)2−9h(x)=(x-1)^2-9h(x)=(x−1)2−9 ?

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1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelles sont les relations définissant sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

2. Dans l’expression $f(x)=ax^2+bx+c$ , que représentent les nombres $a$ , $b$ et $c$ ?

3. Quelle forme factorisée correspond à une fonction trinôme de coefficient directeur $a$ et de racines $x_1$ et $x_2$ ?

4. Pour la fonction $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle largeur obtient-on entre les deux positions correspondant aux racines ?

5. Dans le modèle des haies associé à $f(x)=-0,05(x-1)(x-39)$ , quelle grandeur représente la valeur $18,05$ mètres ?

7. Quelle description associe correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

8. Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient $a<0$ dans sa forme développée. Comment évolue-t-elle lorsque $x$ augmente ?

11. Qu’observe-t-on en comparant les fonctions $f(x)=x^2+2x-8$ , $g(x)=(x-4)(x+2)$ et $h(x)=(x-1)^2-9$ ?