Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes d’un trinôme
2. Forme développée
3. Forme canonique et variations
4. Forme factorisée et racines
5. Applications numériques

📖 1. Formes d’un trinôme

★ À maîtriser

📌 Une même fonction polynôme de degré 2 peut être écrite sous forme développée, canonique ou factorisée, chaque écriture donnant des renseignements différents sur sa courbe représentative.

Compléments

• Les fonctions $f(x)=x^2+2x-8$, $g(x)=(x-4)(x+2)$ et $h(x)=(x-1)^2-9$ représentent la même parabole.

💡 Astuce mémo

Développée : coefficients visibles ; factorisée : racines visibles ; canonique : sommet visible.

📖 2. Forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression peut s’écrire $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ réels et $a\ne0$
• Forme développée : La forme $f(x)=ax^2+bx+c$ est appelée la forme développée du trinôme, et $a$, $b$ et $c$ sont ses coefficients.

📖 3. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme de degré 2 définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ admet une forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe de symétrie la droite d’équation $x=\alpha$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction décroît puis croît ; si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et la fonction croît puis décroît.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine le sens des variations et l’ouverture de la parabole.

📖 4. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : Les racines d’une fonction trinôme sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$, c’est-à-dire les abscisses des points où sa courbe coupe l’axe des abscisses.
• Forme factorisée : Lorsqu’une fonction trinôme possède les racines $x_1$ et $x_2$, elle admet la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $f(x)=0$ à partir de $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on utilise le produit nul : $x-x_1=0$ ou $x-x_2=0$, d’où $x=x_1$ ou $x=x_2$.

💡 Astuce mémo

Les deux racines sont les deux points où la parabole rencontre l’axe des abscisses.

📖 5. Applications numériques

★ À maîtriser

• Pour $f(x)=-0{,}05(x-1)(x-39)$, les racines sont $x=1$ et $x=39$, donc la largeur des haies est de $39+1=40$ mètres.

• Pour la même fonction, la forme canonique donne une hauteur de haies de $18{,}05$ mètres.

Compléments

• Pour $f(x)=-0{,}05x^2-2x-1{,}95$, on obtient $f(0)=-1{,}95$, ce qui indique que le point d’ancrage se trouve à $1{,}95$ mètre de profondeur.

• Pour $h(t)=-5t^2+20t+1{,}6$, on identifie $a=-5$ et $b=20$, puis $\alpha=-\frac{b}{2a}=2$ et $\beta=h(\alpha)=21{,}6$.

💡 Astuce mémo

Forme canonique → hauteur maximale ; forme factorisée → racines ; forme développée → valeur en zéro.

📊 Tableaux de synthèse

Les trois formes du trinôme