Fiche de révision : Nombres entiers et relatifs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles N et Z
2. Divisibilité et parité
3. Nombres premiers et critères
4. PGCD, PPCM et fractions
5. Opérations sur les relatifs
6. Valeur absolue et distances

📖 1. Ensembles N et Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers positifs ou nuls et forment l’ensemble N.
• Entiers relatifs : Les entiers positifs, négatifs et zéro, et forment l’ensemble Z.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ce qui se note $N \subset Z$.

Compléments

• Quand un énoncé parle d’un entier sans adjectif particulier, cet entier est considéré comme relatif.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs ou nuls, tandis que Z contient aussi les négatifs.

📖 2. Divisibilité et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour deux entiers a et b tels que a ≥ b, a est divisible par b s’il existe un entier k tel que $a=k\times b$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout nombre pair s’écrit $n=2k$ avec k entier, tandis que tout nombre impair s’écrit $n=2k+1$ avec k entier.

• Pour trouver les diviseurs d’un entier naturel n, on teste sa divisibilité par 1, 2, 3, 4 et les entiers suivants jusqu’à atteindre $\sqrt n$.

Compléments

• L’égalité $14=7\times2$ montre que 14 est un multiple de 7 et de 2, tandis que 7 et 2 sont des diviseurs de 14.

• Les diviseurs naturels de 54 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54, tandis que ses diviseurs relatifs comprennent aussi leurs opposés négatifs.

💡 Astuce mémo

Divisibilité par 2 → écriture paire n=2k ou impaire n=2k+1.

📖 3. Nombres premiers et critères

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; et par 10 si son chiffre des unités est 0.

• Pour vérifier qu’un entier est premier, on teste sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée ; s’il n’est divisible par aucun, il est premier.

Compléments

• Les huit premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

💡 Astuce mémo

Tester les diviseurs premiers jusqu’à √n.

📖 4. PGCD, PPCM et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels non nuls.
• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux entiers naturels non nuls.

★ À maîtriser

• Pour 198=2×3²×11 et 300=2²×3×5², on obtient PGCD(198;300)=2×3**=6** et PPCM(198;300)=2²×3²×5²×11**=9900**.

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur en utilisant le PPCM des dénominateurs, puis on simplifie si nécessaire.

Compléments

📌 Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1, c’est-à-dire s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

💡 Astuce mémo

PGCD : facteurs communs aux plus petites puissances ; PPCM : tous les facteurs aux plus grandes puissances.

📖 5. Opérations sur les relatifs

📝 Points essentiels

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres relatifs de signes opposés est négatif.

• La somme de deux relatifs négatifs est négative et la somme de deux relatifs positifs est positive, tandis que la somme d’un positif et d’un négatif n’a pas de signe déterminé à l’avance.

• Le carré d’un nombre négatif est positif, car $(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$, tandis que l’opposé de son carré est négatif, car $-2^2=-2\times2=-4$.

• Les priorités de calcul imposent d’effectuer les parenthèses avant les multiplications et les multiplications avant les additions ou soustractions.

💡 Astuce mémo

Même signe pour un produit → positif ; signes opposés → négatif.

📖 6. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La distance entre 0 et a sur une droite graduée ; elle est toujours positive.
• Distance entre deux nombres : Pour deux nombres réels a et b, $|a-b|$ est la distance entre a et b sur une droite graduée et son résultat est positif.

★ À maîtriser

📌 Si a est positif, alors $|a|=a$ ; si a est négatif, alors $|a|=-a$.

Compléments

• La distance entre -2 et 6 vaut $|-2-6|=8$, tandis que la distance entre 4 et 7 vaut $|7-4|=3$.

• Comme π≈3,14, on a $|π-3|=π-3$ et $|π-5|=-(π-5)=-π+5$.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, la valeur absolue mesure la distance jusqu’à zéro.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM