Fiche de révision : Limites et continuité

📋 Plan du Cours

1. Limites finies à l’infini
2. Limites infinies à l’infini
3. Limites au voisinage d’un réel
4. Opérations sur les limites
5. Comparaison et croissances
6. Composition des fonctions

📖 1. Limites finies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en l’infini : si, pour tout ε > 0, il existe un réel A tel que, pour tout x > A, f(x) appartient à l’intervalle ]L − ε ; L + ε[.

★ À maîtriser

• Lorsque $\lim_{x\to +\infty} f(x)=L$, la droite d’équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

Compléments

📐 Formule — Les fonctions de référence vérifient $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$, $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^k}=0$ pour k ∈ N*, $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x}=0$.

💡 Astuce mémo

Une courbe se rapproche d’une droite horizontale y = L quand x avance vers l’infini

📖 2. Limites infinies à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie à l’infini : si, pour tout réel M, f(x) appartient à ]M ; +∞[ pour x assez grand.

💡 Astuce mémo

Valeurs qui dépassent tout M vers +∞, ou qui descendent sous tout m vers −∞

📖 3. Limites au voisinage d’un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en a : si, pour tout réel M, f(x) appartient à ]M ; +∞[ pour tout x suffisamment proche de a.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction $\frac{1}{x}$ vérifie $\lim_{x\to 0,\ x<0}\frac{1}{x}=-\infty$ et $\lim_{x\to 0,\ x>0}\frac{1}{x}=+\infty$.

📌 Une limite à gauche s’obtient lorsque x approche a par des valeurs inférieures, tandis qu’une limite à droite s’obtient lorsque x approche a par des valeurs supérieures.

Compléments

📐 Formule — La fonction définie par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur ]0 ; +∞[ vérifie $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite de a, la limite peut être différente

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque cette opération est déterminée ; par exemple, l + l' donne l + l', tandis que +∞ + (−∞) est une forme indéterminée.

• La limite d’un produit est le produit des limites lorsque l’opération est déterminée ; notamment, une limite non nulle multipliée par une limite infinie donne une limite infinie, tandis que 0 multiplié par l’infini est une forme indéterminée.

• La limite d’un quotient est le quotient des limites lorsque le dénominateur a une limite non nulle ; lorsque le dénominateur tend vers 0, son signe doit être étudié pour déterminer si le quotient tend vers +∞ ou −∞.

Compléments

📌 Une fonction polynôme non nulle a en −∞ et en +∞ la même limite que son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle non nulle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

💡 Astuce mémo

Somme, produit et quotient se calculent directement sauf dans les formes indéterminées

📖 5. Comparaison et croissances

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’exponentielle domine les puissances en +∞ : pour tout n ∈ N*, $\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

📐 Formule — En −∞, l’exponentielle domine les puissances au sens où, pour tout n ∈ N*, $\lim_{x\to -\infty}x^n e^x=0$.

📌 Si f(x) ≥ g(x) et si g tend vers +∞ en +∞, alors f tend vers +∞ ; si f tend vers −∞, alors g tend vers −∞.

• Le théorème des gendarmes affirme que si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h ont la même limite L en a, alors g a aussi pour limite L en a.

💡 Astuce mémo

Encadrement ou domination → détermination de la limite

📖 6. Composition des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : Si f(x) tend vers β quand x tend vers α et si g(x) tend vers γ quand x tend vers β, alors la fonction composée g∘f(x)=g(f(x)) tend vers γ quand x tend vers α.

📝 Points essentiels

📌 Si une suite (Vn) tend vers β et si f tend vers γ quand x tend vers β, alors la suite (f(Vn)) tend vers γ quand n tend vers +∞.

• Pour composer deux fonctions, il faut que f soit définie sur l’intervalle considéré, que g soit définie au voisinage de la limite β de f et que f(x) appartienne à l’ensemble de définition de g.

💡 Astuce mémo

f(x) tend vers β, puis g(u) tend vers γ : g(f(x)) tend vers γ

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites

Croissances comparées