QCM : Limites et continuité — 16 questions

Explication

Une limite finie signifie que les valeurs de la fonction se rapprochent de $L$ à moins de $\varepsilon$ près lorsque $x$ devient suffisamment grand. Le dépassement de toute borne décrit plutôt une limite infinie, et non un rapprochement vers une valeur réelle.

Explication

Lorsque la fonction tend vers la valeur finie $3$ en $+\infty$, la courbe se rapproche de la droite horizontale $y=3$. La droite $x=3$ est verticale, tandis que les deux autres droites ne correspondent pas à cette limite.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que la fonction finit par dépasser toute borne réelle $M$ lorsque $x$ devient suffisamment grand. Un rapprochement vers une valeur fixe ou vers zéro correspond à une limite finie.

Explication

La condition donnée est précisément la définition de la limite $+\infty$ en $+\infty$. Une limite finie impose un rapprochement vers une valeur réelle, tandis qu’ici les valeurs dépassent toute borne.

Explication

La limite $+\infty$ au voisinage de $a$ signifie que les valeurs de $f(x)$ dépassent toute borne $M$ lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$. Cette définition porte sur les valeurs de la fonction près de $a$, et non sur l’existence d’une valeur en $a$.

Explication

Une approche par la gauche utilise des valeurs de $x$ inférieures à $a$, tandis qu’une approche par la droite utilise des valeurs supérieures à $a$. Le signe de la limite n’est pas ce qui définit cette distinction.

Explication

Pour des valeurs négatives de $x$ proches de zéro, $\frac{1}{x}$ devient très négatif; pour des valeurs positives, elle devient très grande et positive. Les limites latérales sont donc respectivement $-\infty$ et $+\infty$.

Explication

La somme de deux limites infinies de signes opposés, $+\infty+(-\infty)$, est une forme indéterminée. En revanche, deux limites égales à $+\infty$ donneraient une somme tendant vers $+\infty$.

Explication

Une limite finie non nulle multipliée par une limite infinie donne une limite infinie, avec un signe déterminé par les signes des facteurs. La forme indéterminée correspond plutôt au produit $0\times\infty$.

Explication

Lorsque le dénominateur tend vers zéro tandis que le numérateur tend vers une valeur non nulle, le signe du dénominateur permet de distinguer une limite $+\infty$ d’une limite $-\infty$. Le degré des fonctions ne constitue pas ici le critère décisif.

Explication

Une fonction située au-dessus d’une fonction qui tend vers $+\infty$ tend elle-même vers $+\infty$. La transmission vers $-\infty$ s’effectue dans l’autre sens : si $f\geq g$ et $f\to-\infty$, alors $g\to-\infty$.

Explication

Le théorème des gendarmes impose que les deux fonctions qui encadrent $g$ aient la même limite $L$ en $a$, ce qui force alors $g$ à tendre vers $L$. Une seule inégalité ne fournit pas cet encadrement suffisant.

Explication

En $+\infty$, la croissance exponentielle domine toute puissance, donc $\frac{e^x}{x^n}\to+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. La limite n’est donc pas nulle, même lorsque le degré de la puissance augmente.

Explication

Lorsque $x\to-\infty$, l’exponentielle décroît assez rapidement pour compenser toute puissance de $x$, d’où $x^n e^x\to0$. Le signe éventuel de la puissance ne change pas cette limite.

Explication

La fonction intérieure $f$ rapproche son argument de $\beta$, puis la fonction $g$ transforme cette proximité en une valeur tendant vers $\gamma$. La limite de la composée est donc déterminée par la limite de $g$ au voisinage de $\beta$, et non par celle de $f$ seule.

Explication

Pour calculer $g(f(x))$, il faut que la valeur produite par $f$ soit autorisée comme argument de $g$. Le partage d’un intervalle commun ou l’égalité des limites n’est pas une condition générale de définition de la composée.