Fiche de révision : Limites et récurrence des suites

📋 Plan du Cours

1. Définitions des limites finies et infinies
2. Suites divergentes et limites usuelles
3. Opérations sur les limites
4. Théorème des gendarmes et comparaison
5. Suites monotones et convergence
6. Suites géométriques et limites
7. Définitions et variations des suites
8. Suites arithmétiques et géométriques
9. Principe du raisonnement par récurrence
10. Applications de la récurrence

📖 1. Définitions des limites finies et infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : a pour limite le réel l quand tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes u_n à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La condition équivalente à la convergence de u_n vers l est : pour tout ε>0, il existe un rang p tel que, pour tout n≥p, $|u_n-l|<\varepsilon$.

💡 Astuce mémo

Limite finie : se rapprocher d’un nombre ; limite infinie : dépasser tout seuil.

📖 2. Suites divergentes et limites usuelles

📝 Points essentiels

• Des exemples de suites sans limite sont:
  • (-1)^n
  • (-3)^n
  • cos n
  • sin n

📐 Formule — Pour tout entier naturel p non nul, $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^p}=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n}=0$.

📖 3. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : Deux suites (u_n) et (v_n) ont le même ordre de grandeur lorsque leur quotient tend vers un nombre réel non nul.

★ À maîtriser

📌 Les formes +∞−∞, 0×∞, +∞/+∞ et 0/0 sont indéterminées et ne permettent pas de conclure sans une étude supplémentaire.

📌 Si u_n tend vers un réel l et v_n tend vers un réel l', alors u_n+v_n tend vers l+l' et u_nv_n tend vers ll'.

Compléments

📌 Si u_n tend vers un réel non nul l et v_n tend vers 0 en restant positive, alors u_n/v_n tend vers +∞ si l>0 et vers −∞ si l<0.

💡 Astuce mémo

Somme et produit se calculent sauf dans les formes indéterminées.

📖 4. Théorème des gendarmes et comparaison

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, v_n≤u_n≤w_n et si v_n et w_n tendent vers l, alors u_n tend vers l.

Compléments

📌 Si u_n est positive à partir d’un certain rang et tend vers +∞, alors √u_n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Une suite enfermée entre deux barrières qui convergent finit au même endroit.

📖 5. Suites monotones et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée par M si, à partir d’un certain rang, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M.
• Suite monotone : Une suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

📌 Toute suite croissante et majorée converge vers un réel l inférieur ou égal à sa majoration M.

📌 Toute suite décroissante et minorée converge vers un réel l supérieur ou égal à sa minoration m.

💡 Astuce mémo

Monotonie + bornage → convergence ; monotonie sans borne → divergence infinie.

📖 6. Suites géométriques et limites

★ À maîtriser

• La limite de q^n dépend de q:
  • q>1 : q^n tend vers +∞
  • q=1 : q^n tend vers 1
  • −1<q<1 : q^n tend vers 0
  • q≤−1 : q^n n’a pas de limite

Compléments

• Pour u_0=2 et u_{n+1}=2u_n+5, la suite v_n=u_n+5 vérifie v_{n+1}=2v_n, donc v_n=7×2^n et u_n=7×2^n−5, qui tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Pour q^n, q>1 pousse vers +∞, tandis que |q|<1 pousse vers 0.

📖 7. Définitions et variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une fonction définie sur N ou une partie de N et à valeurs dans R.

📝 Points essentiels

📌 Une suite explicite donne directement u_n=f(n), tandis qu’une suite définie par récurrence donne un premier terme et une relation permettant de calculer le terme suivant.

📌 Pour étudier les variations d’une suite, on peut étudier le signe de u_{n+1}−u_n, comparer u_{n+1}/u_n à 1 lorsque les termes sont positifs, ou utiliser les variations de f si u_n=f(n).

💡 Astuce mémo

Explicite : rang → terme ; récurrente : terme → terme suivant.

📖 8. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout n, u_{n+1}=u_n+r ; r est sa raison.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout n, u_{n+1}=qu_n ; q est sa raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $u_n=u_p+(n-p)r$ et, en particulier, $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique, $u_n=u_pq^{n-p}$ et, en particulier, $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 9. Principe du raisonnement par récurrence

📝 Points essentiels

• Pour démontrer une propriété P(n) par récurrence à partir du rang n_0, il faut l’initialiser en vérifiant P(n_0), démontrer l’hérédité P(k)⇒P(k+1), puis conclure que P(n) est vraie pour tout n≥n_0.

• Le principe de récurrence s’applique à une propriété dépendant d’un entier naturel n et permet de l’étendre à tous les entiers n≥n_0 lorsque l’initialisation et l’hérédité sont vérifiées.

💡 Astuce mémo

Comme des dominos : l’initialisation fait tomber le premier, l’hérédité propage la chute.

📖 10. Applications de la récurrence

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel a≥0 et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n\ge 1+na$.

Compléments

• Une récurrence montre que 4^n−1 est un multiple de 3 pour tout entier naturel n.

📊 Tableaux de synthèse

Limites des puissances q^n