Quelle est la définition d'une limite finie pour une suite (u_n) ?
La suite (u_n) a pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les u_n à partir d’un certain rang.
Quelle condition exprime la convergence de u_n vers l avec ε et p ?
Pour tout ε>0, il existe un rang p tel que pour tout n≥p, .
Donnez un exemple de suite sans limite parmi (-1)^n, (-3)^n, cos n, sin n.
Toutes ces suites n'ont pas de limite.
Quelle est la limite de quand pour ?
La limite est 0.
Quelle est la limite de quand ?
La limite est 0.
Quelles formes sont indéterminées en limites ?
Les formes +∞−∞, 0×∞, +∞/+∞ et 0/0 sont indéterminées.
Que conclut-on si u_n tend vers l et v_n vers l' réels ?
u_n+v_n tend vers l+l' et u_nv_n tend vers ll'.
Que vaut la limite de u_n/v_n si u_n→l≠0 et v_n→0^+ avec l>0 ?
La limite est +∞.
Quand deux suites ont-elles le même ordre de grandeur ?
Quand leur quotient tend vers un nombre réel non nul.
Qu'impose la relation entre v_n, u_n et w_n pour appliquer le théorème des gendarmes ?
À partir d’un certain rang, v_n ≤ u_n ≤ w_n.
Que se passe-t-il si v_n et w_n tendent vers l et encadrent u_n ?
Alors u_n tend aussi vers l.
Que vaut la limite de √u_n si u_n est positive et tend vers +∞ ?
La limite de √u_n est +∞.
Qu'impose une suite majorée par M à partir d'un certain rang ?
Tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M.
Quand une suite est-elle dite monotone ?
Lorsqu'elle est croissante ou décroissante.
Que garantit une suite croissante et majorée ?
Elle converge vers un réel l inférieur ou égal à M.
Que garantit une suite décroissante et minorée ?
Elle converge vers un réel l supérieur ou égal à m.
Que vaut la limite de si ?
tend vers si .
Que vaut la limite de si ?
tend vers 0 si .
Que vaut la limite de si ?
La suite n'a pas de limite si .
Quelle forme explicite a la suite définie par et ?
.
Vers quelle limite tend la suite ?
La suite tend vers .
Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
Une fonction définie sur N ou une partie de N à valeurs dans R.
Quelle différence y a-t-il entre une suite explicite et une suite définie par récurrence ?
La suite explicite donne directement u_n=f(n), la suite par récurrence donne un terme initial et une relation pour le terme suivant.
Comment peut-on étudier les variations d'une suite numérique ?
En étudiant le signe de , le rapport si positif, ou les variations de f si u_n=f(n).
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite où avec réel.
Quelle formule donne dans une suite arithmétique ?
.
Quelle formule exprime la somme des termes à d'une suite arithmétique ?
.
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite où avec réel.
Quelle formule donne dans une suite géométrique ?
.
Quelles sont les étapes pour démontrer P(n) par récurrence à partir de n_0 ?
Initialiser P(n_0), démontrer l'hérédité P(k)⇒P(k+1), puis conclure pour tout n≥n_0.
À quelles propriétés s'applique le principe de récurrence ?
À une propriété dépendant d'un entier naturel n.
Que permet le principe de récurrence une fois l'initialisation et l'hérédité vérifiées ?
D'étendre la propriété à tous les entiers n≥n_0.
Quelle est l'inégalité de Bernoulli pour tout réel a≥0 et entier naturel n ?
Que montre une récurrence sur 4^n−1 pour tout entier naturel n ?
C'est un multiple de 3.
Teste tes connaissances avec un QCM de 25 questions sur Limites et récurrence des suites.
1. Quelle condition caractérise la limite réelle d’une suite ?
2. Quelle formulation traduit rigoureusement la convergence de vers ?
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