QCM : Limites et récurrence des suites — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise la limite réelle ll d’une suite (un)\left(u_n\right) ?

Les termes unu_n sont égaux à ll dès qu’un rang suffisamment grand est atteint.
Tout intervalle ouvert contenant ll contient les termes unu_n à partir d’un certain rang.
La distance entre chaque terme unu_n et ll reste constante à partir d’un certain rang.
Tout intervalle fermé contenant ll contient une infinité de termes unu_n.

Tout intervalle ouvert contenant $$l$$ contient les termes $$u_n$$ à partir d’un certain rang.

Explication

Une suite converge vers ll lorsque tout intervalle ouvert contenant ll contient tous ses termes à partir d’un certain rang. L’égalité exacte avec ll n’est pas requise : les termes doivent seulement se trouver dans tout voisinage ouvert de cette valeur.

2. Quelle formulation traduit rigoureusement la convergence de (un)\left(u_n\right) vers ll ?

Il existe un nombre ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout n≥pn\ge p, ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, les premiers termes vérifient ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon avant un rang fixé.
Pour tout n≥pn\ge p, on a ∣un−l∣=ε|u_n-l|=\varepsilon pour un certain ε>0\varepsilon>0.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un rang pp tel que, pour tout n≥pn\ge p, ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe un rang $$p$$ tel que, pour tout $$n\ge p$$, $$|u_n-l|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence exige que, pour chaque précision ε>0\varepsilon>0, tous les termes suffisamment éloignés dans la suite soient à une distance inférieure à ε\varepsilon de ll. Une simple proximité non quantifiée ou une condition portant sur les premiers termes ne suffit pas.

3. Laquelle de ces suites n’admet pas de limite lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

(1n)\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)
(3n)\left(\frac{3}{n}\right)
(1n2)\left(\frac{1}{n^2}\right)
((−1)n)\left((-1)^n\right)

$$\left((-1)^n\right)$$

Explication

La suite ((−1)n)\left((-1)^n\right) alterne entre −1-1 et 11 et ne se rapproche donc pas d’une valeur unique. Les trois autres suites sont des inverses de puissances ou de racines de nn et tendent vers 00.

4. Quelle limite obtient-on pour la suite définie par un=1n3u_n=\frac{1}{n^3} lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

00
+∞+\infty
11
La limite n’existe pas à cause de l’exposant 33.

$$0$$

Explication

Pour tout entier naturel non nul pp, la suite 1np\frac{1}{n^p} tend vers 00 ; ici, on prend p=3p=3. La confusion fréquente consiste à appliquer la limite de npn^p, qui tend vers +∞+\infty, à son inverse.

5. Que peut-on conclure directement de la forme +∞+∞\frac{+\infty}{+\infty} apparaissant dans le calcul d’une limite ?

La forme est indéterminée et nécessite une étude supplémentaire.
La limite vaut nécessairement +∞+\infty puisque le numérateur diverge.
La limite vaut nécessairement 00 puisque le dénominateur devient très grand.
La limite vaut nécessairement 11 puisque les deux termes divergent de la même manière.

La forme est indéterminée et nécessite une étude supplémentaire.

Explication

La forme +∞+∞\frac{+\infty}{+\infty} est indéterminée : elle ne permet pas de connaître la limite sans comparer plus précisément le numérateur et le dénominateur. Une forme indéterminée ne fournit donc pas directement une valeur comme 11, +∞+\infty ou 00.

6. Si un→2u_n\to 2 et vn→−3v_n\to -3, vers quelle valeur tend le produit unvnu_nv_n ?

−6-6
Le produit n’a pas de limite car les deux suites ont des signes différents.
66
−1-1

$$-6$$

Explication

Le produit de deux suites convergeant vers des réels finis converge vers le produit de leurs limites, donc vers 2×(−3)=−62\times(-3)=-6. L’indétermination concerne notamment le produit d’une suite tendant vers 00 et d’une suite tendant vers l’infini, pas deux limites finies.

7. Si, à partir d’un certain rang, vn≤un≤wnv_n\leq u_n\leq w_n et si vnv_n et wnw_n convergent vers le même réel ll, que peut-on conclure pour unu_n ?

La suite unu_n diverge vers +∞+\infty.
La suite unu_n est majorée par ll.
La suite unu_n converge vers la moyenne de vnv_n et wnw_n.
La suite unu_n converge vers ll.

La suite $$u_n$$ converge vers $$l$$.

Explication

Le théorème des gendarmes impose à unu_n la même limite que les deux suites qui l’encadrent. Une simple majoration par une suite ne suffit pas à déterminer la limite de unu_n.

8. Quelle situation permet d’appliquer le théorème des gendarmes à une suite unu_n ?

Deux suites encadrent unu_n et convergent vers une même limite.
La suite unu_n est croissante et possède un premier terme positif.
Deux suites minorent unu_n et convergent vers des limites différentes.
Une seule suite majore unu_n et diverge vers +∞+\infty.

Deux suites encadrent $$u_n$$ et convergent vers une même limite.

Explication

L’encadrement par deux suites ayant une limite commune permet de conclure que unu_n possède cette même limite. Une seule majoration ou des limites différentes ne fournissent pas cet encadrement décisif.

9. Que signifie qu’une suite unu_n est majorée par un réel MM ?

Ses termes se rapprochent de MM lorsque nn devient grand.
La suite converge vers une limite qui vaut nécessairement MM.
À partir d’un certain rang, tous ses termes vérifient un≤Mu_n\leq M.
Tous ses termes vérifient un≥Mu_n\geq M à partir du premier rang.

À partir d’un certain rang, tous ses termes vérifient $$u_n\leq M$$.

Explication

Une majoration signifie qu’à partir d’un certain rang, chaque terme est inférieur ou égal à MM. Cette propriété ne garantit ni que la suite se rapproche de MM ni qu’elle converge vers cette valeur.

10. Dans quel cas une suite est-elle dite monotone ?

Lorsqu’elle est bornée et convergente.
Lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
Lorsqu’elle alterne entre des valeurs positives et négatives.
Lorsqu’elle possède une limite finie.

Lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

Explication

Une suite monotone suit un seul sens de variation : elle est croissante ou décroissante. La bornitude, la convergence et l’alternance des signes sont des propriétés différentes.

11. Une suite croissante est majorée par MM. Quelle conclusion est justifiée ?

Elle converge vers un réel ll vérifiant l≤Ml\leq M.
Elle diverge vers +∞+\infty puisque ses termes augmentent.
Elle converge vers MM dès que ses termes sont positifs.
Elle converge vers un réel ll vérifiant l≥Ml\geq M.

Elle converge vers un réel $$l$$ vérifiant $$l\leq M$$.

Explication

Toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est inférieure ou égale à toute majoration MM. La croissance seule ne provoque pas une divergence vers +∞+\infty, car la majoration empêche ce comportement.

12. Une suite décroissante est minorée par mm. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Elle converge vers un réel ll vérifiant l≤ml\leq m.
Elle converge vers mm parce que ses termes diminuent.
Elle diverge vers −∞-\infty malgré sa minoration.
Elle converge vers un réel ll vérifiant l≥ml\geq m.

Elle converge vers un réel $$l$$ vérifiant $$l\geq m$$.

Explication

Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite qui reste supérieure ou égale à sa minoration mm. La décroissance ne signifie pas que la limite atteint cette minoration.

13. Quelle est la limite de la suite qnq^n lorsque −1<q<1-1<q<1 ?

Elle tend vers 00.
Elle tend vers +∞+\infty.
Elle tend vers 11.
Elle n’a pas de limite à cause d’une alternance des signes.

Elle tend vers $$0$$.

Explication

Lorsque la valeur absolue de qq est strictement inférieure à 11, les puissances qnq^n tendent vers 00. L’absence de limite concerne notamment les cas où q≤−1q\leq -1, et non cet intervalle.

14. Pour u0=2u_0=2 et un+1=2un+5u_{n+1}=2u_n+5, quelle expression et quelle limite obtient-on après le changement vn=un+5v_n=u_n+5 ?

un=7×2n+5u_n=7\times 2^n+5 et unu_n tend vers −∞-\infty.
un=7×2n−5u_n=7\times 2^n-5 et unu_n tend vers +∞+\infty.
un=2n−5u_n=2^n-5 et unu_n tend vers 00.
un=2×5n+7u_n=2\times 5^n+7 et unu_n tend vers +∞+\infty.

$$u_n=7\times 2^n-5$$ et $$u_n$$ tend vers $$+\infty$$.

Explication

Le changement de variable donne vn+1=2vnv_{n+1}=2v_n avec v0=7v_0=7, donc vn=7×2nv_n=7\times 2^n et un=7×2n−5u_n=7\times 2^n-5. La suite vnv_n est géométrique de raison 2>12>1, ce qui entraîne la divergence de unu_n vers +∞+\infty.

15. Quelle description caractérise une suite numérique ?

Une fonction définie sur un ensemble quelconque, à valeurs dans C\mathbb{C}
Une fonction définie sur un intervalle de N\mathbb{N}, à valeurs dans Z\mathbb{Z}
Une fonction définie sur N\mathbb{N} ou une partie de N\mathbb{N}, à valeurs dans R\mathbb{R}
Une fonction définie sur R\mathbb{R} ou un intervalle réel, à valeurs dans N\mathbb{N}

Une fonction définie sur $$\mathbb{N}$$ ou une partie de $$\mathbb{N}$$, à valeurs dans $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite associe à chaque rang naturel considéré un nombre réel. Une fonction quelconque peut avoir un domaine différent de N\mathbb{N}, ce qui ne suffit pas à la caractériser comme suite.

16. Quelle différence distingue une suite explicite d’une suite définie par récurrence ?

La suite explicite donne directement le terme selon son rang, tandis que la suite récurrente utilise un terme initial et une relation de calcul
La suite explicite utilise un terme initial, tandis que la suite récurrente donne directement chaque terme selon son rang
La suite explicite utilise une raison constante, tandis que la suite récurrente utilise une puissance du rang
La suite explicite ne concerne que les termes positifs, tandis que la suite récurrente concerne les termes négatifs

La suite explicite donne directement le terme selon son rang, tandis que la suite récurrente utilise un terme initial et une relation de calcul

Explication

Une expression explicite fournit directement unu_n en fonction de nn, alors qu’une définition par récurrence permet d’obtenir le terme suivant à partir d’un terme connu. La présence d’un terme initial et d’une relation caractérise donc la seconde forme.

17. Pour étudier les variations d’une suite dont les termes sont strictement positifs, quelle méthode supplémentaire peut-on utiliser ?

Comparer le quotient unun+1\frac{u_n}{u_{n+1}} à 00
Comparer le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11
Comparer la différence un+1−unu_{n+1}-u_n à unu_n
Étudier le signe de un+un+1u_n+u_{n+1}

Comparer le quotient $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ à $$1$$

Explication

Lorsque les termes sont strictement positifs, le quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} permet de comparer directement un+1u_{n+1} à unu_n. Cette méthode exige la positivité des termes, contrairement à l’étude de la différence un+1−unu_{n+1}-u_n.

18. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison rr ?

Pour tout nn, un+1=unru_{n+1}=u_n^r
Pour tout nn, un+1=un+rnu_{n+1}=u_n+r^n
Pour tout nn, un+1=runu_{n+1}=ru_n
Pour tout nn, un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r

Pour tout $$n$$, $$u_{n+1}=u_n+r$$

Explication

Dans une suite arithmétique, on ajoute le même réel rr pour passer d’un terme au suivant. La relation multiplicative un+1=runu_{n+1}=ru_n définit une suite géométrique.

19. Une suite arithmétique vérifie u3=10u_3=10 et possède une raison r=4r=4. Quelle expression donne unu_n ?

un=10+(n−3)×4u_n=10+(n-3)\times4
un=10+(n+3)×4u_n=10+(n+3)\times4
un=10×(n−3)×4u_n=10\times(n-3)\times4
un=10×4n−3u_n=10\times4^{n-3}

$$u_n=10+(n-3)\times4$$

Explication

La formule d’une suite arithmétique est un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r, donc ici un=10+(n−3)×4u_n=10+(n-3)\times4. La puissance appartient à la formule d’une suite géométrique, pas à celle d’une suite arithmétique.

20. Quelle propriété caractérise une suite géométrique de raison qq ?

Chaque terme s’obtient en élevant le précédent à la puissance qq
Chaque terme s’obtient en ajoutant le précédent à qq
Chaque terme s’obtient en multipliant le rang précédent par qq
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par qq

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par $$q$$

Explication

Une suite géométrique vérifie un+1=qunu_{n+1}=qu_n, ce qui signifie que le passage d’un terme au suivant est multiplicatif. L’ajout d’une constante correspond à la définition d’une suite arithmétique.

21. Une suite géométrique vérifie u0=5u_0=5 et q=2q=2. Quelle expression de son terme général est correcte ?

un=5×2nu_n=5\times2^n
un=5n×2u_n=5^n\times2
un=5+2nu_n=5+2n
un=5×n2u_n=5\times n^2

$$u_n=5\times2^n$$

Explication

Pour une suite géométrique, la formule issue du premier terme est un=u0qnu_n=u_0q^n, d’où un=5×2nu_n=5\times2^n. L’expression 5+2n5+2n utilise une progression additive et correspondrait à une forme arithmétique.

22. Quelles étapes permettent de démontrer par récurrence qu’une propriété P(n)P(n) est vraie pour tout n≥n0n\ge n_0 ?

Prouver directement P(k)P(k) pour un rang choisi, puis vérifier P(n0)P(n_0)
Vérifier P(n0)P(n_0), prouver que P(k)P(k) entraîne P(k+1)P(k+1), puis conclure
Vérifier P(n0+1)P(n_0+1), puis montrer que chaque terme vaut le précédent
Vérifier P(0)P(0), prouver que P(k+1)P(k+1) entraîne P(k)P(k), puis conclure

Vérifier $$P(n_0)$$, prouver que $$P(k)$$ entraîne $$P(k+1)$$, puis conclure

Explication

Le raisonnement par récurrence comporte une initialisation au rang n0n_0, une hérédité de kk à k+1k+1, puis une conclusion pour tous les rangs suivants. Vérifier un rang isolé ou inverser l’implication ne permet pas d’établir cette généralisation.

23. À quel type de propriété le principe de récurrence s’applique-t-il ?

À une propriété géométrique vérifiée par deux figures de même dimension
À une propriété algébrique dont la formule ne dépend d’aucun indice
À une propriété dépendant d’un entier naturel et vérifiée par initialisation et hérédité
À une propriété dépendant d’un réel et vérifiée par une seule valeur particulière

À une propriété dépendant d’un entier naturel et vérifiée par initialisation et hérédité

Explication

La récurrence concerne une propriété indexée par un entier naturel et permet de l’étendre à tous les rangs à partir de n0n_0 lorsque les deux étapes requises sont établies. Une vérification ponctuelle ne suffit pas à couvrir tous les entiers concernés.

24. Pour quelles valeurs de aa et de nn l’inégalité de Bernoulli (1+a)n≥1+na\left(1+a\right)^n\ge 1+na est-elle garantie ?

Pour tout réel aa et tout entier naturel nn
Pour tout réel a>0a>0 et tout entier relatif nn
Pour tout réel a≥0a\ge 0 et tout entier naturel nn
Pour tout entier naturel aa et tout réel n≥0n\ge 0

Pour tout réel $$a\ge 0$$ et tout entier naturel $$n$$

Explication

L’inégalité de Bernoulli s’applique lorsque a≥0a\ge 0 et que nn est un entier naturel. L’affirmation portant sur tout réel aa est incorrecte, car la condition de positivité de aa est nécessaire.

25. Avec a=0,2a=0{,}2 et n=3n=3, quelle inégalité l’inégalité de Bernoulli permet-elle d’obtenir ?

1,23≤1,81{,}2^3\le 1{,}8
1,23≥1,61{,}2^3\ge 1{,}6
1,23≤1,61{,}2^3\le 1{,}6
1,23≥1,81{,}2^3\ge 1{,}8

$$1{,}2^3\ge 1{,}6$$

Explication

Comme a=0,2≥0a=0{,}2\ge 0 et n=3n=3 est naturel, Bernoulli donne (1+0,2)3≥1+3×0,2=1,6\left(1+0{,}2\right)^3\ge 1+3\times0{,}2=1{,}6. L’expression obtenue est donc une minoration, et non une majoration ou une borne fondée sur un autre calcul.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 34 flashcards sur Limites et récurrence des suites.

Quelle est la définition d'une limite finie pour une suite (u_n) ?

La suite (u_n) a pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les u_n à partir d’un certain rang.

Quelle condition exprime la convergence de u_n vers l avec ε et p ?

Pour tout ε>0, il existe un rang p tel que pour tout n≥p, ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon.

Donnez un exemple de suite sans limite parmi (-1)^n, (-3)^n, cos n, sin n.

Toutes ces suites n'ont pas de limite.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Limites et récurrence des suites.

Voir la fiche →

Cours similaires

Propriétés de la matière

Nombres relatifs

Mathématiques

La géosphère et la tectonique

Introduction à la sociologie

Eau et éléments minéraux

Spectroscopie vibrationnelle

Chimie

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM