Fiche de révision : Logarithmes et fonctions exponentielles

📋 Plan du Cours

1. Équations exponentielles
2. Équations et calculs logarithmiques
3. Inéquations exponentielles
4. Suites géométriques et seuils
5. Applications et algorithmique
6. Logarithme décimal et approximations
7. Dérivées et variations logarithmiques

📖 1. Équations exponentielles

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation de la forme $e^{u(x)}=e^{v(x)}$, on utilise l’injectivité de la fonction exponentielle et on résout $u(x)=v(x)$.

📌 Une équation $e^{u(x)}=a$ admet une solution réelle seulement si $a>0$, et dans ce cas elle équivaut à $u(x)=\ln(a)$.

Compléments

• Les équations $e^x=e^2$ et $e^x=e^{-4{,}3}$ ont respectivement pour solutions $x=2$ et $x=-4{,}3$.

• L’équation $e^{2x+1}=9$ a pour solution $x=\frac{\ln(9)-1}{2}$.

• L’équation $e^{6x-0{,}4}=-12$ est impossible car une exponentielle ne prend jamais de valeur négative.

💡 Astuce mémo

Même base : on égalise les exposants ; base différente : on utilise le logarithme.

📖 2. Équations et calculs logarithmiques

★ À maîtriser

📌 Le logarithme népérien $\ln(x)$ est défini uniquement pour $x>0$ et vérifie $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si $a=b$ pour deux nombres strictement positifs.

📐 Formule — Pour des nombres strictement positifs, on a $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

📐 Formule — Pour tout réel $r$ et tout nombre strictement positif $a$, on a $\ln(a^r)=r\ln(a)$.

Compléments

• Les expressions $\ln(2)+\ln(3)$, $\ln(6)-\ln(2)$ et $\ln(2)+\ln(1{,}5)-\ln(4)$ se simplifient respectivement en $\ln(6)$, $\ln(3)$ et $\ln(0{,}75)$.

• L’équation $\ln(3x)=5$ a pour solution $x=\frac{e^5}{3}$, avec la condition préalable $3x>0$.

💡 Astuce mémo

Domaine positif → propriétés des logarithmes → résolution.

📖 3. Inéquations exponentielles

★ À maîtriser

📌 Pour une inéquation exponentielle de base $a>1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est croissante et conserve le sens de l’inégalité.

📌 Pour une inéquation exponentielle de base $0<a<1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est décroissante et inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation comme $2^x\geq1000$, on prend le logarithme des deux membres, on utilise la croissance du logarithme, puis on isole $x$.

📌 Pour un entier naturel $n$, une inéquation telle que $a^n\geq b$ se résout en déterminant d’abord la borne réelle obtenue avec les logarithmes, puis le plus petit entier naturel qui la respecte.

💡 Astuce mémo

Base supérieure à 1 : le sens est conservé ; base entre 0 et 1 : le sens est inversé.

📖 4. Suites géométriques et seuils

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ vérifie $u_n=u_0q^n$ pour tout entier naturel $n$.

★ À maîtriser

• Pour déterminer le plus petit rang vérifiant un seuil dans une suite géométrique, on écrit l’inégalité avec $u_n=u_0q^n$, on la résout avec les logarithmes, puis on vérifie le premier entier admissible.

Compléments

• Pour $u_0=2$ et $q=0{,}4$, on obtient $u_n=2\times0{,}4^n$.

• Pour $u_0=4$ et $q=3$, on obtient $u_n=4\times3^n$.

💡 Astuce mémo

Raison constante → expression exponentielle → recherche d’un rang seuil.

📖 5. Applications et algorithmique

📝 Points essentiels

• Une hausse annuelle constante de 1 % transforme un indice initial en une suite géométrique de raison $1{,}01$, donc $u_n=100\times1{,}01^n$ lorsque $u_0=100$. — insee, La productivité en France de 2000 à 2015, 28/06/2019

• Pour trouver l’année où la productivité double, on résout $100\times1{,}01^n\geq200$ et on ajoute le rang obtenu à l’année de départ 2021.

• Pour programmer la recherche du premier rang tel que $u_n>10^{10}$ avec $u(n)=100+9\times4^n$, on initialise $n=0$, on augmente $n$ de 1 tant que $u(n)\leq10^{10}$, puis on affiche $n$.

💡 Astuce mémo

Modéliser → exprimer la suite → déterminer l’année ou le rang.

📖 6. Logarithme décimal et approximations

★ À maîtriser

• Le logarithme décimal est le logarithme de base 10, noté $\log$, et vérifie $\log(10^n)=n$.

Compléments

• Comme $\log(2^{10})=10\log(2)\approx3$, on obtient $2^{10}\approx10^3$.

• À partir de $2^{10}\approx10^3$, on déduit $2^{30}\approx10^9$ et $2^{300}\approx10^{90}$.

• Pour trouver $n$ tel que $10^n\approx e^{2021}$, on utilise $n\approx2021\log(e)$.

📖 7. Dérivées et variations logarithmiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $x>0$, la dérivée du logarithme népérien est $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Pour une fonction composée avec une expression strictement positive $u(x)$, on a $\left(\ln(u(x))\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

📌 La fonction $f(x)=x+\ln(6x-1)$ est définie sur $\left(\frac16,+\infty\right)$, car son logarithme exige $6x-1>0$.

• Pour étudier les variations d’une fonction logarithmique, on détermine son domaine, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée, puis on construit le tableau de variations.

Compléments

• Pour $f(x)=\ln(x^2+1)$, le domaine est $\mathbb{R}$ car $x^2+1>0$ pour tout réel $x$, et $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → signe → variations → limites.